历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

1、全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 (m n) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA 1.已知2阶行列式 a1a2 m , b1 b2 n ,则 b1b2 b1 b2 C1C2 a1C1a2C2 每小题 2分，共20分） D. m B. n A.m n 一、单项选择题（本大题共 10小题, C.m n (B ) b1b2 b1 b2 b1 b2 a1 C1 a?C2 a1 a2 C1C2 m n n m. 2 .设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB BA, AC CA，则 ABC ( D ) ABC (AB)C (BA)C B(AC) B

2、(CA) BCA. 3 .设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且|A| 1, |B| 2，则行列式|B|A|之值为（A ） A.8 B.2 C. 2 D.8 |B|A| | 2A| ( 2)3|A|8. a11 a12 a13 a11 3a12 a13 1 0 0 1 0 0 4. A a21 a22 a23 ,B a21 3a22 a23, P 0 3 0 , Q 3 1 0，则 B ( B ) a31 a32 a33 a31 3a32 a33 0 0 1 0 0 1 A. PA B. AP C. QA D. AQ a11 a12 a13 1 0 0 a11 3a12 a13 AP a21 a22

3、 a23 0 3 0 a21 3a22 a23 B. a31 a32 a33 0 0 1 a31 3a32 a33 A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩（A）=2 5.已知A是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（C ） B. 若A中存在2阶子式不为0，则秩（A=2 C. 若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D. 若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6 .下列命题中错误的是（C ） A. 只含有1个零向量的向量组线性相关 B. 由3个2维向量组成的向量组线性相关 精选文库 C. 由1个非零向量组成的向量组线性相关 D. 2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7 .已知向量组 1，

4、 2, 3线性无关, 线性相关, A.1必能由 线性表出 B. 2必能由 1，3, 线性表出 C.3必能由 线性表出 D. 必能由 3线性表出 A.小于m B. 等于m C. 小于n D. 等于n 注: 的一个极大无关组. 8 .设A为m n矩阵，m n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是 A的秩（D ） 20. 61 # 注：方程组 Ax=0有n个未知量. 9 .设A为可逆矩阵，则与 A必有相同特征值的矩阵为（ A ） A. AT B.A2 3 C. A 1 D.A A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 | E At | |（ E A）t | | E A|，所以A与A有相同的特征值.

5、 10.二次型 f(Xi,X2,X3) x； X； x! 2X1X2的正惯性指数为（C ） 2 2 2 2 f (X1,X2,X3) (X1 X2)X3% ，正惯性指数为 2. 二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分） 11.行列式 2007 2008 2009 2010 的值为 20072008 2009 2010 2000 2000 2000 2000 7 8 9 10 1 1320 13.设(3, 1,0,2)T , （3,1, 1,4）T，若向量满足2 3 ，则 12.设矩阵 A 201, B 0 1，则 ATb 精选文库 32(9,3, 3,12)t (6, 2,0,

6、4)T(3,5, 3,8)T . 14设A为n阶可逆矩阵，且|A|1，则I I A 1 I n 15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解, 则I A| n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则|A| 0. x1 x2 x30 16齐次线性方程组123的基础解系所含解向量的个数为 2x1 X2 3x30 A 111111，基础解系所含解向量的个数为n r 32 1 . 2 13031 1 1 17设n阶可逆矩阵A的一个特征值是3，则矩阵 丄A2必有一个特征值为 3 1 2 1 2 1 2 1 1 A有特征值3，则-A2有特征值-(3)23 ,-

7、A2有特征值. 3 333 1 2 2 18 .设矩阵A 2x0的特征值为4,1, 2，则数X 2 0 0 由 1x0412，得 X 2. a1/42 0 19.已知A 1/J2b 0是正交矩阵，则 a b 0 1 1 由第1、2列正交，即它们的内积 （a b） 0，得a b 0. V2 20.二次型 f (x1 ,X2, X3)4X4X2 2x1X3 6X2X3 的矩阵是 7 三、计算题(本大题共 6小题, 每小题 9分, 共54分) 21.计算行列式 a a2 b b2 c c2 的值. abc abc 1 1 1 解：D c2以2 abc c2u22 abc abc abc a a b

8、b c c Ju3c3 abc a2 b2c2 b b a c 1 1 1 c3 3 a3 abc b b2 a a2 c c2 a a2 abc b b2 abc(b a)(c a) abc(b a)(c a)(c 22.已知矩阵B (2,1,3), (1,2,3) 求(1) A BtC ； (2) A2 解：(1) A BTC 1 3 (1,2,3) (2)注意到CBt (1,2,3) 13 , 所以 A2 (BtC)(BtC) Bt(CBt)C 13BtC 13A 13 1 23设向量组 1 (2,1,3,1)T , 2 (1,2,0,1)T , 3 ( 1,1, 3,0) T, ,4

9、（1,1,1,1）T ，求向量组的秩 及一个极大线性无关组， 并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量 2 1 1 1 11 0 1 1 10 1 1 2 1 1 12 1 1 0 11 0 解： A ( 1, 2, 3, 4) 3 0 3 1 30 3 1 0 33 2 1 1 0 1 21 1 1 0 11 1 110 1 1 1 0 1 10 1 1 011 0 0 1 1 0 01 1 0 ，向量组的秩为 3 ， 1, 2, 4 是 000 2 0 0 0 1 00 0 1 000 1 0 0 0 0 00 0 0 一个极大无关组， 3 1 2 1 2 3 14 24已知矩阵 A 0

10、 1 2 B 2 5 （1）求 A 1 ； （2）解矩阵方程 AX B 0 0 1 1 3 1 2 3 1 0 0 1 201 0 3 解：（1） （A,E） 0 1 2 0 1 0 0 100 1 2 0 0 1 0 0 1 0 01 0 0 1 100 1 2 1 1 2 1 010 0 1 2， A1 0 1 2； 001 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 4 4 9 ( 2) X A 1B 0 1 2 2 5 0 11 0 0 1 1 3 1 3 x1 2x2 3x3 4 25问 a 为何值时， 线性方程组 2x2 ax3 2 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出 2x1 2x2

11、 3x3 6 其解（在有无穷多解时， 要求用 一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 34 解： (A,b) 0 2 a 2 0 2 a 2 0 2 a 2 2 2 3 6 0 2 3 2 0 0a 30 精选文库 (A,b) a 3时，r(A,b) r(A) 3，有惟一解，此时 Xi X2 X3 (A,b) a 3时，r(A,b) r(A) 2 n，有无穷多解，此时 X100 2 9 0 3/2 0 X1 2 1, X2 X3 3，通解为 X3 0 3/2 ，其中k为任 1 意常数. 26 .设矩阵A 0 1,2,5，求正的常数 a的值及可逆矩阵P,使

12、 a的三个特征值分别为 3 P1AP 0 2 0 0 解：由|A| 2(9 a2) 1 2 5，得 a24，a 2 . 对于11，解(E A)x X2 X3 ，取 P1 X3 X3 对于22，解(E A)x 精选文库 000010Xi 1 X2 X1 0 , P2 对于 X3 A)x X1 X2 X3 ，取 P3 X3 X3 (P1, P2, P3) 则P是可逆矩阵, 1AP 四、证明题 （本题 6分） 27.设 A, B, A B均为n阶正交矩阵，证明（A B) 1 证：A, B, A B均为n阶正交阵，则 AT a 1 bt (A b)t (A B) 1，所以 (A B) 1 (A B)t

13、 At Bt A1 全国2010年7月高等教育自学考试线性代数 （经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分） 1 .设3阶方阵A 3），其中i （ i 1,2,3 ）为A的列 向量，若 |B| |( 12 2,2,3) | 6，则 I A| ( C ) |A| 1( 1,2 ,3) | |(122 ,2 , 3)| 6 . A.12 B. C. 6 D. 12 2 .计算行列式 A.180 10 B. 120 C. 120 D. 180 11 精选文库 2 10 2 10 0 0 3 ( 2) 2 10 3 ( 2) 30180 . # 3.若A为3阶方阵且

14、|A 1 | 2，则|2A|( C ) B. 2 C. 4 D.8 1 3 1 |A| 2，|2A| 2 |A| 8 2 4. 4 设 4都是3维向量，则必有(B A. 1,2,3,4线性无关 B. 4线性相关 C 1可由2,3 , 4线性表示 D. 1不可由 2,3, 4线性表示 5 .若A为6阶方阵，齐次方程组 Ax=0基础解系中解向量的个数为2,则r(A) ( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 由 6 r(A) 2，得 r(A) 4. 6 .设A B为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C ) A. A与B相似 B. |A| |B| C. A与B等价 D. A与 B合同 注

15、：A与B有相同的等价标准形. 7 .设A为3阶方阵，其特征值分别为 2,1,0，贝y |A 2E|( D ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 24 A 2E的特征值分别为4,3,2，所以IA 2E| 4 3 224 . 8 .若A B相似，则下列说法错误 的是(B ) A. A与B等价 B. A与 B合同 C. |A| |B| D. A与B有相同特征值 注：只有正交相似才是合同的. 9.若向量 (1, 2,1)与 (2,3,t)正交，则t ( D ) 精选文库 A.2B. 0C. 2D. 4 由内积26 t 0，得t 4. 10设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B ） A.

16、A正定 B. A半正定 C. A负定 D. A半负定 对应的规范型2z12 去 0 zf 0，是半正定的. 13 二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分） 3 2 沁211 11.设 A 01, B，则 AB 0 1 0 2 4 1 im 1 3（ 1,2,2）. 32 6 53 2 1 1 AB 0 1 0 1 0 . 0 1 0 24 4 2 2 12. 设A为3阶方阵, 且 |A| 3 , 则 I3A 1 |. 131 3 1 3 1 |3A | 3 |A | 3 3 9 . |A| 3 13. 二兀方程 x1 X2 X3 1的通解是. X1 1 X2 X3 1 1 1

17、X2 X2 ，通解是 0 k1 1k2 0. X3 X3 0 0 1 14.设 （1,2,2），则与反方向的单位向量是 15设A为5阶方阵，且r（A） 3，则线性空间 W x|Ax 0的维数是 W x|Ax 0的维数等于Ax 0基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 . 16. 精选文库 |5a11 53 缶 125. 17.若A、B为5阶方阵，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，则r(AB) Ax 0只有零解，所以 A可逆，从而r(AB) r(B) 3 . 2 18实对称矩阵1 0 1 0 01所对应的二次型f (x1 ,x2 ,x3) 1 1 f(X1,X2,X3)2xf x2 2X1

18、X2 2X2X3 . 1 19 设3元非齐次线性方程组 Ax b有解12 , 3 1 2，且r(A) 2，则Ax b的通 3 解是 1 1 1 (12)0是Ax 0的基础解系，Ax b的通解是 2 2 03 1 20.设 2，则A 3 T的非零特征值是 1 由T (1,2,3) 214，可得A2( T ) T 14 T 14A，设A的非零特征值是 3 则214 三、计算题(本大题共 6小题，每小题 9分，共54分) 21 .计算5阶行列式D 1 2 # 精选文库 2001 解：连续3次按第2行展开, 2 0 1 2 1 4 0 2 0 8 1 2 1 0 2 0 0 2 0 0 2 1 3 4

19、 X. ，求 8 3 22.设矩阵 X满足方程 解：记 AXB 1/2 B1 1/2 1CB X1 X2 3x3 X41 4 的通解. 23.求非齐次线性方程组 3x1 X2 3X3 4x4 X1 5X2 9X3 8x4 0 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 13 1 1 解：（A,b） 3 1 3 4 4 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 1 5 9 8 0 0 4 6 7 1 0 0 0 0 0 4 4 12 4 4 4 0 6 3 5 1 0 3/2 3/4 5/4 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 0 1 3/2 7/4 1/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20、 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 2 15 精选文库 17 x1 X2 5 4 1 4 X3 X4 3 2x3 3 2X3 X3 3 4x4 7 4X4 X4 ，通解为 5/4 1/4 0 24.求向量组 (1,2, 1,4), ki 3/2 3/2 1 (9,100,10,4), k2 解：（1T, 100 50 10 4 10 1 ，向量组的秩为2, 25.已知A 的一个特征向量 (1,1, 1)T 出对应于这个特征值的全部特征向量. 解： 所对应的特征值，则A 可得a 3 , 对于 解齐次方程组 A)x x1 X3 X2 X3 ，基础解系为 ，属于 X3 X3 3

21、/4 7；4, k1,k2都是任意常数. 2, 4,2, 8）的秩和一个极大无关组. 41 19 8 2是一个极大无关组. ，求a,b及 所对应的特征值，并写 ,从而 1的全部特征向量为 ,k为任意 精选文库 2112 12 非零实数 26设 A ，试确定a使r（A） 2 . 解： A 四、证明题 27若 a2 0时 r(A) 2 本大题共 1 小题， 6 分） 3是 Ax b（b 0）的线性无关解，证明 1是对应齐次线性方程 组 Ax 0 的线性无关解 证：因为 3 是 Ax b 的解，所以 21 ， 1 是 Ax 0 的解； 设 k1( 2 1) k2( 31) 0 ，即 ( k1 k2

22、) k1 2 k2 3 0 ，由 1, 2, 3 线性无 k1 k2 关，得 k1 0 0 0 ，只有零解 k1 k2 0 ，所以 13 1线性无关 k2 # 精选文库 全国2011年1月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明：本卷中，A1表示方阵 A的逆矩阵，r（A表示矩阵A的秩，（ ,）表示向量 的内 积，E表示单位矩阵， 、单项选择题（本大题共 | A|表示方阵A的行列式. 10小题，每小题2分，共 a11 a12 a13 2a11 2a12 2a13 1.设行列式 a21 a22 a23 =4,则行列式 a21 a 22 a23 a31 a32 a 33

23、3a 31 3a 32 3a 33 20分) =( A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A B, A.AVB C, X为同阶方阵，且 A B可逆，AX 5 0-1$ 172 9 173 9 ， S 0 -1 6 2 10 4 2 10 4 0 31 3 0 313. 23 Ad 町= 1729* 17 2 r 0 -21 -? 1 0313 0 -13 -4 -14 0 -13-14 0313 J 0313_ R 7 2 Q 0 -3 2 OJ 0 J 故収虽”餌是扱大线性尤关组*且 2牡鲜:柜聲A的特征窑呗式为： 工十I -4 亠3 XE-A 2 A 5-3 匸心1卩 吃 4屮

24、 故丸的持征伍为1九0*釘=為=】 对于丄严叽求解芥次线性方程爼豹费A)jr-0 得一个S瑞解系为卫严 ，枚博于丄* = 0的全部特征向fi緘 -1 0) 对特征值站一為一1,考世齐次线性方程组门 故S于特征值入=23 = 1的全瓠特征罐为 r y Z:+Aflf 严 h 1 +占 0 0 A ，其中dL不全为a 2乩解:对A施行初尊行变换将齐化皱阶梯底 1 -1 2 -1 Ji屮初车遷上电曲.底*7 r片打：Fjh 全国2012年7月自考 线性代数(经管类)试题 课程代 码:04184 说明：本卷中養示柜阵川的转严丁表示向的转.E A示单隹矩阵订咼丨表示方阵A 的行列式鼻7養示方阵為的葩矩阵

25、八)表示矩阵A的袪. 一，单项选择a fi大H共10小題毎小题2井，共20分) 在每小S列出的四个备选项申貝有一个是符舍题g要求的，常代码填写在题后 的括号内错选、零遶盛耒选均无分. L址A为三阶矩阵且僅7丨=乳则1%灯C ) A. -9B. -1C, In. 9 2”设上=叫心卫其中餌H=l,2是二维列洵ft,若lAUi, 则II 4旳，细广3%,码1 =() A. ZiB. 12C, 12 XBtA.H均为方阵则下列结论中正确的是) A.若狙甘 1-0,则 A-U 或 U=0氏若冏=0*mSA|= 0 或|B|=O C.若八氛則4=0亚B=OIX若AZfHO*则|川#0或|f0#0 4.设A为H阶可逆阵，则下列等式成立的是() A. CAJ?) =4 B it tA + /J) -A- +tf I工1十/n-i I 乂|凫7十| I 3.设冲为“心则齐次方程AX=0必 九无解 C.有无穷解 ，则 rtA)=( B.2 C3 I). 4 2 0 (f 2 0 0 0 0 o 2 0 O 甩 0 1 0 B. 0 0 0 0 1 0 D. 0 0 0 0 0 0 _-k L01. 0 0 4 0 0 2 p 9设为同阶方阵，且r(A)-r(B).M ( 甩