再谈数学命题的教学策略

1、再谈数学命题的教学策略王光明 戴永 数学命题的教学主要是指数学中公理、定理、公式的教学数学命题的教学策略是指教师在一般学习理论和数学命题教学理论的指导下，为有效实现数学命题的教学目标而根据特定的教学情境和学生的特点，有意识地对数学命题的教学活动进行计划、调控的系统决策方案以及由此表现出来的行为方式数学命题的教学不仅是数学概念教学的展开与深化，同时也是数学问题解决教学的基础，而且是形成数学技能、培养数学能力的重要途径数学命题教学质量如何，直接关系到数学教学质量的高低，尽管如此，对数学命题教学策略的系统研究还不多见。我们已经探讨了数学命题的整体性和反思性教学策略，本文再谈谈数学命题的准备性策略、情

2、境性策略、过程性策略和产生式策略1 高中数学命题教学的准备性策略 教学是有计划、有目的的活动，数学命题教学同样也是一种有目的、有计划的活动在数学命题教学之前，教师需要做好必要的准备所谓数学命题教学的准备性策略，就是指在数学命题的教学实施之前，教师准备教学所采用的一项教学策略 实施数学命题教学的准备性策略主要有三个途径：一是对数学命题教学目标的把握；二是对学生认知起点的测定，包括了解学生对新学习的数学命题所含数学概念、数学命题以及低一级技能的掌握情况；三是对数学命题学习模式的选择 教学目标是教学活动预期达到的结果，是学生通过学习以后预期产生的行为变化它表现为对学生学习结果及其终结行为的具体描述在

3、数学命题教学活动开始之前，教师需要对数学命题的教学目标有清晰的把握教学目标的把握是教学策略制定的关键，对于教学方法的选择、师生相互作用的活动安排、教学效果的测量和评价都起着定向和制约作用把握数学命题的教学目标包括了解数学命题教学目标的分类、进行数学命题教学目标的编制两个操作步骤2 数学命题教学的情境性策略 当教师实施准备性策略做好教学准备之后，数学命题教学就进入了实施阶段，即数学命题的获得阶段、数学命题的证明阶段和数学命题的应用阶段其中，在数学命题的获得阶段，为了激发学生有意义学习的心向，加深对所学数学命题的感知和理解，关键在于实施数学命题教学的情境性策略所谓数学命题教学的情境性策略，主要是指

4、在数学命题引入的教学过程中，教师旨在创设一种有利于引起学生注意、有利于激发学生学习动机、调动积极情感，并有利于学生利用原有知识和经验同化当前新命题的数学情境的一种教学策略 数学命题教学的情境化策略的实施途径取决于数学情境的种类，数学情境种类的多种多样决定了数学情境创设途径的多种多样在数学命题教学中，应用比较广泛而有效的是创设数学问题情境，引发学生强烈的学习与思考欲望在数学命题教学中，创设数学问题情境的途径主要有以下几种。21 创设温故知新情境 创设温故知新情境就是利用新旧知识之间的联系来创设的数学问题情境在新数学命题学习之前，教师总是要进行“温故知新”的工作所谓“温”就是寻找认知结构中原有的知

5、识与新知识的联系，“故”是指原有认知结构的旧知识，“知”就是将新知识内化为自己的认知结构，“新”是在联结点处新生出来的支脉，它表明了新旧知识之间的区别新旧知识之间的联系是学生积极思维的基础，而新旧知识的矛盾是学生积极思维的动力创设温故知新的问题情境，既要造成新旧知识之间的矛盾，又要引起新旧知识之间的联系，对学生才有启发性这是一种常用的创设问题情境的方法22 创设实践情境 创设实践情境就是利用与生产、生活有关的实际问题来创设的数学问题情境数学教材中许多抽象的数学命题往往来源于现实世界，与日常生产、生活有密切的联系如果直接给出这些数学命题，那么学生往往不知道为什么要学，而且比较抽象也不容易理解，教

6、师可设计与它们有关的实际问题创设教学情境，使抽象的内容具体化，同时也能加强数学与生活实践之间的联系23 创设实验情境 创设实验情境就是利用数学实验来创设的数学问题情境当学生原有认知结构中已经具备学习新命题的预备知识，但新旧知识之间的逻辑联系还不易被学生发现时，教师可设计与教学内容有关的富有启发性、趣味性的实验，来设置数学问题情境，让学生通过观察和动手操作在实验情境中探索规律、提出猜想，再通过逻辑论证得到数学命题，来揭示数学命题的发生、发展过程24 创设史实情境 创设史实情境就是利用数学史知识来创设的数学问题情境教师通过讲解数学知识发现的史实、有关数学家的故事创设数学情境，激发学生学习兴趣，使学

7、生在不知不觉中学习数学知识、领会数学思想方法25 创设审美情境 创设审美情境就是利用数学审美来创设的数学问题情境数学中可谓处处充满美的花朵在数学命题教学中，教师若能及时捕捉、感受、揭示数学之美，创设适宜的数学审美情境，一定能激发学生的学习动机和学习兴趣，唤起学生追求数学美的情感3数学命题教学的过程性策略 当教师通过实施情境性策略使学生初步获得数学命题之后，数学命题教学进入教学实施的第二个阶段数学命题的证明阶段本阶段教学的关键在于实施数学命题教学的过程性策略，以强化数学证明的发生过程，是学生加深对数学知识之间联系的把握和对数学命题“为什么”成立的理解 所谓命题教学的过程性策略主要是指在数学命题获

8、得、证明和应用阶段，特别是在数学命题的证明阶段，教师通过适当的教学方式，启发学生直接或间接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过程，从而引导学生积极主动地进行思维活动，“使学生看到思维过程”的一种教学策略 在命题教学中，师生的思维过程实际上就是数学命题知识的发生、演变过程，也是蕴涵于数学命题知识之中的数学思想方法的提炼、揭示过程因此实施数学命题过程性策略的有效途径就包含了暴露数学思维的过程、揭示数学命题的产生推证过程、突出数学思想方法的提炼和应用过程31 暴露数学思维活动的过程 前苏联数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果数学知识的教学”

9、数学教学中主要存在着以下三种思维活动：数学家及数学教育家的思维活动、数学教师的思维活动和学生的思维活动这些思维活动在教学时的协调过程可用下图表示：数学家、数学教育家的思维活动数学教材数学教师的思维活动学生的思维活动文字渗透备课复苏教学激发数学教师暴露思维过程图 在数学命题教学过程中，要协调好这三种思维活动在数学教学过程中暴露数学思维的过程，意味着暴露数学家及数学教育家的思维活动、暴露数学教师自己的思维活动以及学生的思维活动在数学命题教学中，暴露数学思维的活动过程有下面几种方法： 现推现想法这是一种充分暴露思维过程，特别是暴露思维是如何“从困境或死胡同中挣脱出来”的一种有效方法譬如，德国数学家希

10、尔伯特的老师著名数学家富克斯(fuchs)，在讲课，时就经常把自己置于困境中，并再现自己从中走出来的过程，让学生看到大师真实的思维过程是怎样的对此，所有富克斯的学生都感到终生受益 命题问题化命题问题化就是将有些数学命题的证明过程变成问题解决过程，通过精心设计一系列有层次、由浅入深、前后衔接、相互呼应的梯度问题，诱使学生思维活动层层展开 强化分析法数学命题证明的教学，就是分析命题中的已知和未知的矛盾，分析矛盾的产生、矛盾的关系、矛盾的运动和转化，从分析中找出解决问题的办法首先，要充分揭露矛盾，就是“审题”，弄清已知和未知、条件和结论其次，要深刻分析解决问题的条件和方法在分析的过程中，应以分析法为

11、主，分析法和综合法联合使用32 揭示数学命题的产生、推证过程 数学是一门具有逻辑严谨性的学科，它用完善的形式表现出来并呈现在学生面前，而略去了发现的曲折过程，给学生的“再创造”学习带来一定困难正如美籍匈牙利数学教育家g波利亚所言：“用欧几里得方法提出的数学，看起来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学却像一门实验性的归纳科学这两个侧面都像数学一样古老但从某一方面来说，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有照本宣科地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生或教师自己或公众”受欧氏数学演绎体系编排的影响，许多数学命题都是用确切的概念、最少的公理和严密的逻辑论证经过系统化的加工得到的，而隐去了数

12、学命题的发现过程、证明思路的猜测过程和证明策略的选择过程这就要求数学教师不应得陇望蜀于题海，而要乐此不疲于数学文化、数学哲学、数学史与数学方法论乃至自然辩证法、科学方法论以及科学史等文献的学习，进而充分认识数学命题的发生、形成和发展的过程，努力在教学中架起一座从数学家、数学教育家的思维活动通向学生的思维活动的桥梁 在数学命题证明的教学中，揭示数学命题的推证过程的常用做法主要有三种，即返璞归真回到定义、数学命题的一题多证、数学命题的引申和推广 返璞归真回到定义即把命题回归到构成它的基本概念，以把握数学命题的“生长点”以及发生、发展脉络，增强数学认知结构的清晰度和稳定性譬如，对于“三角变换的辅助角

13、公式”“直线的参数方程”“圆锥曲线的参数方程”“直角坐标与极坐标的互化公式”“复数的代数形式与三角形式的互化”等公式，尽管表现形式各异，但最终都可归结为三角函数的坐标定义，体现出来的仍然是化归转化的数学思想追踪溯源，讲原始思想；返璞归真，回归基本概念，不断强化数学命题的发生过程 数学命题的一题多证对同一个数学命题有时可采用几种不同的证明方法，必然会涉及更宽广的数学知识和思想方法，从不同角度、不同层次揭示了知识之间的联系，促进了学生对数学命题本质的理解以及数学认知结构的不断分化和综合贯通 数学命题的引申和推广一个数学命题是由条件和结论两个部分组成的，它揭示了条件和结论之间的蕴涵关系一个数学命题的

14、条件改变了，其结论也往往随之发生相应的变化引申和推广就是扩大命题的条件中有关对象的范围或扩大结论的范围，即从一个事物的研究过渡到包含这类事物的研究在数学命题的引申和推广过程中，所使用的主要方法是归纳和类比从引申和推广的方向来看，有同一知识深入发展的纵向引申和推广，也有不同分支内容的横向引申和推广在可接受的原则下，数学命题的引申和推广可使数学命题在更大包容性、更高概括程度上实现知识结构的整体优化，有利于加强数学知识之间的联系，促进数学知识的综合贯通，也有助于学生数学认知结构的完善和发展4 数学命题教学的产生式策略 当学生解决了数学命题“是什么”、数学命题“为什么”成立的问题之后，那么在数学命题的

15、应用阶段采取产生式教学策略则主要用来解决数学命题“怎么办”的应用问题，以促进数学命题由陈述形态向程序形态转化，发展学生的智慧技能所谓命题教学的产生式策略，主要是指在数学命题应用的教学过程中，通过变式练习等多种方式，促进学生对数学命题的表征由陈述形态转化为程序形态(产生式或产生式系统)的一种教学策略 由于产生式的表征是一种启发式的，它产生的总是由目的引导的行为，这种目的性表现为产生式的条件部分总包含有关于目的的陈述“，当学习个体掌握了一个产生式后，一旦认知条件具备，就会激活相应信息、产生相应操作可见，产生式的学习过程包括两个环节：一是条件认知，即学会识别某种对象或情境是否符合产生式的条件；二是操

16、作执行，即学会按一定程序与规则进行一系列操作以达到目标状态的过程：“因此，命题教学的产生式策略的实施途径也相应地分为促进条件认知的教学途径与算法操作教学途径两个部分41 变式练习促进条件认知 数学命题的应用目的在于将数学命题的陈述性形态转化为以产生式或产生式系统表征的程序性形态，即形成一定智慧技能“智慧技能学习的唯一有效方法就是建立在理解基础上的变式练习”所谓变式练习，是指在其他有效学习条件不变的情况下，概念和规则例证的变化：”具体到数学命题的教学而言，变式练习应当包括两个阶段上的数学命题例证的变化一个是在数学命题获得阶段上的数学命题正例的变化，它有助于学习者排除无关特征的干扰，另一个是在数学

17、命题应用阶段上的题型或问题情境的变化，这种变化将有助于学习者加强数学命题的条件认知，获得熟练解决问题的技能这里简要讨论数学命题应用阶段上的题型或问题情境的变化一般说来，数学命题的应用包括两个层次，一个是数学命题在与原来学习情境相似的问题情境中的应用，另一个是数学命题在与原来学习情境不同的问题情境中的应用。而就变式练习的特征而言主要有两种变化问题的方式，一种是显性变式，另一种是隐性变式，“如果一个问题从它的原型通过直观和具体的变化而得到，那么这些问题变式称之为显性变式(譬如，数量关系的变化、图形位置的变化等)；反之，如果一个问题的变式只有通过抽象或逻辑的分析才能发现它与原型的联系，那么这种变式称

18、之为隐性变式(勒口，变化参数、微妙地缺省某些条件、变化背景等，这样，应用相关知识或策略的条件是隐性的)在数学命题应用的最初阶段，宜设置与原先学习情境相似的问题情境，以显性变式为主进行练习，使练习题之间保持一定的同一性；在数学命题应用的后期，随着数学命题的渐趋巩固，问题类型可逐渐演变成与原来学习情境完全不同的问题情境，采取隐性变式为主进行练习，可以促进学生数学命题的纵向迁移 变式练习胙为数学命题应用的一项重要教学技术，其基本观点得到了马顿(marton，1998)变异理论强有力的支撑教学实践也表明，变式练习不失为一种学习数学概念和数学命题的有效方法究其原因，显性变式提供的问题情境的相似性有助于数

19、学命题的自动生成，隐性变式提供的问题情境的不同性有助于数学命题图式的获得另外，变式练习有助于学生发现产生式条件建构的局限性，有助于学生细化、归类产生式和加强条件认知，真正学会何时选用何种产生式42 算法操作形成操作自动化 认知负荷理论认为，图式获得和规则自动化是高级学习的主要机制根据rm加涅对学习结果的分类，数学命题基本上属于高级规则，因而，数学命题学习的主要机制也应当是数学命题图式获得和操作自动化数学命题的变式练习有助于数学命题条件模式的认知，或者说有助于数学命题图式的获得；对于数学命题操作自动化，基于对高级学习的理解，我们要重视数学命题产生式的算法化教学，使学生通过产生式的算法操练形成操作

20、程序自动化，并将自动化操作程序组织进入学生原有的数学认知结构中这里的算法是指解答同一类问题的运算程序它表明在运用数学命题时先做什么、再做什么、后做什么 上述教学策略是我们根据数学命题教学前的准备阶段、教学中的实施阶段经过阶段分析而得到的但这并不意味着某一项教学策略与某一特定的阶段是严格对应的实际上，由于教学过程的连续性、数学命题的多样性以及教学情境的复杂性，使得这些策略的运用也呈现出多种情况譬如，在扩大了的公理体系中，许多基本定理作为公理而不要求证明，只需直观确认和应用即可此时，过程性策略可能在数学命题的获得阶段运用得更频繁当然，在某些数学命题的教学中，过程性策略既可运用于命题的获得阶段，又可

21、以运用于命题的证明阶段，还可以运用于命题的应用阶段这样就会出现某一种策略运用于几个阶段的情形；反过来，也经常会出现某一阶段运用多项教学策略的情形譬如，在数学命题的应用阶段，往往以产生式策略的运用为主，同时配合使用反思性策略和评价性策略总之，在运用教学策略时既要有所侧重，又要注意综合运用，才能收到较好的教学效果 很多教学改革与课程改革之所以困境重重，往往是由于误认为一旦向教师介绍了新的教学理念便可以自然而然地导致其教学行为的革新，殊不知教师还在用老一套观念进行教学数学命题教学往往带有一定的程序性，教师可自发生成数学命题教学的程序性策略，但其知觉水平较低，即使是不合理的，一旦形成，是什么与为什么的

22、教育理念往往对其难以改变重视程序性的数学命题教学策略研究，使其成为数学命题教学的教学调节参照让数学教师的数学命题教学策略不仅是自发建构的，而且是有参照物可以自我解构与发展的；不仅是无意识地生成，而且是有意识地计划与自觉调节的，这些问题迫切需要引起重视!摘自中学数学教学参考2008。05上（47）我的大学爱情观1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系

23、处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思

24、：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时

25、间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用