抛物线的几何性质.

1、抛物线的几何性质 教学目标： 1掌握抛物线的几何性质；能根据几何性质确定抛物线的标准方程 2能利用工具作出抛物线的图形提高综合解题能力 教学重点及难点： 1抛物线的几何性质，抛物线定义，性质应用 2 几何性质的应用，解题思路分析 教学过程： 第一课时抛物线的几何性质 I 复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 练习：已知抛物线 y2= 2px的焦点为F，准线为I,过焦点F的弦与抛物线交于 A、 B两点，过 A、B分别作AP丄I, BQ丄I, M为PQ的中点，求证： 略证：过F作FN丄AB交准线I于N，连结AN、BN , 则 Rt APM 也Rt AMF, |PN|=|

2、FN|,同理，|QN|=|FN|, 从而|QN|=|PN|，于是有，M与N重合，故 MF丄AB 说明：F点在以PQ为直径的圆上，故/ PFQ为直角。 10 在抛物线y2= 2x上方有一点 M ( 3,), P在抛物线上运 3 动，|PM|=d-,p到准线的距离为d2,求当di +d2最小时，P的坐标。 注：连MF，与抛物线交点即为所求。(2, 2) 这一节，我们根据抛物线的标准方程y2 2 px( p 0)来研 究它的几何性质 n 讲授新课 1.范围 当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注 意与双曲线一支的区别，无渐近线). 2对称性 抛物线关于x轴对称

3、我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴 3顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点即坐标原点 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用e表示 由抛物线定义可知，e=1. 说明：对于其余三种形式的抛物线方程要求自己得出它们的几何性质，这样,有助于 学生掌握抛物线四种标准方程 根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。 根据焦参数p的值确定抛物线开口的大小，p越大，抛物线开口越开阔。 抛物线没有渐近线垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p。 下面，大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质 例1已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点

4、在原点，并且经过点 M(2,-22),求它的标准 方程,并用描点法画出图形 由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知 条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数 p 解:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经 过点M(2，-2、2 )，所以可设它的标准方程为： 2 y 2px(p o). 因为点M在抛物线上，所以(2、.2)2 2p 2，即 2 p 2,因此所求方程是y 4x. F面列表、描点、作图: x 0 1 2 3 4 y 0 2 2.8 3.5 4 说明：利用抛物线的对称性可以简化作图步骤; 抛物线没有渐近线； 2 抛物线的标准方程 y 2 px( p 0)中2 p

5、的几何意义：抛物线的通径，即连结通 过焦点而垂直于x轴直线与抛物线两交点的线段 例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口 圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置 分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程，关键是选择 建立恰当的坐标系，并由此使学生进一步认识坐标法 解:如图825,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标 系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口 直径 设抛物线的标准方程是y22 px( p0) 由已知条件可得 点A的坐标是(40,30)，代入方程得 245 302 p 40 p 4 4545 所以

6、所求抛物线的标准方程是y2 竺x,焦点坐标是(竺，0). 28 说明：此题在建立坐标系后，要求学生能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的 类型,再求出方程中的参数p. 为使大家进一步掌握坐标法，我们来看下面的例 3: 例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2 2px(p 0)上, 求这个正三角形的边长. 分析:观察图8 26,正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共 的对称轴，则容易求出三角形的边长. 解:如图826,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为 (xi, yi),(x2,y2),则: yi2 2pxi,y； 2px2,又OA

7、 OB ,所以 x； y2 x； y|. 即X： 2 X2 2 2 2px1 2 px2 0,( x-i x2) 2p(x1 x2) 0 (X1 X2)(X1 x22p)0 X1 0,X2 0,2 p 0,x1x2 由此可得，力y2，即线段AB关于x轴对称，因为x轴垂直 于 AB，且/ Aox =30 , 所以吐 tan30 Xi 2 x1 h, y12 寸3p, AB 2y143p. 2p 说明:这个题目对学生来说，求边长不困难，但是他们往往直观上承认抛物线与三角形 的对称轴是公共的，而忽略了它的证明.教学时，要提醒学生注意这一点，通过这一例题，可 以帮助学生进一步掌握坐标法. 课堂练习：课

8、本P123 1,2. 3,4. 课堂小结 通过本节学习，要求大家掌握抛物线的几何性质，并在具体应用时注意区分抛物线标 准方程的四种形式及求解抛物线标准方程的方法，进一步掌握坐标法的应用，并了解抛物 线知识在生产生活实际中的应用. 课后作业：习题8.6 1,2,3,4, 5 , 6. 第二课时 习题课（定义、性质应用） I 复习回顾 上一节，我们一起学习了抛物线四种标准方程对应的几何性质，现在作一简要的回顾 （学生回答略）这一节，我们将组织研究抛物线的标准方程及其几何性质的应用 n 讲授新课 例1已知A、B是抛物线y2 2px（p 0）上的两点，且OA丄0B（0为坐标原点）, 求证：A、B这两点

9、的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值； 求证：直线 AB过定点；求线段 AB中点M的轨迹方程。 2 2 证明：设 A、B 坐标分别为（x“ y!）, （x2, y2）,则 yi2p% , y 2px?, ym, 2 yi y2 2 px1 2 px24 p 2xix2 2 4p y2, yi y2 4p2为定值；Xi X2 yi y2 4p2也是定值。 2 yi 2 Y2 (yiy2)(yi y2)2 pxi 2px22p(Xi X2), 又xi X2 , y2 y Xi X2 2p , yi y2 AB 的方程为: yi 北(X Xi) -(x yi y2 2 2p) - y yiy2 2

10、 yi yiy2 yi2p x i y2 yiy2 yiy2 4p2 yi y2 OA丄 0B,. x-|x2 yi y20 即 xix2 2p (x 2p) 直线 AB 过定点(2p,0). yiy2 yi2 2pxi, y2px2, yi2 y222 p(xix?), 2 即(yi y2)2y22P(Xi X2)，设 M (x,y)则 yi y2y,Xix?2x, 又 OA丄 OB, yi y2xix2 2 2 器yiy24p2 4y2 8p24 px px 2P y2 p(x 2p) （点差法） y2yi X2Xi 2p ，设M yi y2 （x,y）,又直线 AB过定点（2p,0）,有

11、 2p 2 2y y P(x 2p)。 2 A(a,0)是抛物线y 2px( p 0）对称轴上的一个定点，过A作抛物线的弦 PQ,求证：P, Q这两点的横坐标之积为定值, 纵坐标之积也是定值。 证明：当PQ不垂直于x轴时，可设过 A点的直线为y k(x a)，代入 y22 px 得 k2x2 2(k2a p)x k2a20 设P、 .2 2 Q坐标分别为(为，yj, (x2, y2),则xix2 k a2 （定值） 2 yi 2 2px , y22px2，而 yi, y2 异号, 2 px1 2 px2 .4p2a2 2pa 当PQ垂直于x轴时, x1x2a， 故 xix2 .22 - Yi

12、Y2. Yi Y2 4p2 xix2 .,4p2a2 2 pa 综上所述，命题得证。 说明：亦可由y k(x a) a （或设 x my 2 a ),代入y2px得 y2 2-py 2pa k 0，从而得 ym 2 pa ； 若A为焦点，则有 2 yi y2p ， X1X2 2 p 。 注意PQ垂直于x轴时的情况不要忘记讨论。 1 1 1 1 |FA| |FB| p p X1 X2 2 2 X-|X2 说明： | AB | Xi X2 p ; 2(X1 X2) Xi X2 p2 弊X2p) p 例3已知AB是过抛物线y22 px( p 0)的焦点的弦，求证: A、B这两点的横坐标之积为定值，纵

13、坐标之积也是定值； 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 1 1 为定值。 |FA| |FB| 证明：易由上题得出； 设A、B坐标分别为(为，y!), (x2, y2),则 pp | FA | X!,| FB | X2;所以， 22 设 |FA|=m, |FB|=门,由厶 BFPBAQ 得，LFP-1 |AQ|AB| c112 mp np 2nm m n p |FB| ，二由定比分点坐标公式, 可得 | AB| m p (n p n / (m m 2 mp np c112 2nm 2 1 - m n p m 第三课时 习题课(与弦长有关及最值问题) 、与弦长有关的问题 例1已知抛物线y2 2p

14、x(p 0)的焦点弦AB所在的直 线的倾斜角为，求证: IABI 黑。 证明：抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点是(-,0), 2 准线I的方程是：x 90时，直线 AB的方程为：y tan (x 2，代入y2 2px得， x2 tan2 p(tan2 2)x -p2ta n2 4 设 A(Xi, yj, B(X2，y2)则 Xi - I AB | | AF | |BF | Xi X2(i ； tan p xix2p 2 )P p 2 p cot2, X2 22p 2 p(1 cot ) J ; sin 当 90时，| AB | 2p 2p 2 “ sin 90 2p 。 2 sin o

15、 例2已知抛物线y 4x截直线y 2x b所得的弦 AB的长为3 5 , P是其对称 轴上一点，若 Sa pab=39 , 求P点的坐标。 解：将y 2x b代入y2 4x得, (2x b)2 4x 即 4x24(b i)x b20 设 A( X, yj, B(X?, y2)则 X2 1 b, x1x2 b2 4 - | AB |2 5(x1 x2)2 5( Xi X2)2 4xix25(1 b)2 b2 5(1 2b)(3.5)2 b4，直线方程为y=2x- 4,即2x 设 P (a,0),则 Spab= 1 3 5 |2a一一4 139|a-2|=13, a a=15 或 a=-11, 2

16、亦 P ( 15, 0)或(-11, 0)。 说明：若直线y kx b的倾斜角为，贝U 2、/2-|x1x2 11 y1y2 1 I AB I .(1 k )(X1X2)-。 | cos | sin 练习：经过y2 8x的焦点F作与对称轴成的直线与抛物线相交于 A、B两点，求|AB|。 3 利用弦长公式或 2032 |AB|= 4 (X X2)4 33 例3已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，点P在抛物线上，/ xFP=，将|PF| 表示成的函数。 解：设抛物线的准线为 I，作PP1丄I于P1, PH丄x轴，则| FH | | PF |cos 注意FH为有向线段的数量，于是, | PF

17、 | RP QF FH p | PF | cos , - | PF | P -, 1 cos 说明：该方程可看作抛物线的极坐标方程。 二、最值问题 x上，点Q在圆(x 3)2 y2 1上，求 PQ的最小值。 解: 圆(x 3)2 2 y 1的圆心01 (3, 0),设 2 p( y1 ,y1), 则 2 z 2 亠、2 2 4 亠z2 5 2 11 11 |PO1 | (y1 3) y1 y15y1 9 (y1 2 )- 4 4 11 .11 d -|PO1| , |PQ| min | P01min1 1, 2 2 例1点P在抛物线y2 5 -10 此时 P&TorPp 二)。 2 2 2 2

18、 例2已知A (0, -1), B (3, 2), P是抛物线y 3x2 1上任一点，求 PAB面 积最小值及此时 P点的坐标。 1,x 解：设 P ( x1,3x121)，直线 AB : y x P到直线AB的距离为d， | 治_32_1)_1 | 1厂12 2 | x1 3x12 | 2 |3(xi .2 1i| 23 12 . 2 当x1 1 1 2 ( SPABUq | AB|dmin32(3 1) 2 23 12 2 23 12 2 23 8 1 13. 此时，P( ,). 6 12 另法:作与AB平行且与抛物线相切的直线 l:y m, 代入抛物线的方程 y 3x2 1,得 3x21 x m,即 3x2 x (1 m) =0,即 1-4 3(1-m)=0,得 m U,切线 12 11 12 0, I11 两平行线间的距离d12 1| 23 12 2 , 1 1 2 -sPAB)min=-|AB|d 护(3 1) 23 12、2 3、2 2 2323 1 、 时，等号成立。 6 例3定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB中点到y轴 的距离的最小值。 解：设F是抛物线y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD , M