点集拓扑读书报告4页

1、读书报告 院系：数学与统计学院班级：09级本一班学号：0501090132姓名：蒋旭辉我的点集拓扑观大三上学期我们学习了点集拓扑，刚开始学习点集拓扑时觉得它特别难，即使上课认认真真的听讲，也有很多地方听不懂，但随着时间的推移，逐渐掌握了点集拓扑的学习方法，觉得他并不那么难了。点集拓扑可以形象的称为橡皮泥学科，因为它主要研究的是拓扑不变的性质。数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集

2、”来定义拓扑。对一个非空的集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）。要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的

3、闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间c，d与a,b同胚。二维球面挖去一个点s2p与欧几里得平面K2同胚。要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（见拓扑空间）。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究 ，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛

4、，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进。我觉得学习这门课程有两大任务：学习这门课程的知识、学习逻辑推理的方法 首先我们要明确：拓扑学研究的是什么？ 我们知道，数学各个分支研究了各个不同的数学空间（数学集合），它们各具有不同的性质这些集合有没有共性呢？它们最基础的结构是什么？ 拓扑学研究的对象就是高度抽象了的这些数学空间的具有最基础结构的空间它们只具有最基本的数学要求：开集当然，为了能进行数学运算，这些开集必须满足P48的定义2.2.1我们把这样的空间称为拓扑空间 拓扑学

5、以拓扑空间为基本研究对象，运用集合运算的知识，延拓出闭集、导集、闭包、序列、基、子基等概念 拓扑学以数学分析中的实数空间为基准，在拓扑空间中不断添加一些公理，构成了连通空间、可数性公理空间、分离性公理空间、紧致性空间等它们与实数空间在哪些方面是相同的？ 拓扑学研究连续映射、同胚变换，并研究在这些映射、变换之下，拓扑空间的哪些性质能被保留，哪些不能被保留？ 拓扑学还研究了哪些性质能被遗传、有限可积、可商 这是一门逻辑性极强的极抽象的推理性的课程学习的难度较大，但学好了它，对数学能力的提高有很大的作用其次，只有掌握了这门课程的证明方法（逻辑推理的方法），才能称得上学好了这门课程 学习这门课程，提醒

6、大家注意以下几点： （1）熟练掌握证明集合运算的常用方法 如：要证明A B,A=B,A为开集(AT),f连续,A为闭集,xd(A),x 收敛,X为A1,A2,Lindeloff ,T1，T4空间,正则空间,正规空间,完全正则空间，X为紧致空间等，应从哪儿入手？ （2）熟练掌握各种定义、定理，因为证明某个命题，往往是从定义出发去证明的 （3）证明某个命题，要证到什么程度才算证完，要心中有数证明的开头应如何写？ （4）每一步推理均要有根有据，根据只能是前面的定义、定理，有时也可参考一下集合的文氏图 （5）证明时用到的根据切不可将数学分析中的结论想当然地引入，因为数学分析中的实数空间是非常完美的度量

7、（拓扑）空间，既是A1,A2的，又是T4的，而要证的命题不一定具备这样的条件 点集拓扑学第1章 集合论初步 在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理我们只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述这样安排旨在不使读者过早地陷入繁难的逻辑困惑之中 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够的了那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著 即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构

8、成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(和)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理以下五道选择题是我觉得特别号的几道，可以帮助我们更好的理解概念。单项选择题1、实数空间 ( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对2、整数集 作为实数空间 的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对3、有理数集 作为实数空间 的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对4、无理数集作为实数空间 的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满