2010级线性代数期末复习题

1、线性代数期末复习题一、判断下列各题是否正确1 矩阵A、B的积AB0，则A0或B0。 （）2 设A为一任意矩阵，则AAT，AAT均为对称矩阵。（）3 设对矩阵A施行初等变换得到矩阵B，且已知秩(A)r，秩(B)=s,则r = s 。（）4A、B均为n阶可逆矩阵，则(AB)= AB。 ( )5设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE，则BCAE。 ( )6设A、B为n阶方阵，则，(A-1 B-1)T(ATBT)-1。 ( )7等价的矩阵的秩相等。 ( )8若矩阵PTAP为对称矩阵，则A为对称矩阵。 ( ) 9在4阶行列式中，项a13a34a42a21带正号。 （ ）10A是n阶方阵的伴随矩阵，则 (

2、2 A) = 2 A （ ）11在5阶行列式中，设aij为第i行第j列元素，Aij为aij的代数余子式。则， a31A41+a32A42+a33A43+ a34A44+ a35A45=0 （ ）12若A是n阶方阵的伴随矩阵，则，|A| = |A|n-1。 （ ）13若A、B是同阶方阵，则（AB）2 A22ABB 2。 ( )14等价的向量组的秩相等。 ( )15A是n阶方阵的伴随矩阵，则AA =A A= |A| E 。 ( )16在4阶行列式中，项a12a34a43a21带负号。 （ ）17. 若 n阶矩阵A可逆，则A的n个列向量线性相关 （ ）18. 若矩阵A、B相似，则矩阵A、B合同。 （

3、 ）19. 实二次型f (x1, x2, x3) = 是半正定二次型。 （ ）20. 已知三阶矩阵A的三个特征值是 -1，1，2，则|A| = -2 ( ）21设A是45矩阵，秩（A）=3，则A中的3阶子式都不为0 （ ）22若矩阵A、B合同，则矩阵A、B相似。 ( )23设A、B为n阶可逆方阵，则 (AB)-1 = A-1 B-1。 ( )24.若A为对称矩阵，则PTAP为对称矩阵。 ( )25在5阶行列式中，设aij为第i行第j列元素，Aij为aij的代数余子式。则 a51A51+a52A52+a53A53+ a54A54+ a55A55=0 （ ）26若矩阵A中所有t阶子全为式0，则秩(

4、A)t 。 （ ）27n维零向量是任何一组n维向量的线性组合。 （ ）28正交矩阵的行列式等于1或 -1 。 （ ）29任一实对称矩阵一定能与对角矩阵相似。 （ ）30实二次型f(x1,x2,x3)= 是正定二次型。 （ ）二单项选择题1. ，为三阶方阵，矩阵满足则 ( ) . (A); (B)； (C) (D) 以上答案都不对.2. 、为n阶方阵，且,、的列向量组分别为；. 若线性相关，则( ) . (A) 线性相关; (B) 线性相关； (C) （A）与(B)都成立； (D) (A)或(B)成立.3. 设为三阶矩阵，且，若则( ).(A) 1 ； (B) 2；(C) 3； (D) 无法判断

5、4. 设三阶矩阵，其中均为三维行向量，已知，则( ) .(A) 1 ； (B) 2；(C) 3； (D)4.5. 若都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ). (A) . (B) . (C) . (D) .6. 若为三阶方阵，将矩阵第一列与第三列交换得矩阵，再把矩阵的第二列加到第三列得矩阵，则满足的可逆矩阵为( ).(A) . (B) . (C) . (D) .7. 若都是阶方阵，且，则必有( ). (A) . (B) . (C) . (D) 8. 已知向量组的秩为3，向量组的秩为3，向量组的秩为4，则向量组的秩为（ ）. (A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定

6、9. r (A) = r (A,b)是非齐次线性方程组有无穷多解的 ( ). (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 既非充分条件又非必要条件. (D) 不能确定.10.若向量组，的秩为2，则( ).(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1.11.若都是阶方阵，且，则必有( ). (A) . (B) . (C) . (D) .12.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( ). (A). (B) . (C) . (D) .13.已知是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是( ). (A) . (B) . (C) . (D) .14若方程组存在非零解，则常数t = 。（A）2

7、（B）4（C）2（D）415设有n阶方阵A与B等价，则 。(A)| A | = | B | (B) | A | | B | (C) 若| A |0,则必有| B |0 (D) | A | = | B | 16若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是 。（A）（2A）-1 = 2 A-1 (B) |2A| = 2 | A | (C) (D) (A-1 )T = ( AT )-117设，则4A41+3A42+2A43+A44 = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 318已知可逆方阵，则A 。（A）（B）（C）（D）19设矩阵A、B、C满足ABAC，则BC成立的一个充分条件是 。(A) A为方

8、阵（B）A为非零矩阵(C) A为可逆方阵(D) A为对角阵20，则x4的系数是 。(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 21若为三阶方阵，将矩阵第一行与第三行交换得矩阵，再把矩阵的第一行加到第二行得矩阵，则满足QA=C的可逆矩阵Q为 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) .22下列不是矩阵A可逆充分必要条件的是 ( )(A) | A | 0(B) A是非奇异矩阵(C) A的任一特征值不为零(D) A是满秩矩阵。23设n阶方阵A与n阶方阵B等价，则( ) (A) | A | = | B | (B) A与B 合同 (C) r (A) = r (A,B) (D) A与B

9、相似24若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是( ) （A） （2A）-1 = 2 A-1 (B) |2A| = 2 | A | (C) (2 A) = 2 A (D) (2A-1 )T = 2(AT )-1 25A为n阶矩阵，每个n维向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则秩（A）=( )( A ) 1 （B） n ( C ) n-1 ( D ) 026若向量组1=(1，1，3，1)T，2=(1，1，a ，1)T，3=(5，-3，7，-11)T 的秩为2，则( )(A) 1. (B) 3. (C) -3. (D) -1.27.设A是mn矩阵，Ax=0是线性方程组Ax=b的导出组，若mn，则( )

10、A. Ax=b必有无穷多解 B. Ax=b必有唯一解C. Ax=0必有非零解 D. Ax=0必有唯一解28. 设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( )A对任意n维列向量x，xTAx都大于零 BA的特征值都大于零Cf的标准形的系数都大于或等于零 DA的所有子式都大于零29. 设矩阵A=，则以下向量中是A的特征向量的是( )(A).（1，1，1）T(B).（1，1，3）T(C).（1，1，0）T(D).（1，0，-3）T30若矩阵B的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，则( )(A) 秩(B)秩(A) (B) 秩(B)秩(A) (C) 秩(B)秩(A) (D) 秩(B)秩(A)

11、 31设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )（A）0 （B）. 1 （C）2 （D）. 332若A、B相似，则下列说法错误的是( )（A）A与B等价（B）. A与B合同(C) | A | = | B |(D). A与B有相同特征值33设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则矩阵A( )(A). 正定 (B). 半正定 (C). 负定 (D). 半负定34设1，2是非齐次方程组Ax=b的解，是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（）A1+2B1-2C+1+2D+35设3元非齐次线性方程组Ax=b的

12、两个解为=（1，0，2）T，=（1，-1，3）T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为（）Ak1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)TB(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C(1,0,2)T+k (0,1,-1)T D(1,0,2)T+k (2,-1,5)T36矩阵A=的非零特征值为（）A4 B3 C2D1374元二次型的秩为（）A4 B3 C2D138设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=0，3=2，则秩（A）=（）A0 B1 C2 D339二次型的正惯性指数p为（）A0 B1 C2 D340设向量1=-1,4，2=1,-2，3=3,-8

13、，若有常数a,b使a1-b2-3=0，则（ ）Aa=-1, b=-2Ba=-1, b=2Ca=1, b=-2Da=1, b=241. 设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（ ）A. B.1 C.D.242. 设向量组1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),则 ( )A. 1, 2,线性无关 B. 可由1, 2线性表示,但表示法不惟一C. 不能由1, 2线性表示 D. 可由1, 2线性表示,且表示法惟一43. 下列矩阵是正交矩阵的是（ ）A.B.C.D.三、填空题1.设、为n阶非零矩阵，且的阶梯形为，则矩阵的秩= .2.已知，则此行列式的所有代数余子式之和 .3.已知是的一个特

14、征向量，则 .4.为已知是3阶方阵，是三维线性无关的向量. 若，则的行列式等于 .5.设均为三阶矩阵，则= .6.设是4阶矩阵，伴随矩阵的特征值是，则矩阵的全部特征值是 .7.若向量组，的秩为2，则 .8.若矩阵为正定的，则满足的条件为 .9.已知为3阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，若 ，则= .10.设=，则的基础解系中所含向量的个数是 .11.已知与相似，则= .12.矩阵的逆矩阵为 .13.若矩阵为正定的，则满足的条件为 .14.设 都是4维列向量,且4阶行列式则4阶行列式_15. 已知线性相关,不能由线性表示则线性_ 16.设是阶矩阵 ,是阶矩阵,且,则的取值范围是_17.设是43矩阵,且的

15、秩且则_-18.设0是矩阵的特征值,则_19.设是正定二次型,则的取值区间为 20.矩阵对应的二次型是_21. 设相似于对角阵,则 22.设为3阶方阵,为伴随矩阵,则=_23.设是不可逆矩阵,则_24. 25. 26. 设A、B为4阶方阵，且，则27. 28. A是矩阵，其秩=1, , 则秩= _ 29.30.设方阵A有一特征值为，则的特征值为 。31. 32.33. 已知四元非齐次线性方程组Ax=b，R(A)=3，1，2，3是他的三个解向量，其中1+2=（1,1,0,2）T，2+3=（1,0,1,3）T，则该非齐次线性方程组的通解_ 34.设是3阶矩阵,且,其中均为3维行向量, ,则行列式

16、35.已知方阵满足(为常数),则 36.设,则应满足_.37.设线性相关, 线性无关,则线性_关.38.设线性相关,则满足关系式_39. 设A满足,则A有特征值_40. 设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量, 则的一个基础解系为_.41.二次型正定,则满足条件 _.42.设方阵相似于对角矩阵,则_.43.设A是矩阵,则_44矩阵对应的二次型是_ 45设、为n阶矩阵，且A的n个列向量线性无关，则矩阵的秩 = .46已知非零向量线性相关，不能由线性表示，则秩（）= _ 。 47已知3阶可逆矩阵的特征值为1,2，-2，则的三个特征值为= ， | A | 的代数余子式A11+ A22+ A33

17、= 。48设0是矩阵的特征值,则_49.实对称矩阵所对应的二次型f (x1, x2, x3)=_.50设是mn矩阵，齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩r(A)= .四、计算、解答下列各题1.计算行列式2.计算n阶行列式 x y 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 x 0 0Dn = ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： 0 0 0 x y y 0 0 0 x3.计算n阶行列式 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1Dn = ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： 1 1 1 0 1 1 1 1 1 04.计算n阶行列式 1+a1 1 1 1

18、1 1 1+a2 1 1 1 1 1 1+a3 1 1Dn = ： ： ： ： ： 其中a1a2 an0 ： ： ： ： ： 1 1 1 1+a n-1 1 1 1 1 1 1+an5. 设，矩阵满足，求矩阵.6. 已知，且.求.7.已知, 矩阵满足，求8.设矩阵，的秩为3，求.9.三阶方阵满足关系式:,且 ,求10.设,矩阵满足关系式:,求11. 已知A、B为4阶方阵，且A2，B3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。12. 已知APPB，其中，求矩阵A及A5。13. 对参数讨论方程组问为何值时，此方程组无解,有唯一解, 有无穷

19、多解，在有无穷多解时，求出其通解。14.已知维向量组线性无关，则为何值时，向量组亦线性无关。15.设非齐次线性方程组 , 问：取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。16. 设非齐次线性方程组 , 问为何值时, 系数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解 17.问取何值时, 方程组无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.18.设 1=（1,1,3,1）T， 2=（-1,1,-1,3）T，3=（5,-2,8,9）T， 4=（-1,3,1,t）T。问t取何值时, 1)4求不能由1，2，3线性表示。2）4能由1，2，3线性表示且表示式唯一。3）4能由1

20、，2，3线性表示且表示式不唯一。并求出一般表示式。19. 设 1=（1,1,3,1）T， 2=（-1,1,-1,3）T，3=（5,-3,7,-11）T， 4=（-1,3,1,7）T。（1）求该向量组1，2，3，4的秩及一个极大无关组. （2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合。20. 设（1）求向量组的秩及一个极大无关组。（2）并将其余向量用极大无关组线性表示。21.设为三阶矩阵，有三个不同特征值，依次是属于特征值的特征向量，令。若，求的特征值并计算行列式.22. 已知矩阵有一个特征值，是属于特征值的特征向量. 求 (1) 常数的值；(2) 判定是否可相似对角化，说明理由. 23.已知三阶矩阵的特征值为,设矩阵,求矩阵B的特征值及相似对角阵。24. 设实对称矩阵 求正交矩阵使为对角矩阵.并写出对角阵25.