异面直线所成角练习

1、【解析】 试题分析：如图所示, ABiGU中，异面直线AiD与BCi所成的角为 C . 60 BiC, 01 则 B C/ AiD, Bi C BC,. AiD丄 BC,； A D与 BC所成的角为 90. 故选：D. 考点：异面直线及其所成的角 2 .已知平行六面体 ABCD- AiB C D中，底面 ABCD是边长为 =/ Ai AD= i 20 ，则异面直线 AC与AiD所成角的余弦值（ 的正方形，AA = 2,/ A AB ) 【答案】B 【解析】 试题分析：设向量 UUL AB r uur a, AD r uLur b,AA LULL 则ACi r r uuur r r b c,AD

2、b c , LULU ACi L UUUL V2, AiD urur uuur cos ACi, AiD UULU UULU ACi AD UUUUUUUU AC AD 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3.正方体 ABCD ABiGDi 中，E,F,G,H 分别是AAi, AB, BBi, BiCi的中点，则 直线EF与GH所成的角是（） A. 30B . 45C . 60 90 精选文库 2 , 3 【答案】C 【解析】 试题分析：由三角形中位线可知 EF PAiB,GH PBCi ,所以异面直线所成角为ABCi , 大小为60 考点：异面直线所成角 4 .在正方体 ABCD ABG

3、Di 中, E是BCi的中点，则异面直线 DCi与BE所成角的 余弦值为（ 【答案】B 【解析】 试题分析：取BC中点F ,连结FD , FC1，则 DCiF为异面直线所成角， 设边长为2, GF 75, DCi 屈 DF 75 cos DCiF 皿 考点：异面直线所成角 5 如图，正四棱柱 ABCD AB C D中（底面是正方形, AA 3AB，则异面直线 AB与AD所成角的余弦值为（ 侧棱垂直于底面） ） C C A、 9_ 10 10 【答案】A 【解析】 试题分析：连结BC， 异面直线所成角为 ABC， AB 1 ,在 ABC 中 ac 72, ab bc怖 9 cos A BC 10

4、 考点：异面直线所成角 6 .点P在正方形 ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD , 成的角是 PA AB，则PB与AC所 A. 60 【答案】A 【解析】 试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为 B. 90 C. 45 D. 30 精选文库 所以PB与AC所成的角就是 FEA，由题意可知： EF AE AF J2 , 所以 FEA 60 . 考点：异面直线的位置关系. 11 7如图所示，在棱长为1的正方体ABCD Al BiCi Di中，M是棱CD的中点，则AiM 与DCi所成角的余弦值为( A. T B. C. iO D. TiO iO 【答案】A 【解析】 试题分析：以

5、D为原点, 分别以 DA,DC, DDi为X, y, z轴的正半轴建立空间直角坐标 系 D - xyz ， 由棱长 LULUr i LLUJLTi AiMWpODC 则 D(0,0,0), A(i,0,i),M(0,-,0),Ci(0,i,i),所以 o+1-172 翕r，故选A. 2 =(O,i,i),故 cos = 考点：空间向量所成角的余弦值 8 .在正方体ABCD A, BiCiDi中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与 ABi所成角的余弦值为 * 叵 T A. B 2 【答案】D 【解析】 试题分析：联结 AC 、 B1C则 BAC 即为所成的角。 VBiAC为等边三角形，

6、所 以 cos B1AC cos60o 考点：异面直线所成的角 P在线段AD上运动，则异面直线 CP与BA所的0 9 .在正方体 ABCD A B Ci D中，点 角的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，连结 CD，则异面直线CP与BA所成的角0 等于/ DC P,由图可知，当 P点与A点重合时，0=- 3 当P点无限接近D点时，0趋近于0.由于是异面直线，故 0M 0. 选D 考点：空间几何体，异面直线所成角 10.如图，正方体 ABCD ABCiDi，则下列四个命题: P在直线BCi上运动时，三棱锥 A Di PC的体积不变; P在直线BCi上运动时，直线 A

7、P与平面ACDi所成角的大小不变; P在直线BCi上运动时，二面角 P ADi C的大小不变; M是平面ABiCiDi上到点D和Ci距离相等的点，贝y M点的轨迹是过 Di点的直线 【答案】C 【解析】 试题分析： BCi / 平面ADi , BCi /上任意一点到平面ADiC的距离相 等，所以体积不变，正确.P在直线BCi上运动时，直线AB与平面ADiC 所成角和直线ACi与平面ADiC所成角不相等，所以不正确.当P在直线 BCi上运动时，AP的轨迹是平面PAU，即二面角P ADi C的大小不受影 响，所以正确.M是平面A BiC-i Di上到点D和Ci距离相等的点，二M点 的轨迹是一条与直

8、线DCi平行的直线，而DDiDiCi,所以正确，故答案为： C . 考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的 立体几何综合题. ii .如图，正方体 ABCD-ABODi中，AB的中点为 M，DD的中点为 N,则异面直线 B M与 CN所成的角是（） A. 0 B. 45 C. 60 D. 90 c Cl 【答案】D 【解析】 试题分析：解：取 AA的中点E ,连接EN , BE交BiM于点O , 则 EN /BC，且 EN BC 四边形BCNE是平行四边形 BE/CN BOM就是异面直线BiM与CN所成的角, 而 Rt BB1M Rt ABE ABE BBiM ,

9、 BMBiAEB, BOM 90 .故选D. 考点：异面直线所成角 12 .如图,直四棱柱ABCD -AiBiCi Di的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA1 = 72,则 异面直线AiBi与BDi的夹角大小等于 A 【答案】60 【解析】 试题分析：由直四棱柱 ABCD-ABQiU的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA,/可 得 BD,2, 由ABPA,Bi知 ABDi就是异面直线AB,与BDi的夹角,且 COS ABD, AB BD, 丄，所以 ABDi=60 ,即异面直线 ABi与BDi的夹角大小等于 2 2异面直线所成角 60. 考点：1正四棱柱； 13 .如果直线AB与平面 相交于B,

10、且与 内过点B的三条直线BC, BD, BE所成的角 相同，则直线 AB与CD所成的角=. 【答案】900 【解析】 试题分析：因为，直线AB与平面 相交于B ,且与 内过点B的三条直线 BC, BD,BE所成的角相同，所以，直线 AB在平面 内的射影应是BC,BD夹角的平 分线，同时也应是 BD,BE夹角及BC, BE的平分线，因此，直线 AB在平面 内的射 影是点B，即AB ，而CD ，所以AB CD ,直线AB与CD所成的角为90 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系 以顶点A为端点的三条棱长度都为 2,且两两夹角为 14 .平行六面体 ABCA1BOD中， 60,则 DBi和GA所成

11、角大小为 【答案】 arccos 6 【解析】 DB, AB AA ADAG AB AD DBi GA 2 AB AA AD (AB AD) AB AB AD AA AB AA AD AD AB 2 AD 2 DB1 . 一,2 AB1 AA, AD 2 AB1 ,2 AA ,2 AD 2AB1 AA1 2AB1 AD 2AA AD =8, cos 考点: uuuu DB1 cos 2j2 ，同理：GA 2j3 ,设DB1和GA所成角大小为，则 DBi Ci A DBi Ci A arccos 6 1.向量的加法和减法; DB； IC1A1I 2迈 2心6 2.向量的数量积；3.向量的模；4.

12、异面直线所成的角; 15 .已知四面体 ABCD中, DA DB DC 3j2，且DA,DB,DC两两互相垂直, 点O是ABC的中心，将 直线BC所成角的余弦值的最大值是 DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线 DA与 D 【答案】 【解析】 试题分析： OAD ； 当 OA/BC时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即 cos 易知: AB AC BC 6, OA 6 2尽 cos OAD O 3DA 考点: 异面直线所成的角 16 .如图所示， ABCD A1 BiC1 D1为正方体，给出以下五个结论: C Cr BD/ 平面 CB1D1 ； AC1丄平面CB1D1

13、； AC1与底面ABCD所成角的正切值是 J2 ； 二面角C BD1 G的正切值是 72 ； 精选文库 过点Ai且与异面直线 AD和CBi均成70。角的直线有2条. 其中，所有正确结论的序号为 . 【答案】 【解析】 试题分析：如下图，正方体 ABCD- A B C D中， 由于BD/ Bi D，由直线和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD，故正确. 由正方体的性质可得 BiD丄A C, CG丄Bi D,故B D丄平面 ACCi A,故Bi D丄AC . 同理可得BiC丄AC.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC丄平面CBD，故正 确. AC与底面ABCD所成角的正切值为 CC AC ，

14、故不正确. 取BiD的中点 M 则/ CMC即为二面角 C- B D- C的平面角，Rt CMC中，tan / CMC GM J2，故正确. 2 3 13 Ai 作 MN/ AD PQ/ CB,设 MN与 如下图，由于异面直线 AD与CB成45的二面角，过 PQ确定平面 a，/ PAM=45，过 A在面a上方作射线 AH, 则满足与 MN PQ成70的射线 AiH有4条：满足/ MAH=/ PAH=70的有一条，满足 / PAH=/ NAH=70 的有一条，满足/ NAH=/ QAH=7C 的有一条， 满足QAH=/ MAH=70的有一条.故满足与 MN PQ成70的直线有 4条，故过点 A

15、与异面直线 AD与CB成70角的直线有4条，故不正确. 考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直 线的判定. 1 7 .如图，正方体ABCA BCD中，E，F分别是正方形 ADDA和ABCD勺中心，G是CC 的中点。设GF, C E与AB所成的分别为 ，则 I答案】2 【解析】 试题分析：取正方形 BiCCB的中点为点0,连结OCj, OE,取BC的中点为点 GH , FH，通过分析可知 0G / GH , 0E/ FH A，连结 FH 1, GF Sin,cos CiEO OE 2, GE 76, oci J2，则 sin 42 1 73, 得平面GEO/

16、平面GFH ,设正方形边长为 2，在 GFH中，GH J2, cos 呂所以 V3 【答案】 BC的夹角是 考点：直线与平面所成角，面面平行问题。 18 .如图所示，在三棱柱 ABC- A1B1C中, AB BB的中点，则直线 AA丄底面 ABC AB= BC= AA，/ ABC= 90， EF和 【解析】 试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系. 1，0)，F(0，0， 1)，C(2，0， 由于 uuur 2） . EF = AB=BC=AA 不妨取 AB=2 贝U E （0， ujur （0，- 1，1），BC1 = （2，0，2）. uuu ujua cos EF, BC-i .异面直线

17、EF和BC的夹角为-故 uju ujur UEF BUJjj l EF | | BC1 | 答案为：一 精选文库 X 考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角. 19.如图，在直三棱柱 ABC ABQ中， ACB 900, AA, 2, AC BC 1，则异 面直线AiB与AC所成角的余弦值是 【答案】 【解析】 试题分析: 由于 AC / ACi，所以 BAiCi （或其补角）就是所求异面直线所成的角, 在BAG中, AB 76, AC1 1, BC1 75, cos BAG 6 2 5 血 26 16 考点：异面直线所成的角. 20.在正三棱柱ABC A1B1C1中，各棱

18、长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD 与平面BB1C1C所成角的大小是 【答案】60 【解析】 试题分析：如图所示取 BC中点E,连接AE, DE C-L 易得AD与平面BB1C1C所成角为 ADE，设正三棱柱棱长为 2,则等边三角形 ABC, 边上的中线AE J3，DE 1 , 直角三角形中 ADE 60 考点：直线与平面所成的角 . AB= AC= 1 , AA = 2, / BiAiCi = 90, D 为 BB 的中 21.如图，直三棱柱 ABC-ABQ中， 点，则异面直线 CD与AC所成角的余弦值为 【答案】 15 20 【解析】 求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异

19、面直线的一条平移后与 90 ）本题中我们就可以把 试题分析： 另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于 GD向下平移到过点C （实际作图时，是延长B1B到E，使BE B1D，则有 CE/ C1D，然后在 AiCE中求出 ACE，就可得出题中要求的角. 考点：异面直线所成的角. 22 .四棱锥P ABCD勺所有侧棱长都为 J5，底面ABCD是边长为2的正方形，则 CD与 PA 所成角的余弦值为 【答案】 45 5 【解析】 试题分析: 正方形 ABCD中，CD/ AB,./ PAB或其补角就是异面直线 CD与 PA 所成的角 PAB 中，PA=PB= 75, AB=2 , cos /

20、 pab=Pa2 Ab2 Pb2 2PA AB 考点：1.余弦定理的应用 ；2.异面直线及其所成的角 23 .如图所示，正方形 ABCD中, E、F分别是AB AD的中点，将此正方形沿 EF折成直 二面角后，异面直线 AF与BE所成角的余弦值为. 【答案】 【解析】 试题分析: 过F做FH/DC，过A做AG EF，连接GH , 在三角形AGH中，AH航“，AFH 即为异面直线 AF与BE所成角. 设正方形ABCD的边长为2,则在VAFH中，AF 1, FH 2，AH 43， 1 1 cos AFH ，故答案为一 2 2 考点：异面直线所成的角的计算 ABCD AiBiCi Di E为 CQiAE BC 2 【答案】- 3 【解析】如图，由 AD / BC DAE是异面直线 AE与BC所成角，连结DE