高考数学难点突破不等式的证明策略

1、高考数学难点突破不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容， 纯不等式的证明， 历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场( )已知 a 0，b 0，且 a+b=1.求证： (a+ 1)( b+1)25.ab4案例探究例 1证明不等式11112n*23n( n N )命题意图： 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目.知识依托： 本题是一个与自然数n 有关的命题， 首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不

2、等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k 到 n=k+1 的过渡采用了放缩法；证法二先放缩， 后裂项， 有的放矢， 直达目标； 而证法三运用函数思想，借助单调性， 独具匠心，发人深省 .证法一： (1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设 n=k(k 1)时，不等式成立，即1+111 2 k ，23k则11112k123k1k12k (k1)1k( k1)12 k1,k1k1当 n=k+1 时，不等式成立 .综合 (1)、 (2

3、) 得：当 n N * 时，都有 1+111 2 n .23n另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法：2( k1)12k (k1)k2k( k1)( k1)(kk1) 20,2k(k1)12( k1),k10,2k12k 1.k1又如 :2k12 k221,k1kk1k 1k1212k1.k1kk N* ，都有：证法二：对任意1222(kkkkkk 11112(2因此 1322n证法三：设 f(n)=2n11(13*2那么对任意 k N都有：k1),1)2(32 )2(nn1)2 n.1 ),n1f ( k1)f (k )2(k1k )k11 2( k1)2k( k1)1k11( k1)2

4、k( k1)( k 1k )2kk 01k1 f(k+1) f(k)因此，对任意n N * 都有 f( n) f(n 1) f(1)=1 0，1112n. 13n2例 2求使xy a xy (x 0， y 0)恒成立的 a 的最小值 .命题意图： 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于级题目 .知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来， 等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x、 y

5、 与cos 、 sin 来对应进行换元，即令x =cos ，y =sin (0 )，这样也得a sin2 +cos ，但是这种换元是错误的 .其原因是： (1) 缩小了 x、y 的范围； (2) 这样换元相当于本题又增加了“ x、 y=1 ”这样一个条件，显然这是不对的 .技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则 amin=f(x)max；若 a f( x)，则 amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a 的值为正

6、数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2xy a2(x+y) ，即 2xy ( a2 1)(x+y)， x， y0， x+y2xy ，当且仅当 x=y 时，中有等号成立.比较、得a 的最小值满足a2 1=1 ， a2=2， a=2 (因 a 0)， a 的最小值是2 .解法二：设 uxy( xy ) 2x y 2 xy2 xyxyxy1.x yx y x 0， y 0， x+y 2xy(当 x=y 时“ =”成立 )， 2xy 1， 2xy 的最大值是 1.xyxy从而可知， u 的最大值为112，又由已知，得a u， a 的最小值为2 .解法三： y 0，原不等式可化为xx1，+1 ayy设

7、x).=tan ， (0，y2 tan +1 atan 21；即 tan+1 asec a sin +cos=2 sin( +4)，又 sin( +)的最大值为 1(此时 = ).44由式可知a 的最小值为2 .锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 .(1)比较法证不等式有作差(商 )、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；考虑用判别式法证.如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则(2) 综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解

8、题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 .换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 .放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式， 从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有 “至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点歼灭难点训练一、填空题.1.( )已知 x、 y 是正变数， a、 b是正常数

9、，且abx=1， x+y 的最小值为y_.2.( )设正数 a、 b、 c、 d 满足 a+d=b+c，且 |a d| |b c|，则 ad 与 bc 的大小关系是 _.3.( )若 m n， p q，且 (p m)( p n) 0， (qm)(q n) 0，则 m、 n、 p、q 的大小顺序是 _.二、解答题4.( )已知 a，b， c 为正实数， a+b+c=1.求证： (1)a2+b2+c2 13(2) 3a 23b23c 2 62221，证明： x， y， z 0，25.( )已知 x，y， zR ，且 x+y+z=1，x +y +z =236.( )证明下列不等式：(1)若 x， y

10、， z R， a，b， c R+ ，则 b c x2ca y2ab z2 2(xy+yz+zx)abc(2)若 x， y， z R+ ，且 x+y+z=xyz，则 y z z x x y 2( 1 1 1 )xyzx y z7.( )已知 i， m、 n 是正整数，且1 i m n.(1)证明： niA im miA in ；(2)证明： (1+ m)n (1+n)m8.( )若 a 0， b 0， a3+b3=2，求证： a+b 2，ab 1.参考答案难点磁场证法一： (分析综合法）欲证原式， 即证 4(ab)222 0，即证 4(ab)2 33(ab)+8 0，即证 ab1或+4( a +

11、b ) 25ab+44ab 8. a 0， b 0，a+b=1 ， ab 8 不可能成立 1=a+b 2ab ， ab 1 ，从而得证 .4证法二： (均值代换法 )设 a= 1 +t1， b= 1 +t2.2 2 a+b=1， a 0， b 0， t1+t2=0， |t1| 1 ， |t2| 122(a11a 21b21)(b)abab( 1t1 )21 ( 1t 2 ) 21( 1t1t121)( 1t2t221)22441t11t 2( 1t1 )( 1t2 )2222( 1t1t121)( 1t2t2 21)( 5t2 2 ) 2t2 241441t22t2244253t22t2425

12、162162511.t24424显然当且仅当t=0，即 a=b= 1 时，等号成立 .2证法三： (比较法） a+b=1， a 0， b 0， a+b 2ab ， ab 14(a1 )(b1)25a21 b 21254a2 b233ab 8(14ab)(8ab)0ab4ab44ab4ab(a1125)(b)4ab证法四： (综合法 ) a+b=1， a 0， b 0， a+b 2ab ， ab 1.4(1ab)2125ab) 21ab113(1ab)2916(112544161ab44ab即(a1125)(b)4ab证法五： (三角代换法） a0， b 0， a+b=1，故令 a=sin2 ，

13、 b=cos2 ， (0，)2( a1 )( b1)(sin 21)(cos21)absin2cos2sin4cos42sin2cos22( 4sin2) 2164 sin2 24sin2 2sin2 21,4sin2 2413.24 2sin2 21625( 422 )22511sin4sin2 24sin2 24即得 (a1 )(b1 )25 .ab4歼灭难点训练一、 1.解析：令a =cos2 ， b =sin2 ，则 x=asec2 ， y=bcsc2 ， x+y=asec2 +bcsc2xy=a+b+atan2 +bcot2 a+b+2a tan 2bcot 2ab2ab .答案：

14、a+b+2ab2.解析：由0 |a d| |b c|( a d)2 (b c)2(a+b)24ad (b+c)2 4bc a+d=b+c， 4ad 4bc，故 ad bc.答案： ad bc3.解析：把p、q 看成变量，则m p n， mq n.答案： m p q n二、 4.(1)证法一： a2+b2+c2 1 = 1 (3a2+3b2+3c2 1)3 3= 1 3a2+3b2+3 c2 (a+b+c)23=1 3a222222 2ab 2ac 2bc3+3b+3 c a b c=1 (a b)2+(bc) 2+(c a)2 0 a2+b2+c2 133证法二： (a+b+c)2=a2+b2

15、+c2+2ab+2ac+2bc a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 3(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2 1 3证法三：a 2b2c2a b c22 2a b c33 a +b +c32221 a+b +c3证法四：设 a= 1+ ， b=1+， c=1+.333 a+b+c=1， + + =0 a2+b2+c2=( 1 + )2+( 1 +)2+( 1 + )2333= 1 + 2 ( + )+ 2+ 2+ 23 3= 1 + 2+ 2+ 2 133 a2+b2+c2 13(2)证法一 :3a2( 3a2)3a2112,3b33c3同理3b2, 3c

16、2223a23b23c23(a bc)962原不等式成立 .证法二：3a23b23c2(3a2)(3b2)(3c2)333( abc)633 3a 23b 23c 2 3 3 6原不等式成立 .5.证法一：由22212221，整理成关于y 的一元二x+y+z=1 ， x +y +z =，得 x +y +(1 x y) =22次方程得：2y2 2(1 x)y+2 x2 2x+ 1=0 ， y R，故02 4(1 x)2 4 2(2x22x+ 1 ) 0，得 0 x 2 ， x 0， 2 233同理可得 y， z 0， 2 3证法二：设 x= 1+x， y=1+y， z=1+z，则 x +y +z

17、 =0，333于是 1 =( 1 +x )2+( 1 +y)2+( 1 +z ) 22333= 1 +x 2+y 2+z 2+ 2(x +y +z )33122212( y z )21 32= +x +y+z 3+x+2= + x332故 x 2 1 ， x1 ， 1，x 0， 2 ，同理 y， z 0， 2 93333证法三：设x 、 y 、 z 三数中若有负数，不妨设x 0，则 x2 0 ， 1=x2+y2+z2 22 ( yz) 2(1 x)2x23x2x11，矛盾 .x +22222x 、 y 、 z 三 数 中 若 有 最 大 者 大 于 2 ， 不 妨 设 x 2 ， 则 1=x2

18、+y2+z2 3322( y z) 22(1 x) 2321x +=x +2=2x x+22= 3 x(x 2 )+ 1 1 ；矛盾 .2322故 x、 y、z 0， 2 3证明bc2ca2abz22( xyyzzx)6.(1):xbyc2( b x 2a y22xy)( c y2b z22 yz)( a z2c x 22zx)abbcca( b xa y) 2( c yb z) 2( a zc x) 20abbccabc x 2ca ya b z22( xyyzzx)abc( 2)证明 : 所证不等式等介于x 2 y 2 z2 ( yzzxxy )2( xyyzzx) 2xyzxyz yz(

19、 yz)zx( zx)xy( xy)2( xyyzzx)2( xyz)( y 2 zyz2z2 xzx 2x 2 yxy 2 )2( x2 y 2y 2 z2z2 x 2 )4( x 2 yzxy 2 zxyz2 )y 3 z yz3z3 xzx3x3 yxy 32x 2 yz2xy2 z2xyz2yz( yz) 2zx( zx) 2xy ( x y)2x2 ( yz) 2y 2 ( zx )2z2 ( x y) 20上式显然成立，原不等式得证.7.证明： (1) 对于 1 i m，且 A mi=m (mi+1) ，A imm m 1m i 1Aimn n 1n i 1mimmm,同理ninn

20、n，由于 m n，对于整数 k=1， 2， ， i 1，有 nkm k ，nm所以A niA imiiiiii,即 m A nnA mnm(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+C 1n m+C 2n m2 +C nn mn，(1+n)m=1+C 1m n+C 2m n2+C mm nm，i ii i(1 i m由 (1)知 m A n n A m miCin niCim(1 m n )iA miiA ni) ，而 C m =,Cni!i!0022 m C n0=n C n0=1， mC 1n =nC 1m =m n，m C n2n C m2 ， ，mmC mn nmC mm ， mm+1C mn 1 0， ， mnC nn 0， 1+C 1n m+C 2n m2+ +C nn mn 1+C 1m n+C2 mn2+ +C mm nm，即 (1+m) n (1+ n)m 成立 .8.证法一：因a 0， b 0， a3+b3=2，所以(a+b)3 23=a3+b3+3a2b+3ab2 8=3a2b+3ab2 6=3 ab( a+b) 2 =3ab(a+b) (a3+b3 )= 3(a+b)(a b)2 0.即 (a+b)3 23，又 a+b 0，所以 a+b 2，因为 2 ab a+b 2，所以 ab 1