55知识讲解_抛物线的方程与性质_提高

1、【学习目标】 抛物线的方程与性质 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程 2.理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率） 3 .能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题 4.进一步体会数形结合的思想方法 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线I （ I不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线. 要点诠释： 上述定义可归纳为 一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 条直线. 定义中的隐含条件：焦点 F不在准线I上，若F在I上，抛物线变为过 F且垂直与I的一 抛物线定义建立了抛物线上的点

2、、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线 的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题 要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于I的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点0为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p（p 0），那么焦点F的坐标为（E,0），准线I的方程为x-P. 2 2 点 M到I的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点, P M | MF | d |MF | (X 子)2 ,d |x 收?)2 y2 | 将上式两边平方并化简, y2 2px(p 0). 方程

3、叫抛物线的标准方程, 它表示的抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，坐标是（卫,0）它的准线方程 2 是x R 2 抛物线标准方程的四种形式: 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 y2 2px, y22px , x2 2py , x22py(p 0)。 要点诠释: 只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程; 抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上, 且开口方向与一次项的系数的正负一致, 比如抛 2 物线x20y的一次项为 20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下） 抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 2 4倍，比如抛物线x20

4、y的一次项 20y的 系数为20，故其焦点坐标是（0, 5）。 般情况归纳: 方程 图象的开口方向 焦占 八、八、 准线 y2kx k 0时开口向右 k (匚,0) 4 k x 4 k 0时开口向左 x2 ky k 0时开口向上 k、 (0,-) 4 k y毎 k 0时开口向下 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时, ，然后求 先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型） 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的 形式，

5、再求参数P,若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种 情况。 要点三、抛物线的简单几何性质: 抛物线标准方程y2 2px（ p 0）的几何性质 范围：XX 0，y y R， 抛物线y2=2px （ p 0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x, y）的横坐 标满足不等式x0当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界 曲线。 对称性：关于X轴对称 抛物线y2=2px （p0）关于X轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称 轴。 顶点：坐标原点 抛物线 离心率: y2=2px(p0

6、)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是( e 1. 0, 0)。 抛物线 y2=2px ( p 0) 上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用 示，e=1。 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 2，p， 因为通过抛物线y2=2px (p0)的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 由通径 P, P ，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。另一方面, 2 的定义我们还可以看出， P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄. 抛物线标准方程几何性

7、质的对比 图形 z 0 V. y 0 Jt J 标准方程 y2=2px( p0) y2= 2px ( p0) x2=2py ( p 0) x2 = 2py ( p 0) 顶点 范围 x0, y R x0 x R 对称轴 焦占 八、八、 离心率 e=1 准线方程 xi 焦半径 |MF | X0 |MF| 号 x。 IMF I y。 IMF I -p y0 要点诠释: (1) 与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线; F不在准线 p的值, (2)标准方程中的参数P的几何意义是指焦点到准线的距离； P0恰恰说明定义中的焦点 l上这一隐含条件；参数 P的几何意义在解题时

8、常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 才易于确定焦点坐标和准线方程 . 【典型例题】 类型一：抛物线的定义 例1.已知抛物线的焦点为(3, 3)，准线为X轴，求抛物线的方程。 【解析】设M (X, y)为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得 7(x 3)2 (y 3)2 |y| 两边平方，整理得 y 1 2 -x 6 所求抛物线的方程为 1 y 6x 【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方程 举一反三： 【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-2, 3)； 【答案】：x2-y 3 设 y2=2px,以(-2，3)代入

9、, 得2p 9 2X ； 设 x2=2py,以(-2 , 3)代入, 得2p X2 X2 (2) 焦点在直线 3x-4y-12=0上； y2=i6x 若焦点为(0,-3),则x2=-l2y 【答案】：若焦点为(4, 0),则 (3) 准线过点(2, 3); 【答案】：准线为x=2，则y2= -8x 准线为y=3,则x2= -12 y (4)焦点在y轴上，抛物线上一点 M (m, 3)到焦点的距离等于 5。 【答案】：设抛物线方程为x2=-2py ( p0),则点M(m,-3)到准线的距离为5，即号(3) - p=4, x2=-8y 例2.平面上动点P到定点F (1, 0)的距离比P到y轴的距离

10、大1，求动点P的轨迹方程。 【解析】 解法一：设P点的坐标为(x, y),则有J(X 1)2y2 |x| 1 , 两边平方并化简得y2=2x+2凶。 过点(3,2) , 322p 2 , 24x, x - y 0, x 0, 0, 即点P的轨迹方程为y2=4x (x0或y=0 (XV 0)。 解法二：由题意，动点P到定点F (1, 0)的距离比到y轴的距离大1, 由于点F (1, 0)到y轴的距离为1, 故当xv 0时，直线y=0上的点适合条件； 当XA0寸，原命题等价于点 P到点F (1, 0)与到直线x= 1的距离相等, 故点P在以F为焦点，x=1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x。

11、 故所求动点P的轨迹方程为y2=4x (x 0 或 y=1 (xv 0)。 化简求解；也可判断后，用类似于公式法 【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系, 的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件, 防止重、漏解。 举一反三: 【高清课堂：抛物线线的方程 358821例2】 【变式1】若点M到定点F (4，0)的距离比它到直线 I: x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。 【答案】动点M的轨迹方程为y216x 【变式2】若动圆P与定圆C：(x 3)2y2 1相外切，且与直线I : x 2相切，求动圆圆心 P的轨迹 【答案】y212x 类型二：抛物线的标准方程 例

12、3.求过点(3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程: 【解析】点(3,2)在第二象限，抛物线开口方向上或者向左 当抛物线开口方向左时， 设所求的抛物线方程为 2 y 2px ( p 0), 过点(3,2) , 22 2p ( 3), 2 24 p -,y -x, 3 3 当抛物线开口方向上时， 设所求的抛物线方程为 2 x 2 py ( p 0), P 9， X2 |y， 所求的抛物线的方程为 -x或 3 9 8. 29 x 2y， 1 对应的准线方程分别是 x 1, y 3 【总结升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向, 选择适当的方程形式，准确求 2 【变式

13、】已知抛物线的标准方程是y2 6x，求它的焦点坐标和准线方程 出焦参数P. M (J3, 2J3)，求它的标准 举一反三: 【变式1】已知抛物线关于 y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 【答案】x2 【变式2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(一5,25)到焦点的距离是 6,则抛物线 B. y2= 4x D. y2= 4x 或 y2= 36x 的方程为() A . y2= 2x C. y2 = 2x 【答案】B 类型三：抛物线的几何性质 【高清课堂：抛物线线的方程 358821 例 1】 例4. (1)写出抛物线y (2) 已知抛物线的焦点为 1 : -x 4 F(0, 2

14、),写出其标准方程; ：2的焦点坐标、准线方程; 已知抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程. 【解析】(1)抛物线y x2的标准方程为x2 4y，因为2p=4,所以焦点坐标为(0, 1),准线方程为 y 1. (2)因为抛物线的焦点在 y轴的负半轴上，且子=2 所以P 4，从而所求抛物线的标准方程为 8y. (3)由已知得P 3，所以所求抛物线标准方程为y2 6x，焦点坐标为 3 ( ,0)，准线方程为 【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量 Pv2P 的 区别与联 举一反三: 33 【答案】因为P=3,

15、所以焦点坐标是（-,0）准线方程是x - 22 例5.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程: （1）过点（一3, 2）; （2）焦点在直线 x 2y 4=0上 【解析】（1 ）设所求的抛物线方程为y2= 2px或x2=2py （ p 0）, 过点（一3, 2）, 4= 2p ( 3)或 9=2P 2 p=2 或 p=9 34 所求的抛物线方程为y2= -x或x2=-y,前者的准线方程是XU1 ,后者的准线方程是 y=- 3238 （2 ）令 x=0 得 y= 2，令 y=0 得 x=4, 抛物线的焦点为（4, 0）或（0， 2） 当焦点为（4, 0）时, p=8,此时抛物线方程 卫=4 2 2 y =i6x； 焦点为（0, 2）时, 卫=2, 2 p =4,此时抛物线方程为 x2= 8y 所求的抛物线的方程为y2=l6x或x2= 8y, 对应的准线方程分别是x= 4, y=2 【总结升华】 过抛物线y2= 2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A（X1, y）, B（x2, y2）是抛物线y2= 2px上的两点，贝U AB过F的充要条件是 yiy2= p2 设A , B是抛物线y2= 2px上的两点，O为原点， 则OA丄OB的充要条件是直线 AB恒过定点 （2 p, 0）. 举一反三： 【变式】已知抛物