带电粒子在磁场中的运动专题精析

1、(1)若k= 1,求匀强电场的电场强度E； 带电粒子在磁场中的运动难点突破 解决带电粒子在磁场和复合场中的运动的问题，需要利用洛伦兹力作用下的动力学问题，以 及数学中的平面几何学和解析几何学的知识。其通常是无法找到相应的几何关系，例如圆的 半径和圆心，无法绘制轨迹，无法掌握边界问题，临界问题，极值问题，无法找到条件，或 是复合场中复杂的运动不知从何下手等等。下面就对这类问题的难点归类分析。 一、带电粒子在 有界磁场”中的运动分析有界磁场大致可分为直线边界，圆形边界，三角形 边界，下面举例分析. 1. 在边界为直线的磁场中，巧用 有界磁场”中的对称及反对称特点：带电粒子如果从匀强 磁场的直线边界

2、射人又从该边界射出，则其轨迹关于人射点和出射点线段的中垂线对 称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等；如果带电粒子依次通过两个磁 感应强度大小相等、方向相反且相同区域和边界的匀强磁场，则运动轨迹还有反对称 性，如图1所示. 【例1】（2014年广东卷第36题）如图2所示，足够大的平行挡板 Ai、A2竖直放置，间距 6L.两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域 I和n,以水平面MN为理想分界面，I区的磁 感应强度为Bo,方向垂直纸面向外。Ai、A2上各有位置正对的小孔Si、9,两孔与分界面 MN的距离均为L.质量为m、电量为+ q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水 平方向从Si

3、进入I区，并直接偏转到MN上的P点，再进入n区，P点与A1板距离是L的 k倍，不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑 y X % X X X|X K X X X xxxxxxxx 札AlAi (2)若2 kv 3,且粒子沿水平方向从 S2射出，求出粒子在磁场中的速度大小 V与k的关系式 解析：(1)设粒子进人磁场的速度大小为 V, i 则根据动能定理可得：qEd _切V2 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r，则根据牛顿第二定律可得: aV2 Boqv= m 和n区的磁感应强度B与k的关系. 依题意有r _ L,解得E _ B02 2md (2)带电粒子在两磁场中的运动轨迹如图 3所示.设粒子在

4、磁场区域 I中运动半径为ri，则根据牛顿第二定律可 V 得：Boqv_ m石 St X X y X X X X XjjX X X X X X X X X X 乂“応X X X X X X X X XXX x X X St 而由几何知识可得 R2= (kL)2 + (ri- L)2 解得ri_号L. 所以有 BoqLr i (i + k2)BoqL _右_2m (2 k3) 设粒子在磁场区域 n中运动半径为2, 则根据牛顿第二定律可得: mv2 Bqv _ 77 而由对称性和几何知识可得 2_ (3 k)L ri kL 而_ B0,解得B _代 ri B2 k (2 k 3). 2 k 3,所以

5、粒子只能两次通过磁场区域的 【点拨】正确求解本题的关键是根据对称性作图，因为题目合岀 分界线MN，否则粒子沿 MN运动距离就会超过 6L. “宀BoqL2kBo 答案:E_ 2md ；(2)B_2k 2. 带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长 线必过圆心.利用此结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，巧妙解决复杂的多值问题 【例2】如图4所示，一个带正电的粒子，从 A点正对着圆心0以速度U射入半径为R的绝 缘圆筒中.圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.要使带电粒子与圆 筒内壁碰撞多次并绕筒一圈后仍从 A点射出，求带电粒子在磁场中运动的时间 t

6、.设带电粒子 与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力 解析：设粒子与圆筒碰撞(n 1)次，粒子速度偏转角为0如图5所示, 则由几何对称关系可得 n( n一 ) = 2 n tan0=R 正离子在磁场中运动的时间 综合式得 n (n 2) n Rtaq t = 【点拨】本题根据带电粒子进入圆形磁场的对称特点，巧妙画岀带电粒子的运动轨迹，轻松求解多值问题，本 题如果去掉 绕筒一圈”，又怎么列方程，大家可以思考 n (n 2) n Rtani 答案：t= v 3. 巧用动态圆旋转、缩放、滚动等方法画轨迹，寻找临界条件，定区域、定范围、求极 值，解三角形磁场边界问题. 【例3】如图6所示，S

7、为电子源，它在纸面360范围内发射速度大小为V0，质量为m，电 量为q的正粒子，MN是一块足够大的竖直挡板，与 S的水平距离为L,挡板左侧充满垂直 纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 器，求挡板被粒子击中的范围为多大? 解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时 针旋转，如图7(a)所示. 这样可以作岀打到最高点与最低点的轨迹，如图 KT 0 a * 7(b)所示，最高点为动态圆与 MN的相切时的交点 P，最低点 为动态圆与 MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力, 2 ,Vo 由 qvoB=

8、二得 R mvo , R=mB0=L SQ为直径，则 SQ= 2L， SO= L，由几何关系得 OQSQ2-OS2 = V3l P为切点，所以 0P = L，所以粒子能击中挡板的范围为(1 +雨)L. 【点拨】带电粒子在磁场中运动的速度大小不变，所以半径恒定，可以通过旋转大小相同的动态圆，巧妙确定 岀有界磁场中带电粒子的范围 答案：（1 +J3）L 【例4】如图8所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为 d,电压为U，两板间有匀强 磁场，磁感应强度为Bo,方面平行于板面并垂直纸面朝里.图中右边有一边长为a的正三角 形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度

9、大小 为B,方向垂直纸面向里.假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的 方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。 不计重力. （1）已知这些离子中的离子甲到达边界 EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量； 3a （2）已知这些离子中的离子乙从 EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为74,求离子 乙的质量; （3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问 磁场边界上什么区域内可能有离子到达? 解析： 解得离子的速度为：v= Bd（为一定值） 虽然离子速度大小不变，但质量m改变，结合带电离子

10、在磁场中做匀速圆周运动的半径公式 R二mv分析，由 动态圆放大，可画岀不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图 9所示.由题意知，离子甲的运动轨迹是 图10中的半圆，半圆与 EG边相切于A点，与EF边垂直相交于 K点，由几何关系可得半径 图10 R 甲=acos30 tan 15 =（一2）a。 从而求得离子甲的质量 ,厂 3 adqBBo m 甲=W3 2） (2)离子乙的运动轨迹如图11所示，在 EIO2中，由余弦定理得 r1= （4）2 + （a R 乙）2 2（a）（| 卡 乙）cos60 解得：R乙=4,从而求得乙离子的质量为m adqBBo 4U mv 由半径公式 R= qB可知

11、Rxm，结合(1)(2)问分析可得: 若离子的质量满足 乌甲 m呦甲，则所有离子都垂直 EH边离开磁场，离开磁场的位置到H的距离介于 R甲到 3 2R甲之间，即(J3 3)a到(2西一3)a之间; 若离子的质量满足 m甲V m0)的粒子从坐标原点0沿xOy平 面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中.不计重力和粒子间的影响. (1)若粒子以初速度V1沿y轴正向人射，恰好能经过x轴上的A(a，0)点，求w的大小; 已知一粒子的初速度大小为v(vvi),为使该粒子能经过A(a, 0)点，其人射角0 (粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin值; 如图14所示，若在此空间再加入沿y轴正向

12、、大小为E的匀强电场，一粒子从0点以 初速度vo沿y轴正向发射.研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒 子速度的x轴方向的分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小 E无关.求 该粒子运动过程中的最大速度值 vm. 图13 * *1/ f n 14 宪# 0015 解析：(1)带电粒子以初速度V1沿y轴正方向入射后，在磁场中做匀速圆周运动，刚好转过半周到达 x轴上的A a 点，设此时的轨道半径为R1，有：R1= 2 由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有: 2 mv1 qBv1= 由式联立解得：v1=qBa (2)带电粒子以初速度V人射时，在磁

13、场中仍然做匀速圆周运动，设此时轨道半径为 mv R,对照式可知：R= Bq 由于v vi,贝U R Ri = a要使其圆轨迹能经过A点，贝y 0工90，绘岀粒子的轨迹图如图15所示，轨迹圆有两 个，但圆心都落在 0A的中垂线上，设做两个圆周运动的速度入射方向与 x轴的夹角分别为0和0，根据图中 几何关系有：sin 0= sin 0=走 2R 由式联立解得：sin= Bmv (3)粒子在磁场中仅受洛伦兹力和电场力作用，又洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功，因此只有电场力做 功，根据题意可知，当粒子运动至y轴正方向最远处时，速度最大为vm,且沿x轴正方向，设y轴正方向最远 处的y坐标为Vm，由于v

14、x与y成正比，设比例系数为 k， 有：vm = kym 在y轴正方向最远处的 y坐标为Ro,有：v0= kRo 对照式可知：Ro=晋 由式联立解得： Vm = |+述+ v0 第三问同样可以用零速度分解法”: 给粒子加一沿 x轴正向的V1和负向的VI,且使正向的速度V1满足由V1产生的竖直向下的洛伦兹力fi= gviB 正好与小球向上的电场力大小相等，即qE = qviB，得vi= I/B，x轴负向的速度一vi，使小球又受到向上的洛 伦兹力f2= qviB，这样小球的运动就可以看成是水平向右沿 x正向的匀速直线运动与受到竖直向上f2= qvuB和 f合=qv合B，而圆周运动的合 水平向右fo= qvoB的合洛伦兹力作用下的匀速圆周运动的合运动，合洛伦兹力 速度v合=寸V0 + v1 .当粒子运动至y轴正方向最远处时，速度最大为Vm= V1 + V合，即Vm = g +、/g + V0 .题 中已知量 在任一时刻，粒子速度的x分量Vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关”同样 用不上. 答案：Vm = I 孰 V0 总之，带电粒子在匀强磁场中的运动问题，其难点在于带电粒子进入有边界的磁场