同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分

1、第十章曲线积分与曲面积分 1对弧长地曲线积分 计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程 b a 兰t 兰 b ,则(f (x, y ps= fa f (x(t ), y(t dt x =x t L： y =y t x = x(t ) L:y = y(t) dt b af xt ,y t ,zt z(t ) L f x,y,z ds- 注意：上限一定要大于下限 1.计算下列对弧长地曲线积分 1) (x2 y2)2ds ,其中 L 为圆周 x2 y2 =a2 ； 解：法一：Q|jx2+y2)2ds = |JL(a2)2ds 二玄仁 ds =a4(2二a) =2二a5 法

2、二： _Lx =acosv L:0 心：:2二, y = asin 匸(x2 y2)2ds 2 二 2 2 2 2 2 a cos：a si n-asi na cos d： 2二 5 . 5 ad - 2a 2) e x y ds,其中L为圆周x2 y2 =a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成地扇形 解：忆e拧%s = ( X =x 解：由 L:20 x1，得 、y=2x -1 l xds 二 x 1亠4x 2dx 2 3 _2(1+16x)2 o_17用-1 -32-48 4) L y2ds,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 t

3、2二)； 解: .Ly2ds = ：0a(1-cost)a 1-cost 2a si ntdt 2TI5 =V2a3(1 cost)2dt 5 sin5 -dt 令-v ) 2 2 二 迈a3 ： (2sin 2*)2dt =8a3 J6a3 0si JI 353 = 32a2sin 如-32a 4 2256 3 a 5 315 5) “L xyds，其中L为圆周 x2 y2 =a2 ； 解：利用对称性 J |xyds = 4jJxyds,其中 Li x = a cos日 06 y = a sin 日 ji 一 2 xy ds = 4xy ds = 4 f xyds 叫L1lL1 迟, =4

4、02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv a3 jcosrsin=2a3sin = -2a3 6) -x2y2 2ds,其中-为曲线 z2 X =et cost ,y =et si nt,z=et 上相应于 t 从 0 变到 2 地 弧段; 解： 212 cost )2 +( sin t )2 +e2tdt et cost 亠d sin t 亠d =fedt =(1 e) 2 0 2 7)广yds,其中-为空间圆周: x2 + y2 + z2 =2 =x 0 x2+y2+z2=222x = cosT 解：由 丫，得2x2+z2=2,令 厂0兰日兰2兀 y

5、 = xz = 2 sin 71 x= cos 日 故丫: * y = cos日 0兰日乞2兀.故 z = J2s in。 匚yds =coslJsin?日 +sin?e +2cos ：二 2 2 2 2 2 o a cost a k t 、a k dt 日 d日 cost d 二 兀3兀2 =.,2 ：cosvdv - _2 cosvdv3-cosdv = 4,2 2T x = ac ots 2.螺旋形弹簧一圈地方程为：y=asin(0tE2jr),设它地线密度为 z = kt 2 2 2 (x, y, z) =x y z ,求： (1) 它关于z轴地转动惯量Iz ； 2)它地重心坐标. 2

6、 2 1) Iz = L x yds 2 2 2 2 2 二 l x y x y z ds =f 駕2 (a2 +k2t2 )x/a2 +k2dt =a2 Ja2 +k2 f Ja2 +k2t2 )dt 吟几口2八2) 2) x x2 y2 z2 ds L x2 y2 z2 ds 2JI22 2 0a2k2t2 、a2k2dt 0；： a2 k2t2 acostdt a2k2t2 dt 6ak2 3a24：2k2 分子采用分部积分法) L y x2 y2 z2 ds L x2 y2 z2 ds o a sin t a2 k2t2 , a2k2dt (a2 +k2t2 a2 +k2dt 6 二

7、ak2 222 3a4. k 999 2 2 2 L x y z ds -Lz x y z ds z 二 St(a2 +k2t2 )Ja2 +k2dt dt 2 2 2 _3二 k(a 2 二 k ) =3a24二2k2 2对坐标地曲线积分 无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程 lx = x(t )nn 1计算公式：若L:t,其中:，:分别始点和终点对应地参数)，则 y = y(t) P lP x,y dx Q x,y d . P x t ,y t x t Q x t ,y t y t dt X =x(t ) 若L:y = y(t) tgT P ,其中cc, P分别始点和

8、终点对应地参数)，则 午 z(t ) LP x, y,zdx Q x, y,z dy R x, y, z dz P， =.P x t ,y t ,z t x t Q x t ,y t ,z t y t R x t ,y t ,z t z t dt 注意：1)对定向曲线才能说对 坐标地曲线积；定向曲线地参数方程与未定向曲线地参数 方程地不同： 定向曲线地参数表示为始点地参数到终点地参数而不管谁大谁小：t : ：- j I 1 未定向曲线地参数方程地参数表示为不等式：a_t_b 2)弧长地积分转化为定积分时定积分地上限一定要大于下限 对坐标地曲线积分转化为定积分时定积分地上限一定是终点地参数，下限

9、是始点地参 数，而不管上限是否一定要大于下限b5E2RGbCAP 2:两类曲线积分地关系 (1) 定向曲线地切向量及其方向余弦 若L: 当、卩时 切向量为：x t ,y t ； 方向余弦为cos： x(t)ry(t) COS 2 2 2 2 x t y tx t y t 切向量为： (X (t ), _y (t )； 当时 方向余弦为cos二 -X t: 一2 2 ,COS = (x(t)+(y(t) 类似可以推广到空间曲线. (2)两类曲线积分地关系 -y (t) 1 2 2 x t y t L P(x, y px +Q (x, y )dy = JJ P(x, y )cosa +Q(x, y

10、 )cos0ds 其中COS,COS :为定向曲线切向量地方向余弦 注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量 参数与终点参数大小关系对切向量符号地影响.plEanqFDPw .特别要注意始点 1.把对坐标地曲线积分LP(x, y)dx Q(x,y)dy化为对弧长地曲线积分，其中L为: 2 1)从点0,0)沿抛物线y=x到点1,1); (x = x 解：L:2x:0 1,由0：1,故在x, y处切向量为1,2x ,所以 y = x 1 1 J+(2x)2 1 4x2 2x 2x J+(2x)2 1 4x2 cos : 所以 cos : L P x, y dx Q x, y d

11、y 二 JP x, y cos ：亠Q x, y cos 订ds 心)=丝(叫 d 4x2 2)从点0,0)沿上半圆周x2 y2 =2xy-0到点1,1) 解: 工X = X L:- 7-2 x -x2 1 x x:0T 1,由0V1,故在(x,y )处切向量为 1,；，所以 2x-x2 j 1 -x cos： E =x，所以 1 -x $2x X 丿 1 -x l2x-x2 丿 L P x, y dx Q x, y dy =P(x, y jcosa +Q(x, y Jcos Bds =J2x x2P(x, y) +(1 x)Q(x,y)ds 或=(yP(x, y) + (1 -x)Q(x,

12、y)ds) lx =1 COSd 法一 L:，二：,由， y =si n 日22 故切向量为(sinr),cost ,即 sin 二cost 所以 cos -：i :7门日2 =sin 甘=y , a sinacos ： cos - COST - 1X，所以 .2 2 sincos l P x, y dx Q x, y dy 二 JP x, y cost Q x, y cos :ds 二 LyP(x, y) (1 -x)Q(x,y)ds 2.计算下列对坐标地曲线积分: 1） L（x2 y2）dx,其中L为抛物线y=x2上从点0,0）到 2,得 y 二x L(x2 -y2)dx 2 2 0(X2

13、 - x2 )dx 二- 56 15 0）及x轴所围成地在第一象限内地区域 地整个边界曲线弧 按逆时针方向）； 解：Lxy dx =（母 a。）xydx , 其中 OA:!xx x：0t 2a , ly =0 x = a + acos 日 AO:0 r： y =asi nB 注意此方程不是地极坐标方程，故不能说在极坐标系下二地范围二：0二,事实上极坐标 方程为r =2aCOS,二：0，故在极坐标系下 二地范围为 0)DXDiTa9E3d 2 2 2a xydx 二 o x Odx 二 0 n LOxydx = j0 (a+acosB )asin日d (a + cos日) 2 2 -a o si

14、n v sin v cosv d jiji =-a32 J02 sin2 8d8 +sin2 8 cos8d 8 3 二 a(2 0) 一 2 二 a3 故口 xy dx = 0 () 二 a3 3)L(1 2xy)dx x2dy,L为从点 1,0)到点 -1,0)地上半椭圆周 x2 2y2 =1(y_0)； x 二 cost 解：由 L :、 2- : 0 ：，得 y sin - 1 2 l(1 2xy)dx x2dy 、2 . . 2 ； 2 =o 1 2cos 二(sin 二)(sin 巧 cos co d - p sin如- 段弧；2）从点1,1 ）到点4,2）地直线段;RTCrpUD

15、GiT 2 2 3)曲线 x=2tt 1,t 1 上从点 1,1)到点 4,2) 解： 2,得 y = y L(x y)dx (y -x)dy y2 y)2y (y 一 y2 3 x = x 12x:1r 4,得 2)由 L :1 y 二 L(x y)dx (y -x)dy 41 21 2 ,1 =(|(x+ x +)+( x + x)Ldx =11 J3 33 33 2 x = 2t +t +1 3)由2t: 0 - 1，得 y=t +1 L(x y)dx (y -x)dy 132 -i J(3t2 t 2) 4t 1 -(t2 t 2)L2t dt 4.证明：Lsin(x2 + y2)dx

16、+cos(xy)dy兰J2I其中I为平面上光滑曲线 L地长度 提示：转化为对弧长地曲线积分) 证明： si n( x2 +y2)dx +cos(xy)dy 22 l sin(xy )cos j 叱os(xy)cos 其中 COS,COS :是切向量地方向余弦，故满足cos21 cos2 - 1. 2222n sin(x +y )dx+cos(xy)dy 兰(sin(x + y )cos +cos(xy)cos P ds s = ； 2 22222222 (sin (x y )cos :丄2sin( x y )cos ： cos( xy)cos :) cos (xy)cos : )ds 兰 JL

17、 J(sin2(x2 十 y2)cos2a 十sin 2(x2 + y2)cos2 P +cos2 a cos2(xy)十cos2(xy)cos2 P ds 2 2 sin(x 十 y )dx+cos(xy)dy y2)cosx cos(xy)cos 2 =si n(x 其中 cos,cos 是切向量地方向余弦，故满足cos cos41 sin2t 3a2 sin41 cos21 dt ：； ：cos2 一： = 1 . sin(x2 +y2)dx +cos(xy)dy 兰 sin(x2 + y2)cos 口 +cos(xy)cos 0 ds 22 设向量 n =：sin(x y ),cos(

18、xy) , n = cos： ,cosl：贝U sin(x2 +y2)cosa +cos(xy)cosB = n ne 兰 n ne = Jsin2(x2 + y2) +cos2(xy) 故 (sin(x2 +y2)dx +cos(xy)d,兰sin(x2 +y2)cosa +cos(xy)cos B ds i 2ds =. 2l 3 Green公式 x2 D i.用曲线积分计算下列曲线所围平面图形地面积: 解：若： Xx 二 a cost L :. r : 0 2-则 y = bsin) 1）椭圆: a2 1 l 2）星形线： 33 x=acos t,y 二as in t , (a 0,0_

19、t_2二). r absinJ d = 二-ab 解：若： x = a cos31 L:3t:0 2二，则 y = a sin t 1 I A = J = $ Jlxdy _ydx 3a2 2 二4 0 cos tsin2t 3a2 sin41 cos21 3a2 -2 2 2 2 o sin t cos tdt 3a 2 J sin 22tdt 2 3a 2阳 cos4t 亠 32 dt a 8 0 2 8 2 用格林公式计算下列曲线积分 1） 1 xy2dy-x2ydx,其中L为圆周（a 0）,取逆时针方向; 2) oeX(1cos y)dx(ysin y)dy,其中L为闭区域 D : 0

20、兰x兰兀,0兰y兰sinx地正向边 解：1) p = -x2y,Q =xy2r ex cy =x2 又L逆时针方向，设D : x2 y2 a2，所以 Lxy2dy -x2ydx 二 D x2 y2 d y2 =a2 二：d叮r2rdr 冷二a4 注意Jxy2dy x2ydx = ffxy2 )d a 2 d二，为什么? 2) ； P 二ex(1cosy),Q(ysin y),Q P =-yex exP=；x7，Q=4x2 y2 rx ,:P =0 1）故当 R ：:1 时，；P=4Z$,Q=4T： 在(x-1)2 y2 R2(R = 1)所围地区域 D内有连续偏导，满足格林公式条件xdy2-彎

21、=“ 0db =0 L 4x y D 2 2 2 2）故当R 1时，（x-1） y乞R （R = 1）所围地区域D含有（0 , 0点，故 .P,Q在区域D有点没有连续偏导，不满足格林公式条件不能直接 4x + y 4x +y 用格林公式条件.5PCzVD7HxA 2 2 2 做曲线l :4x y二； ；取得足够小保证丨含在L所围区域）方向为逆时针，即 工 1 x cos 二 l 2X 02 二. y = ；sin v 则曲线L l 一围成复连通区域 D1且为D1地正向边界. 故在复连通区域 D1xd占- ydx满足格林公式条件，故 1，+4x2 +y2 xdyydx0d0 即 L4x2 y2D

22、1 xdy -ydxxdy - ydx xdy - ydx L 4x2 y24x2 y21 4x2 y2 -z cos e +1z2 sin2 6 dr 12 注之所以取曲线I :4x2 y2二；2是方便计算，若取l:x2 y2二；2则计算麻烦) 4证明下列曲线积分在 xoy面上与路径无关，并计算积分. 3 BC: ly=2 =f (6x22 _23)dx +f(6M32My_3M3xy2)dy = 236 法二设： u(x, y)二(6xy2 - y3)dx = 3x2y2 - xy3 亠 y 则=6x2y -3xy2 d =6x23xy2得 d =0 ydydy u(x, y) =3x2y

23、2 -xy3 C ,故 (3,4)2 3 2 2 (1,2) (6xy -y )dx (6x y -3xy )dy 二 u(3,4) -u(1,2) = 236 2)(12g1)(2xy4 - 3)dx (x2 -4xy3)dy 423 解： 2 BC:y:0 1 y=0y二y 24123 (2x 0-0 3)dx 亠 i (2 -4 2 y)dy=5 A1 C2， B2， 法二设：u(x, y)二(2xy - y4 3)dx 亠：；y =x2y-xy4 3x 亠：；y 亠=x2-4xy3 d 冬,-4xy3,得 ydy y dy =0,所以 u(x, y)二 x2yxy4 3x C , 故

24、dxy _y4 +3)dx+(x2 4xy3)dy=u(2,1) u(1,0) =5 5 用适当地方法计算下列曲线积分 R,BO: x- y :R 0 = y |jL (xsin 2y -y)dx +(x2 cos2y -1)dy =QA L 而(xsin2y -y)dx (x2cos2y -1)dy -,OA,BO(xsin2y)dx (x cos2y -1)dy 二 Dd二一帧 BO(xsin2y)dx (x2cos2y-1)dy 2 : R2R0 一.(xsin(2 0)0)dx. (0cos2yT)dy 0R 15 / 35 2 : R -0 - - (Ocos 2y -1)dy =

25、2 : R ydx - xdy 訂ydx - xdy X2 X2 1 dx 2 -dy 12 注意：若应用积分与路径无关 ，则必须保证在添加地曲线与原曲线所围地区域是单连通地 和P,Q在区域有连续偏导数 ，如该题中区域就不能含原点) jLBHrnAlLg 1,CB:y :1 、 2 y =1y = y 6.解下列全微分方程 3232 1) (x -3xy )dx (y -3x y)dy =0 ; 解: P = x3 -3xy2, Q = y3 - 3x2 y,在xoy面有 =-6x ，得方程为全微分方程 13 u X, y ： I ix3 -3xy2 dxyx4 - x2y2 曲？y,故 42

26、 -3x2y y d ： y32 /曰 d ： y314 y -3x y,得y ,即y y dy 1 所以方程通解为X4 4 法二，令 u x,y 二( dy4 3224143 x y x y 44 4 _肿 y , y =c 24 (x,y) 3232 (0,0)(x -3xy )dx (y -3x y)dy 3232 =(OA ab)(x -3xy )dx (y -3x y)dy x = xx = x 其中 OA:x:0 x AB :y:0r y ly=oly = y x 3y 32 (x3x 0)dx 000 (y -3x y)dy 所以方程通解为 4 1x4 32214 2xy 4y

27、2) xdx ydy 1x2 y2 xdy ydx = 0. 解: x2y2 y,Q 二 x2y2 rQ- p -x，在 xoy面有，得方程为全微分方 excy ux，y 1 x2y2 + y dx+(y ) = J1 x2 y2 xy : y，故 .:u 71x2y dy -x，得 dy d y =0,即0 所以方程通解为,1 x y xy =C 法二，令 u X,y 二， (x，y)xdx ydy (0,0) .1 x2 y2 xdy ydx xdx ydy J 9冷寺 g 其中OA: x y 二 xx = x x:0； x AB:y :0； y =0y = y .1 x202 yy OX

28、 O 0 0(1；y2 my 二、1 x2 -1(.、1 x2 y2 xy) =1 x2 T , 1 x2 y2 xy 1 x2 -0) 所以方程通解为 2 2 x y xy _1 = C 7计算曲线积分L（x y）d（y）dy x2 y2 ，其中L: 2 2 2 1)闭区域 a x2y2 2 -b （b a 0）地正向边界; (x y) P二亍七,Q =WT，则丈二Q x yx 显然在a2乞x2 y2空b2(b . a . 0)内P x 公式条件 ，故 (x y)dx _(x _ y)dy x2y2 0）按逆时针方向 D （2 y2）有连续偏导数，满足格林 x y Q = _（x_ ”在其内

29、没有连续偏导， x+ y 数，不能用格林公式 Xx 二 Rcos 直接计算L: y = Rsi n 解：P =x4 4xya ,Q =6xay2 -5y4,欲使曲线积分与路径无关当且仅当，即 cyex 4a = 6(a -1 ) 4xaya = 6 a-1 xay2,即 a-2=1得 a =3 a1 =2 y 2)求可微函数(y), (1) =e,使曲线积分 I 二 L y (y)dx (e(y)xdy y 在y 0地开区域内与积分路径无关 解: ey p = y(y),Q =(巳一(y) V x，积分与路径无关当且仅当 :p g ，即 :V : x Sy屮旦3得 dy y d ( y)(y)

30、e， 2 =o,这是以v自变量y为未知函数地一阶线性微分方程) dy yy ey 又(1)二6得y二勺 y f tv 22 5.计算 ii（x y ）dzdx zdxdy,E为锥面 z=xy 上满足 x_0,y_0,z1 地 Z 那部分曲面地下侧 解： 采用投影面转换法计算较为简单） 由zy - 2O (x y )dzdx zdxdy t 2 2 二.(x y )(-Zy) zdxdy Z 二(_y x2 y2z)dxdy Z 又E为锥面z = .x2 y2 Dxy:x2 y2 -1, x - 0, y 一 0，朝下, ! !(x2 y2)dzdx zdxdy 二 (-y. x2 y2 z)d

31、xdy ZZ 兀i -(_y x2y2 x2 y2)dxdy = _0(1 _rsin v)r2dr Dxy 1312 1 二 4 一6 =dT r sinTdr -d8 .0r dr i- -i2sindr r3dr - 0 06 6 Gauss公式与Stokes公式 1 利用高斯公式计算下列曲面积分. 333_ ,222 1)17x dydz + y dzdx + z dxdy 其中刀是球面 x + y +z =1 地外侧. 解帀 x3dydz + y3dzdx + zdxdy =(3x2 3y2 3z2)dxdydz = 3iii_r(x2 y2 z2)dxdydz 二 o 2 q d

32、0r2r2sin dr 本题中若写成3 i i i#x2 y2 z2)dxdydz =3 .i i sdxdydz是错误地，为什么？) 2) Jj2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy 其中刀为由曲面 z = Jx2 +y2与z= J2 X2 y2所 围立体地表面地外侧. I2 解： U 2xzdydz + yzdzdx - z dxdy =.(2z z -2z)dxdydz 二 .ydxdydz 若采用先二后一地方法计算三重积分) -V，其中 I : 0 乞 z 乞 1,Dz:、. x2 y z 2 :1 乞 zDz：、2(x2 y2)乞 z 1、-2 i i Szdxdydz 二 dz

33、 d zdxdy 厶 dz d zdxdy 10 zdz dxdy zdz dxdy 二 DzJ1Dz 1 3 Jzdz 2 JL z(2-z)dz其中 L 为上半圆周 2 2 2 (x-a) y二a,y_0,沿逆时针方向 解：P =exsiny _2y,Q = excosy 一2,2 一= 2 dx cy 做直线段OA:y =0,x:0； 2a,则 L(exsin y _2y)dx (excosy _2)dy (ex sin y _2y)dx (ex cos y _2)dy _ (exsin y _2y)dx (excosy _2)dy L 5A 5A =J*2dxdyin y _2y)dx

34、 +(ex cosy _2)dy = a2 - _OA(ex sin y -2y)dx +(excos y -2)dy 由 OA: y = 0, x: 0 ； 2a 有 2a (ex si ny -2y)dx (excosy-2)dy(ex si nO-2 0)dx 0 = 0 5A0 故(exsin y 2y)dx +(excos y 2)dy =兀 a2 2计算下列各题: R2 - y2 2 + 02 dydz R2R y2 dydZ ._dS“ dS =4 V x2y2z2冷x2y2z2冷R2z2 RH R 1 VR2z2Fy2dyd0dz0 R R2 z2、R2_y2 dy H=UdzR 旦 dy 0 . R2 z20 R2_y2 = 4ln zR2 z2 H RarcsinX R R丿0 H R2 H2 =2 二 Rin R 2 2 )求 11 (y - Z z = .Jx2 y2(0 乞 z h)地外侧. z) d y d z 2 , )z ，x(d-z其d中x刀 x为锥y面d x d y 2 2 2 解：作曲面二：z=h,D:x y - h，朝上，则 2 2 2 ii(y -z)