微分方程的边值问题

1、微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。二阶常微分方程为y= f (x, y, y) , axb(1.1)当 f (x, y, y)关于 y, y 为线性时，即 f (x, y, y = p( x) y + q( x) y+r (x)，此时(1.1)变成线性微分方程y-p(X)y一q(x)y=r(x) , axb(1.2)对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类:第一类边界条件为(1.3)当a =0或者P =0时称为齐次的，否则称为非齐次的。第二类边界条件为(1.4)当a =0或者P =0时称为齐次的，否则称为非齐次的。第三类边界条件

2、为y(a) -%y(a) =% , y(b) +y(b)=久(1.5)其中a0 0, P。0严0 + P。0，当a 1=0或者P0称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。1打靶法介绍F面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。【原理】假定y (a) = t，这里t为解y(x)在x = a处的斜率，于是初值问题为jy= f (x, y, y)y(a)ly (a)= t(1.6)令Z = y，上述二阶方程转化为一阶方程组V=z(1.

3、7)(1.8)z= f (X, y, z) y( a) - a z( a) = t原问题转化为求合适的t，使上述初值问题的解y x, t)在X = b的值满足右端边界条件y(b, t) = P这样初值问题(1.7)的解y(X, t)就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。而对给定的t，求(1.7)的初值问题可以用欧拉方法、龙格-库塔方法等初值问题的数值解法求解。理论上y( X, t)是隐含t的连续函数，如果 y( X, t)已知，要使得(1.8)成立，可以通过求非线性方程(1.8)的零点来得到合适的t，这可用任何方程求根的方法，例如牛顿法、或者其 它迭代法。实际上，y( X, t)是很难找到的

4、，因此必须寻找满意的离散解数值解。F面叙述打靶法的计算过程：(这里S为允许误差，t的修改使用线性插值方法)Step 1：先设t =1，求解初值问题(1.7)，得到y(b,to)= P。；若|P-Pol兰S，则y(Xj, to) (j = 0,1,，n)为问题(1.7)的满意的离散解，结束;Ste p2：若|PPo|a名时，令t=t，求解初值问题(1.7)，得到y(b, t,) = p1 ；若|P-p1|Es，则y(Xj, t1)(j= 0,1，,n)为问题(1.7)的满意的离散解，结束;否则转Step3；Ste p3:由线性插值得到一般计算公式y(b, tk 邙tk= tk - y(b,；k)

5、；(b?；k4)(tk 一)，k = 1,2,(1.9)Step4：令t =tk十，求解初值问题(1.7)，得到y(b, &卅)=Pk十；若|p-Pk +|3，则y(Xj tk X jO,)n为问题(1.7)的满意的离散解，结束;否则转Step3。这个过程好比打靶，tk为子弹发射率，y(b) = P为靶心，当| P - Pk戶名时则得到解,故称打靶法。【例1】用打靶法求解非线性两点边值问题4 y + yy = 2 x3 +16,2X 3=835y(2)y(3)要求误差 0.5x10(。精确解为y(x)= X2=T【解】：首先将原问题化成初值问题ly=z!,yz 丄 X3 丄/F =- N +4

6、 |y =8z(2)= tk对每个tk，使用4阶RK方法求解上述问题，即利用公式yyn 中h(K +2k2 +2k3 + k4)其中ki = f (tn, yn), k2 - f (tn 中卡 h , y号 K)，k3 = f (tn + 2 h, yn +1 k2), k4 = f (tn +h , yn +hk3)计算,取步长为h=0.02。Stepi选择 t0=1.5，求得 y(3,t0)=11.4889, | y(3,t0)-善 |= 0.1777 a s ；Step2选择 t =2.5，求得 y(3,tj =11.8421, | y(3,tj -善 |= 0.0755 a s ;St

7、ep3根据 t。,ti 以及 y(3,t。)=11.4889和 y(3,t) =11.8421,禾U用公式(1.9)，计算得到t2 = 1 y:椁：)(t1 tc) =2.0032251Step4对t2,利用RK方法求解，计算得到y(3,t2)=11.6678, I y(3,t?) -y卜名,转Step3。重复Step3和Step4,可求得=1.999979 , y(3,ts) =11.66659；t4 =2.000000 , y(3,切=11.66666667,满足要求，此时解 y(Xj,t4)( j = 0,1，,m)即为所求。对于第二类、第三类边值问题也可以作类似处理。例如，对第二类边值

8、问题，它可以转化为以下边值问题jy = z |z= f (X, y,z)y( a )= tkz(a ) = y (a) =a解此初值问题得到y(b, tk)及z(b,tk)=y (b； tk)，若 Iz( b； tk)，贝Uy( xj ； tk)为边值问题的解。2差分方法介绍差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程离散化为非 线性或线性方程组(即差分方程)求解。下面考虑边值问题yJ f (X, y) , axb(2.1) y(a) =ay(b) = P将a,b作 N+1等分，分点为 Xi=a +ih , i = 0,1； , N+1, h= ,若在a；b内点Xi (

9、= 1,2；-N用差商近似导数，由2y (xi)=座1 y(4) (Zi)忽略余项，并令y止y(Xi)，则(2.1)离散化得到差分方程(2.2)P V f(Xi ； ”)+ 忤 N lyo, yiNF = p利用差分方程(2.2)逼近边值问题(2.1)，其截断误差阶为0(h2)，为了得到更精确的逼近可利用泰勒展开。设(2.1)中的微分方程改用以下差分格式逼近，即(2.3)y + 2yyi 4 =出 f (為加 y 十)+ % f (為,%) + P-f (為二，斗)其中日仆P。，P斗为待定参数，记L y(x);h = y(x+h)2 y( x) + y( xh)-h2p1 y”( x + h)

10、 + p0 / (x)+L y (x-h)在X处按泰勒公式展开到 h6，按h幕次整理得L y( X )； h =1 一( p1 + p0 + L)h2 y (x)+( Pt p1)h3 y“(x)+爸 -；(P1 + 4) h4 y(x) +款 PP1)h5 y(5) (x) +|i(PPi) h6 y (X )+0( h7)若令 1(p1 +Po + Pj =0,匚p1 =0,2；(p1 +P_,) =0,解得Ly(x);h = - 240 h6y(6)(x)+O(h7)(2.4)将以上结果代入(2.3)，则得到(2.1)的差分方程”i十2Vi +yia=-t2( fi昇10 fi + fi

11、_l) i= 1； , N ly。, Vn hl = P(2.5)它的截断误差由(2.4)得到，逼近阶为Ly(x);h/ h2 = O(h4)。无论用哪种方法建立差分方程都要讨论差分方程的可解性及解法,并且证明差分方程解y当h T 0时hmo yy( Xi)。下面以差分方程(2.2)为例讨论它的可解性及解法。将(2.2)改写成下面的形式(2.6)其中,2-1-12-1yi 1y2f(“yJ-G/h2 f (X2,y2)，(y) = h2-1 2-1-12Vn 4LVnf (Xn _i, Vn _i)Lf ( Xn , Vn )-P/ h2.当f (X, y)关于y非线性，则e( y)非线性，故

12、(2.6)是一个非线性方程组。它可以利用牛顿法或者其它迭代法秋季诶，并有如下结论:【定理1】对于边值问题(2.1)，设f ,4在域D= axb,| y|0,则非线性方程组(2.6)存在唯一解y*，可用牛顿迭代法(2.7)y( k +) = y(k) _(A+ -(y(k)-( Ay(k ) g( y(k), k =0,1，求解，并有kmy (k亠y*。在上述定理的条件下，还可以得到差分方程(2.6)解的收敛性，即Ihml yi -y(Xi)| = 0,i = 1,2,，N。对于边值问题(1.1)、(1.3)，可以类似地得到相应的差分方程J yi + 2 yi + yi 二=h f ( xi,

13、yi钉丄) ly。 , yiN卄 P(2.8)并有如下结论:【定理2】对于第一类边值问题(1.1)、(1.3)中，函数f冷，务D = (x , y : y)伞0, if (x, y, y兰 M则边值问题(1.1)、(1.3)有唯一解，在要求 hM，则(2.8)有唯一解。解非线性方程组(2.8)仍可用牛顿法。F面再考查线性边值问题(1.2)、(1.3)，类似可以得到线性差分方程Pig-刖日,i = 1,2，,N“0 =a , yN 41 = P(2.9)其中p = p(Xi) , q =q(Xi), r =r(xj，重新改写得到将第I(1+h Pi) yi 4+(2+h2qi) yi -(1-号

14、 Pi) yi 卅=-h2 r： , i = 1,2,N y0, yN 十=P2式代入第1式并写成矩阵形式，得线性方程组Ay = b(2.10)其中2 中h2qi-1 一号 P22 p1 T2+h2q22 P2 122 + h qN 4一1 2 Pn2 Pn -4-122 + h qN .-h2r1 +(1 +h P1)a-h2r2yN 4LyNh2rN + (1-h Pn )P该方程组为一个三对角的线性方程组，可用追赶法求解。对第二类、第三类边值问题，可以类似地将相应的边界条件(1.4)及(1.5)离散化，分别得到它们的差分近似(2.11)-y2屮y1 -3 y03 yN十上yN 刊N丄 R2n a , P以及2 44 yi -3 yo2h- a。y0 =Ct1 ,2h(2.12)yo,yi,yN半的n+2个方程的线性将它们分别代替(2.9)中的边界条件，则可得相应的关于则当 h0, L= max | p (x) |, a全空解。【定理4】 设在a, b上q(x)0, p(x)三0，边值问题(1.2)、(1.3)的解为y(x)，y(x严 C4a,b, M 4 = mnaxb | y(x)|。(2.10)的解为 (i= 1,2,N )，则1 z X1 . M4(b)2 . 2l y(Xi