点集拓扑(答案)3页

1、选择公理定义：设X是一个集合。记为X中的所有非空子集构成的集族，即。如果一个映射：满足条件：对于任意，有 ，则此映射称为集合X的一个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理。1.设X和Y是两个集合。证明：cardYcardX当且仅当存在一个从X到Y的满射。证：设cardYcardX，即存在一个Y到X的一一映射f，定义g：，使其中为Y中一固定元，则g是从X到Y上的映射。反之，若存在从X到Y上的映射g，记则是X中非空族，并且中成员两两无交，由Zermelo假定存在集合，使得对于每一，是单点集，所以存在C到Y上的一一映射，即，又，故。2.设和是集合X的两个拓扑。证明也是集合X的拓扑。举例说明可

2、以不是X的拓扑。证：若，都是X的拓扑，由于，所以；任意,即，所以，任意，即，即，则，所以，因此是X的拓扑。例：设， ，易见都是X的拓扑，但，而， ，因此不是X的拓扑。3.设是一个拓扑空间，其中是任何一个不属于X的元素。令，。证明是一个拓扑空间。证：显然；任意，若A，B中有一个为，显然；若，则，故总有；任意，若，则；若，即，也有，故总有，所以为拓扑空间。4.证明实数集R有一个拓扑以集族为它的一个基，并说明这个拓扑的特点。证：记 。因为 。所以，由定理知，存在R的唯一拓扑以为子基。任意，因为，所以，即R的每一单点集皆为开集，因此T是R的离散拓扑。5.如果Y是拓扑空间X的一个开子集，则Y作为X的子空

3、间时特别称为X的开子空间。证明：（1）如果Y是拓扑空间X的一个开子空间，则是Y中的一个开集当且仅当A是X的一个开集。证：设Y为X的开子空间，则为Y的开集；反之，若A为Y的开集，则存在X的开集B使，而Y为X的开集，所以A为X的开集。有限补空间。设是一个集合。首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不是每次提起。因此在后文中对于的每一个子集，它的补集我们写为。令 = 先验证是的一个拓扑：（1），因为=；另外，根据定义便有。（2）设，如果之中有一个是空集，则。假定都不是空集。这时是的一个有限子集，所以。（3）设。令。显然有如果，则,设。任意选取。这时 是的一个有限子集，所以。根据上述是

4、的一个拓扑，称之为的有限补拓扑。拓扑空间称为一个有限空间。可数补空间。设是一个集合。令 通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）是的一个拓扑，称之为的可数补拓扑。拓扑空间成为一个可数补空间。6,、证明：1、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射。2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射。证：1、设为从拓扑空间X到平庸空间Y的映射，因为=X，而Y为平庸空间，所以Y中任一开集的原像都是X的开集，即为连续映射。2、设为从离散空间X到任一拓扑空间Y的映射，对Y中每开集U，因为X为离散空间，所以是X的开集，即是连续映射。7、设X和Y是两个拓扑空间，。证明一下两个等价。（1）、f

5、连续。（2）、对于Y的任一子集B，B的内部的原像包含于B的原像的内部，即：。证明：对于任意，由定理知，有f连续当且仅当当且仅当=。8、证明离散的拓扑空间中的序列收敛的充分必要条件是存在NN，使得当i,jN时。证明：充分性显然。必要性，设离散的拓扑空间X中的序列收敛于x,因为x的开领域，所以存在NN使得当iN时，即当iN时，=，因此当i,jN时，=x.9、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间。证明对于任何A，B有。证明：设，对于任意开领域，U*V，从而 (UA) 即 ，则。故，。反之，设，。对任意开领域W,存在，W=U*V,由于(UA) ，=W（）,所以，故。所以得证。10.证明：(1) 且且对任

6、何，且对任何。所以。(2) 且且存在，存在，使且存在，使 。所以11.N为自然数，令，。并令（1）证明T为N的拓扑。（2）写出的所有开邻域。证：（1）显然，又，任意，因此T为N的拓扑。（2）的唯一的开邻域为。设和都是拓扑空间。证明：1）积空间同胚于积空间；2）积空间同胚于积空间；3）如果空集并且空间同胚于积空间，则同胚于；证明：（1）定义使，显然为在空间上的一一映射，又皆为连续映射，故连续，类似可证也连续，即是同胚，故同胚于积空间（2）由定理3.2.9，知同胚于，下证明同胚于；记向的投影分别为，向的投影分别为，将向，投影分别记为，则这些投影皆为连续映射，定义映射，使得任意，= ,显然f是在空间上的一一映射。又，都为连续映射，故连续，所以f为连续映射，类似可证也为连续映射，故f为同胚，即同胚于。（4）由题意知存在同胚,取，则由3.1习题8（1）是一个同胚，令，对任何是一个同胚。作是一个同胚，其中是的第二个投射。3.1证明：离散空间（平庸空间）的任何一个商空间都是离散空