二次函数图像和性质的综合应用

1、一元二次方程的概念一元二次方程的概念 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 一 元 二 次 方 程 复 习 效果检测效果检测 定义及一般形式: ? 只含有一个未知数,未知数的最高次数是 _的_式方程,叫做一元二次方程。 ?一般形式:_ 二次 整 ax 2+bx+c=o (ao) 练习一 一、与一元二次方程定义有关的题目： 1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？ （1）4x - x2 + 2 =0 （2）3x2 - y -1=0 （3）ax2 +x+c

2、=0 （a、b、c 为常数） （4）x + =0 2、已知关于x的方程 （m2-1）x2 +（m-2）x-2m+1=0， 当m 时是一元二次方程， 当m= 时是一元一次方程。 x 1 3、把方程（1-x)(2- x)=3- x2 化为一 般形式是：_, 其二次项 系数是_,一次项系数是_,常数 项是_. 4、方程（m-2) x|m| +3m x-4=0 是关于 x的一元二次方程，则 （ ） A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2x2-3x-1=0 2 -3 -1 C 解一元二次方程的方法有几种解一元二次方程的方法有几种 ? 例:解下列方程 ? 、用直接开平方法：(x+2) 2=

3、? 2、用配方法解方程4x 2-8x-5=0 解:两边开平方,得: x+2= 3 x=-23 x 1=1, x2=-5 右边开平方 后，根号前 取“” 。 两边加上相等项“ 1” 。 二次项系数化为1； 移常数项到右边； 两边同时加上一次项系数一半的平方； 化直接开平方形式; 解方程。 步骤归纳步骤归纳 解:移项,得: 3x 2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b 2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x 1= x2 = 解:原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 y1=-2 y 2=

4、1 41002 5 63 x = 先变为一般 形式，代入 时注意符号。 把y+2看作一个 未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=0 形式。 3、用公式法解方程 3x 2=4x+7 4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2） 3 7 -1 先化为一般形式； 再确定a、b、c,求b 2-4ac ； 当 b 2-4ac 0 时,代入公式: 2 4 2 bbac x a - = 步骤归纳步骤归纳 若b2-4ac0,方程 没有实数根。 04, 0 2 ?acba 右边化为0,左边化成两个因式 的积； 分别令两个因式为0，求解。 步骤归纳步骤归纳 选用适当方法解下列一元二次方程 ? 1、 (2x

5、+1)2=64 ( 法） ? 2、 (x-2)2-(x+)2=0 ( 法） ? 3、(x-)2 -(4-x)= ( 法） ? 4、 x-x-10= ( 法） ? 5、 x-x-= ( 法） ? 6、 xx-1=0 ( 法） ? 7、 x -x-= ( 法） ? 8、 y2- y-1=0 ( 法） 2 小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 分解因式法 配方法 公式法 分解因式 分解因式 配方 公式 配方 公式 公式 直接开平方 练习三 ? 典型例题：典型例题： ? (1)x 2-10 x+24=0; (2)x2-8x+15=0; ? (3)x 2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0;

6、? (5)3x 2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0; ? (7)x 2+px+q=0 (p2-4q0)； 1.解方程: (x+1)(x+2)=6 2. 已知: (a 2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b 2 的值。 中考直击 思考 一元二次方程根的判别式 acb4 2 ? ?00 2 ?acbxax 04 2 ?acb 0? 0? 0? 两不相等实根 两相等实根 无实根 一元二次方程 一元二次方程 根的判式是: ?00 2 ?acbxax 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 04 2 ?acb 04 2 ?acb 两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无

7、实根无实根(无解无解) 二、 例1：不解方程，判别下列方程的根的情况 （1） 0432 2 ? xx （3） ?0715 2 ?xx （2） yy24916 2 ? ? ?04142434 22 ? acb解：（解：（1） = 判别式的应用: 所以，原方程有两个不相等的实根。所以，原方程有两个不相等的实根。 说明说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出， 然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情 况，得出结论。 1、不解方程，判别方程的根的情况 例2：当k取什么值时，已知关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根； ?012

8、142 22 ?kxkx 解：= ? 98 8161816 122414 22 2 2 ? ? ? k kkk kk (1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即 8 9 ?k (2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 8 9 ?k (3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= 2 1?k 2 3?k 1 2 3 4 2 ) 2 1 (? ? ? ?kk 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。

9、 2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数 根，且x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有两个实数根，得 0 2 4 2 ) 1(4?kk 即-8k+40 2 1 ? k 由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+44 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=0 例题回顾： 例1：如果 是方程2X2+mX+3=0的一 个根，求它的另一个根及m的值. 例2：已知关于x的方程 x2+(2k+1)

10、x+k 2- 2=0 满足：两根的平方和比两根之积 的3倍少10，求k的值. 2 1 013 2 ?xx 21,x x? 21 xx 21 xx 根与系数的关系练习 一、填空： 1、已知方程 的两根是 ,则 ， = 。 02 2 ? kxx 2、已知方程 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的 值是 . . 3、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则 p=_;若两根互为倒数，则q=_ 4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 1 、3 ，则 b= ，c= . 3 1 -2 1 0 1 -4 -6 5.已知方程3x2+2x-6 = 0 ,则它的两

11、根的倒数和 为 . 6.已知方程x2-bx+22=0的一根为5- , 则另一根 为 ,b= . 3 返回 3 1 3 5? 10 二、选择 1、若方程、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为 ( ) A B C D 0 2 ?nmxx nm, 0, 0?nm0 , 0 ?nm 0, 0?nm0?mn 2、两根均为负数的一元二次方程是、两根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0 3、已知方程、已知方程 ，则下列说法中，正确的是，则下列说法中，正确的是

12、（ ） （A）方程两根和是1 （B）方程两根积是2 （C）方程两根和是）方程两根和是-1 （D）方程两根积是两根和的2倍倍 2 2xx? 4、已知方程、已知方程 的两个根都是整数，则的两个根都是整数，则k的值可以是（的值可以是（ ） （A）-1 （B） 1 （C） 5 (D)以上三个中的任何一个以上三个中的任何一个 06 2 ? kxx A D D D 三、解答题： 1、已知关于x的方程 ( a 2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0 的两个 实数根互为倒数，求 a的值. 2、在解方程x2+px+q=0 时，小张看错了p，解得方程的根 为1与3；小王看错了q，解得方程的根为

13、4与2。这个 方程的根应该是什么 ? 1. 审清题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。 3. 根据题中的等量关系列出方程。 4. 解方程得出方程的解。 5. 检验看方程的解是否符合题意。 6. 作答注意单位。 列方程解应用题的解题过程。列方程解应用题的解题过程。 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 例例1.(中考） 某工厂计划在两年内把产 量翻一番，如果每年比上年提高的百量翻一番，如果每年比上年提高的百 分数相同，求这个百分数（精确到1%） 增长率问题 解：设这个百分数为x,根据题意得 ?21 2 ? x 解答略 问题 1

14、、 512 汶川大地震举国同殇，本次地震灾区防疫措 施得力，没有发生传染病。 据调查，地震后若没有防疫措施， 最容易发生某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将 共有 81 人感染，请计算这种传染病每轮传染中平均一个人传 染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 依题意得：? 1181xxx? ， 解得 12 8,10 xx? ? （不合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了 8 个人. 一定要注意解得的根 是否符合题意 典型题: 某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25的 增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是 x，则经 过一年木材存量达到 ，经过两年木材存量 达到

15、 . 返回 利润问题利润问题 某水果批发商场经销一种高档水果,如果 每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场 调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨 价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证 每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那 么每千克应涨价多少元? 解题过程 分析：个利润销售量=总利润 解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20 x)(10+x)=6000 整理得: x 2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去） 要使顾客得到实惠应取x=5 答:每千克水果应涨价 5元. 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果, 平均售价为10元

16、/千克,月销售量为1000千克. 经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千 克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之 间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 y x 7?x 2000?y 5?x4000?y （1）求与之间的函数关系式； x 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果, 平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克. 经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千 克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之 间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 y x 7?x 2000?y 5?x 4000?y （2）已知该种水果上月份的成本价为 5元千克， 本月份的成本价为 4元

17、千克，要使本月份销售该种 水果所获利润比上月份增加 20% ，同时又要让顾客 得到实惠，那么该种水果价格每千克应 调低至多少 元？ x 面积问题 有一张长方形的桌子，长 6尺，宽3尺，有一块台布 的面积是桌面面积的 2倍，铺在桌面上时，各边垂下 的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到 0.1尺） 提醒：一般从面积或体积找等量关系提醒：一般从面积或体积找等量关系 解：设这个台布的长为x尺,根据题意得 （6+2x）（3+2x）=632 解答略 问题问题 2、 （2008年广东省中考题）如图，在长为年广东省中考题）如图，在长为 10cm，宽为，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形

18、，的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形， 使得留下的图形使得留下的图形 （图中阴影部分）面积是原矩形面积的（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80，求所截去小正，求所截去小正 方形的边长？方形的边长？ 解：设所截去小正方形的边长是解：设所截去小正方形的边长是 xcm. 依题意得：依题意得：? 2 4108180%x ? 解得：解得： 12 2 , 2xx? ? （不合题意，舍去）（不合题意，舍去） 答：所截去小正方形的边长是答：所截去小正方形的边长是 2cm. 数字 一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多 1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得 的两位数比原数大27，求原两位数。

19、 解:设十位上的数位X,则个位上的数为 一元二次方程与其他知识结合 1.一元二次方程与分式结合 2 23 |3| xx x ? ? 典型题:若分式 的值为零, 则x的值是 . 一元二次方程与几何图形结合一元二次方程与几何图形结合 典型题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰 好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长 是 . 在三角形ABC中，B=60，BA=24cm， BC=16cm现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向 运动，动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运 动如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它 们同时出发，求： （1）几秒钟后，PBQ的面积是ABC

20、面积的一半？ （2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？ B A C 动态几何动态几何 P Q P A B C Q 效果检测效果检测 1.方程x2= 7x 的解是 . 2.对于任意的实数x,代数式x25x10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 3.能使分式 的值为零的所有的值是 ( ) A、1 B、 -1 C、 1或 -1 D、2或 -1 4.方程2x2-2x-1=0的解是 5.若关于的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2 则另一根x2及q的值分别是（ ） A.x2 =1,q=2 B. x2 = -1,q =2 C. x2 =1,q = -2

21、 D. x2 = -1,q = -2 12 1 2 ? ? xx x 返回 效果检测效果检测 6.把方程x 2+3mx=8的左边配成一个完全平方式, 在方程的两边需同时加上的式子是 A. 9m 2 B. 9m 2x2 C. D. 7.已知(1-m2-n 2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值 是 A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2 22 4 9 xm 2 4 9 m 返回 8.下面是张潇同学在测验中解答的填空题，其中答对 的是 A若x 2=4，则x=2 B方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C方程x 2+2x+2=0实数根的个数为0个 D方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数根 9.已知两数的和是4,积是1，则此两数为 . 效果检测效果检测 返回 10.若等腰三角形底边长为 8,腰长是方程x 2-9x+20=0的