马尔可夫过程在深圳指数预测中的应用

1、马尔可夫过程在深圳指数预测中的应用田禹 颜虎 蒙小兰西南交通大学数学学院摘要股价指数是反映股票市场价格平均水平和变动趋势的指标， 是对整个股票市场行 情的一种反映。 如何准确地预测未来的股价指数， 从而有效地防范投资风险， 一 直是学者关注的问题。本文以深证综合指数为研究对象，建立了 3种不同的马尔 科夫链模型， 分别给出了深证综指的预测结果， 并提出了利空度矩阵分析法， 对 深证综指的跌涨幅度作出了定量分析。 在引入了马尔可夫过程的相关理论之后，本文首先建立了指数权马尔可夫链模 型。根据指数序列的统计分布特点， 对指数变动范围进行了状态划分， 使每个交 易日的指数唯一对应一个状态， 再利用转

2、化得到的状态序列， 估计它的各阶状态 转移概率矩阵， 然后以状态序列的各阶自相关系数为权重， 结合各阶转移概率矩 阵，对预测期的指数状态进行预测。 加权模糊马尔可夫链是对状态划分模糊的马尔可夫链的改进。 该模型采用模糊状 态划分方法， 将原指数序列转化为模糊状态向量序列， 在不同时段分别建立模糊 状态转移概率矩阵，再利用各时段转移概率矩阵加权求和得到的新转移概率矩 阵，对预测期指数的模糊状态进行预测。结合上述两种模型的特点， 本文又建立了指数权加权模糊马尔可夫链模型。 该 模型采用模糊状态划分方法， 通过对建立在不同时段上的各阶转移概率矩阵加权 求和，得到最终用于预测的各阶转移概率矩阵， 并以

3、指数序列的各阶自相关系数 为权重，结合相应的转移概率矩阵，加权预测未来指数的模糊状态。 为了定量描述股市的整体跌涨幅度， 本文最后建立了利空度分析模型。 它基于状 态转移概率矩阵构造利空度矩阵， 以此计算股市的利空度。 利空度的符号和绝对 值大小反映了股价指数的跌涨和相应幅度。结果均与实7.0MATLAB本文以为计算工具， 分别利用各种模型的深证综指进行了实证分析， 际吻合。说明马尔可夫链模型在股市行情分析中有较好的适用性。 关键词：马尔可夫链 指数权 加权 模糊 利空度1 引言面对跌宕起伏的证券市场， 中外分析人士一直在竭尽全力， 长期不懈地探索市场 运行规律。 各种技术分析流派都以准确预测

4、市场未来走势为目的， 传统技术分析 遵循周而复始、 重复再现的变化原则， 但在实际运用中往往和市场走势背离， 预 测的结果往往不尽理想。本文基于马尔可夫链建立了 3种预测模型，并建立了刻画股指跌涨幅度的利空度 矩阵模型，希望能对股价指数的定量分析提供一些思路。2 马尔可夫链的相关概念2.1 马尔可夫过程的定义 马尔可夫过程是具有所谓马尔可夫性的一类特殊的随机过程， 这种马尔可夫性意 味着：在某时刻所处的状态已知的条件下， 过程在时刻处的状态只与过程在时刻的状态有关， 与过程在以前的状态无关， 这种特性称为无后效性。 它严格的数学定义如下：kt(ktttktkt121211221122n-111

5、212,En1 ,t,xxt,x,.x,xxt,x,.x(t)Fa,|,;t, ,)nnnnnnnnnXttTtttaaaaEtatat、为一随机过程,为状态空间,若对任意的 任意的,任意的机变量在已知条件下下的条件分布函数只与有关, 而与无关, 即 条件分布函数满足等式(F,|,)nnatat (则称此过程为马尔可夫过程。由于马尔可夫 过程的无后效性,可以将其称为一个只注重现在而将过去忘却的特殊随机过程。2.2 马尔可夫链的定义ataataataaatt由上可知马尔可夫过程是无后效性的随机过程, 即在系统“现在”状态已知的条件下,其“将来”的状态与“过去”的状态无关。当状态空间和时间参数都是

6、离散情形时,称为马尔可夫链。其严格定义如下：记时间参数为,当时,随机变量12,ntttntt()nXt(1,2,n可能取的状态空间为E(),对任意的12,辟,Na,lmk1111|,| mkmkmmmmmkmkmmPXaXaXaXaPXaXa 成立。当,即状态转移概率与与初始时刻无关时,为齐次马尔可夫链,此时,称矩阵()()()| kijmkmkmmijPmPXaXap阵。k()()kijNNpm 为系统的步状态转移概率矩特别地,当时, 为马尔可夫链的一步转移概率。矩阵 ()称为一步转移概率矩阵。由此,根据某一时刻的状态可 1k 1| (,1,2, ijnjni PPXaXaijN 以预测下一

7、时刻的状态。显然有以下性质：N ijNP()0,ijPkijE()1,ijjE PkiE2.3 齐次马尔可夫链的遍历性和平稳分布设齐次马尔可夫链的状态空间为E=(),若对所有的i,j属于E,存在不依赖i的常数1, nnXj i2,Naaa，为其转移概率njP在n趋于的极限，即jnijn Plim ,ijE其相应的转移矩阵有.21.21.2122221.11211nppppppppppn则称齐次马尔可夫链具有遍历性，并称j为状态J的稳态概率。齐次马尔可夫链的平稳分布的严格数学定义：设1, nnX是一个齐次马尔可夫链。，若存在实数集合Ejr j ,，满足 0,jrj则称为平稳齐次马尔可夫链，1,

8、nnX,jrjE 是该过程的一个平稳分布。2.4 方程 CK设为马尔可夫链，状态空间E=(),则n步转移概率满足下述等式:)(rPnij =1,0, nnX 12,Naaa,mnmikkjkEPrprmijEim这个等式就叫方程 CK对应的步转移矩阵为 nmrprprp mnmn3 指数权马尔可夫链预测法3.1 指数权马尔可夫链预测的思路还受宏观经济形势、 经济周 而是 各自相证券指数的变动不仅与各上市公司的经营状况有关，期和政策变动的影响， 因此不宜仅把证券指数作为一阶马尔可夫链来处理， 有必要考虑 连续多阶 的相互影响。 由于证券指数是一列相依的随机变量， 关系数刻画了各种 时滞的证券指数

9、间的相关关系的强弱。 因此，可考虑先分别根 据前若干期的证券指数对预测期证券指数状态进行预测， 然后，按前面各期与该 预测期相关关系的强弱加权求和， 即达到了充分、 合理地利用信息进行预测的目 的。3.2 指数权马尔可夫链的预测步骤根据实际数据的分布特点， 对指数序列所能取到的最小值和最大值所限定的区 间分为若干小区间：，其中，使每一个交易日的指数仅落入其中一个区间内，每 一区间可视为一种状态。再记，则可将指数序列 , 0m1ii nmliiEmi,im tXt n，转化为一个以01121,),),) llmmmmmm 1,2,1,2,mmi, iEE1,2, il ,为状态空间的随机时间序列

10、。对证券指数序列作马氏性检验：用ijf表示在证券指数状态序列中从状态出发, 经过一步转移到达状态 12,.,nZZZ ij 的频数，构造频数转移矩阵。记 ()ijmfm 1111,mijijijijmmnijijijj ffppff,则当n较大时，统计量21121 nmmijijijj pfp服从自由度为21m 的2 分布。给定显著性水平，查表可得该分布的上 分位点22(1)m的值，并计算得到统计222(1)m则认为序列 符合马氏性， 否则不可作为马尔可夫链来处理。 iz计算序列 各阶自相关系数 121()()nkjjkjknjj zzzzrzz其中，表示阶(时滞为期)自相关系数，表示第krk

11、kjzj年的证券指数状态，Z表示证券指数状态序列 的均值，表示该序列的长度。对各阶自相关系数规范化，即1 kkMkkrwr，并以作为各时滞的马尔可夫链的权重（M为预测需要的最大阶数）。对所得结果进行统计， 可得不同时滞 （步长）的马尔可夫链的转移频数矩阵mm ，利用公式 ()()()1kijkijnkijj fpf，构造相应的转移概率矩阵mm分别以前面若干期的证券指数状态为初始状态， ，结合各初始状态在相应的转 移概率矩阵所在行， 并以各阶自相关系数为权重， 通过加权求和即可预测出该期证券指数处于状态的概率 i()1,(1,2,;1,2,)Mkikik PwPkMi,其中（）kiP从时滞为k初

12、始状态转移至状态i的k步转移概率。若，则该预测期证券指数所处状态为 maxjP j。将其加入原状态序列，再 重复，可进行下一期的证券指数状态预测。3.3 指数权马尔可夫链的实例分析200231本文以1997年1月2日至年12月日共计 1444个交易日的深证综指为例，说明该方法的具体应用。本文限于篇幅，只对一个交易日的指数状态进行预测。首先，根据数据的描述性统计结果对数据做状态划分。MATLAB的统计分析结果显示【见附录1】 ， 1444个交易日的深证综指最高值为点， 最低值为 305.81点。不妨取等间隔长度 100，将原始数据划分为 4个状态： 305为状态1， 395为状态，为状态，为状态

13、。 664.85395 485248575 53575665 4利用中确定的状态划分方法，将原始序列转换为状态序列。利用MATLAB根据第2小节的原理可计算得到步长为1、2、3、4的马尔可夫链 的转移概率矩阵如下：(1) 0.96350.0365000.03190.924300.0438000.9830.01700.10530.02390.87P08(2) 0.93820.0618000.05380.892400.0538000.96940.030600.12920.04310.82P78(3) 0.92220.0778000.06590.893100.0639000.9660.03400.1

14、5310.04780.7P99(4) 0.91080.0892000.0740.85400.072000.9660.03400.17220.04780.779P9，给对状态序列做马氏性检验:2112ln3736.5mmijijijj pfp定显著性水平0.05 ，查表可得上分位点2220.05(1)(9)16.919m，由于222( 1 )m2，故认为指数状态序列满足马氏性。计算状态序列的各阶自相关系数和各步长的马尔可夫链的权重，如表所示: 表1 各阶自相关系数和各步长的马尔可夫链权重123 k （阶数、步长）kr（自相关系数）0.99590.99180.98770.9834kW (权重)0.

15、25160.25050.24950.2484 （6）利用1997年1月日至年12月日的状态指数序列，结合相应的状态转移概率对年 1月 2日的深证指数状态进行预测。 22002312003表2 年 1月日证券指数状态预测 20032 基期初状态时滞权重 状态 1状态2 状态3 状态 4概率来源110.25160.96350.036500(1) (1,)Pj 02/12/31120.25050.93820.061800(2) (1,)Pj02/12/30230.24950.06590.870300.0639(3) (2,)Pj02/12/2702/12/26240.24840.0740.08540

16、0.072(4) (2,)Pj转移至末状态的概率加权和 iiP 0.51230.453900.0338由表知，即年 1月2日的深证指数状态为 1，实际当日的指数为，满足状态 1的取值范围 305，预测准确。2 1 max0.5123 iPP 380.442003,)3954 加权模糊马尔可夫链预测法在第节中的讨论中， 采用了明确的状态划分方法， 将整个指数取值区间划分为个 状态(低、较低、较高、高)，使每个交易日的指数唯一地归属于某一状态，然 而，这样的状态划分具有一定缺陷， 比如处于两状态取值界限的数值兼有左右两 侧状态的特点，而在这样的状态划分方式下，只能被强制归为其中的一个状态， 这就可

17、能损失部分信息， 也很难有说服力。 故在本节我们提出一种状态划分模糊 的方法，进而建立相应的马尔可夫链模型。 344.1 状态划分模糊的马尔可夫链预测法的预测步骤将随机变量的取值范围设为U，建立U上的模糊状态集i2,mSSS对任意,uU 有。则称 1()1mMSmu()msu为数值u对模糊状态的隶属度，也称u对的分配系数。 mSmS定义 1(SkX()ijSkX)为时刻变为 ktkt 时状态到状态的模糊状态转移系数，而称iSjS11nijSkAX 1()kX()ijkS为状态到状态的模糊转移频数。 jSiS计算模糊转移频率i2iiAPAA 2,i At,以此为元素，构作模糊转移概率矩阵。()i

18、jMPM通过隶属函数确定目前随机变量取值的模糊向量u12(),(),)tttSsusus以当前时刻为基期，则下一时刻的预测值itu的模糊向量为。 11,ttsS(),)k SsP121(),(),ttusu1tS ()12(,kP1()Mtu将得到的向量加入原状态向量序列，重复(5),可得下一预测期的指数状态向量。4.2 加权模糊马尔可夫链模型的思路是：马尔可夫链预测法的关键问题在于状态转移概率矩阵的计算， 因为状态转移概率 的精确与否直接影响到最终预测值的精确度。 加权模糊马尔可夫链预测模型就是 在状态划分模糊的马尔可夫链基础上，对不同时段的状态转移概率矩阵加权求 和，使得加权求和后得到的状

19、态转移概率矩阵较之传统的更为精确。 具体做法是： 把原始数据按时间先后顺序排列后， 把它们适当分成若干段， 在每一段上都求出 一个状态转移概率矩阵， 然后分别赋予相应权重， 加权求和后得一新的状态转移 概率矩阵。最后，我们用这个新的状态转移概率矩阵预测下一期的证券指数。 这里有一个问题需要明确： 若干转移概率矩阵的加权求和是否具有合理性？即加 权求和后得到的矩阵是否还是一个转移概率矩阵？答案是肯定的。 下面给出加权 转移概率矩阵合理性的证明。已知：，o,kk mi,2,kn为n个转移概率矩阵，即满足 即向量的每一个分量不小于 0()0, kj(1,2,)mm，且 ()j11),e(1,1,k

20、jjk 为各转移概率矩阵对应的权重，满足 0,(i,2,knin ikk 。求证： inkPkk)k仍满足转移概率矩阵的条件。证明：设 12(,)mP，则原问题等价于证明 0,(1,2,)iim且 imjje()()()()()()i2i2iiiii (,)(,nnnnnkkkkkkkkkkmkkkmkkkkkPP证毕12(,)m()()1 1 1 1 1 1mmnnmkkjkjkjjjkkj ee4.3 加权模糊马尔可夫预测法对深证指数的实证研究本节数据仍然采用 1997年月日至年月日各交易日的深证综合指数，通过对年 1月2日的深证指数的预测，说明该方法的运用。受篇幅限制，以下只对一个交易日

21、的指数状态进行预测。 12200212312003根据深证指数在上述时间段内的取值范围 305,665 U ，把由低到高分为个等长区间，并采用清晰区间模糊化技术建立模糊等级状态：并用图1予以表示：U3S4124,SSS图1 清晰区间模糊化隶属函数图像 相应的隶属函数为：305,350)u 时，1234()1,()()()0 SSSSuuuu350,440)u时，12311()1350,()350,()()09090 SSSuuuuuu440,530)u时，23111()1440,()440,()()09090 SSSuuuuuu530,620)u时，34111()1530,()530,()()

22、09090 SSSuuuuuu620,665)u时，4123 ()1,()()()0 SSSSuuuu。将根据中给出的隶属函数确定各交易日深证指数的状态分配系数。 将原始数据按时间顺序分为两组， 为了避免转移概率矩阵出现某一行全为元素 的情况，取前 800个交易日为第一时段，后面所有交易日为第二时段。分别计算 每个时段的模糊转移频数和模糊转移频率， 并建立相应的模糊转移概率矩阵： 0 10.78640.21360.000100.26500.65100.084000.00070.32530.60170.072300.00060.642 10.3573P20.43320.56590.000800.

23、07300.66590.2575000.28670.53540.1778000.10910.89P08我们知道，对一个系统来说，它是处于变化发展中的，因此，用时间久远的数据来预测未来状态， 势必会造成一些不准确因素。 与此同时， 这些数据在一定程 度上又可看作相对稳定的系统， 时间久远的数据在对状态转移概率矩阵的计算上 有会起到一定作用。所以，我们得出这样的结论：在状态转移概率的计算上，对 与那些时间久远的数据我们决不可以丢弃它们， 但也不能把它们与近前的数据等 同起来，一个容易想到的方法是把不同时段的转移概率矩阵赋予不同的权重， 加 权求和得到一个新的具有更高精度的状态转移概率矩阵。用主观评

24、判法对矩阵分别赋予权重 0.4，故新的状态转移概率矩阵 123,PPP,0.6 120.57450.42500.000500.14980.66210.188100.40.60.00030.30220.56190.135600.00030.32230.6774PPP利用上一步骤得到的转移概率矩阵，预测年 1月2日的深证指数。2002年12月日的深证指数为 388.76点，对应的模糊状态向量为 （，则下一交易日的深证指数状态向量为： 2003310.5693,0.4307,0,0)0.57450.42500.000500.14980.66210.18810(0.5693,0.4307,0,0)(0

25、.3916,0.5271,0.0813,0)0.00030.30220.56190.135600.00030.32230.677F4因为 2imax(),123,4()0.5271 iSnsnXiX2S35O,53O,而实际指数为,属于模糊状态集的取值范围 ，故预测结果与实际吻合。380.445指数权一加权模糊马尔可夫链预测法从4.3的实证研究中不难发现，加权模糊马尔科夫链对深证指数的预测值偏离真 实值的程度 较大。原因是：无论是指数权马尔科夫链，还是加权模糊马尔科夫链 模型，都只利用了股市提供的部分信息。 在此，我们提出一种将两种模型相结合 的思路，既考虑连续多阶的相互影响， 有考虑不同时段

26、对预测期的影响。 在基于 对原始序列模糊状态划分的基础上， 首先，分别在各时段上计算各步模糊状态转 移概率矩阵，通过赋予不同时段相应权重，合并为新的模糊状态转移概率矩阵， 再利用前几期与预测期的相依关系的强弱 （以各阶自相关系数表示） ，对通过各 阶转移概率矩阵预测出的模糊状态向量加权求和，即得预测期的模糊状态向量。这就是指数权加权马尔可夫链模型的基本思想。 406.35380.445.1 状态划分模糊的指数权马尔科夫链预测步骤在介绍指数权加权马尔科夫链模型之前， 我们首先引入状态划分模糊的指数权 马尔可夫链模型： 将随机变量的取值范围设为U，建立U上的模糊状态集i2,mSSS对任意有。配系数

27、。 mSmS定义()()ijSisikXX为时刻变为 ltlkt 时状态到状态的步模糊状态转移系数，而称为状态到状态的模糊转移频数。iSjSk()1()nkkijSlkAX()ijSikiSjS计算 k模步糊转移频率()()()1 (,1,2,)kijkijmkijjAPijA，以此为元素构作阶模糊转移概率矩阵。 ()() kijMM P计算序列的各阶自相关系数 121()()nkllklknll XXXXXX规范化各阶自相关系数，即以1 kkmkk作为滞为的模糊状态向量对预测期模糊 状态向量的权重。1nt ()111()mknkkFXP分别利用前几期的模糊状态向量， 并结合相应步长的转移概率

28、矩阵， 通过加权 求和对预测期的模糊状态向量进行预测，用表示时刻深证指数的模糊状态向量， 则预测期即时刻的模糊状态向量为： 。 ()nFX()FXntnk5.2指数权一加权模糊马尔可夫链预测模型借鉴加权模糊马尔科夫链模型的思路， 指数权加权模糊马尔可夫链模型就是对 不同时段上的各阶状态转移概率矩阵加权求和， 利用新得的各阶转移概率矩阵替 换在指数权加权马尔科夫链模型的中的相应转移概率矩阵。 这样在考虑了不同 时段的影响程度后，使得各阶转移概率矩阵的估计更加精确。在实证分析之前， 我们同样需要就 “指数权加权模糊马尔可夫链模型预测得到 的向量仍然满足模糊向量的条件”进行证明。已知：为I个模糊状态

29、向量，即满足各分量非负且和为1, (1,2kFkl为一模糊状kP 分别为对应的转移概率矩阵和权重。 求证： 1lkkkkFF态向量。证明：设 ()()()1212 (,),(,)kkkkkmmFPF因为 各分量非负且和为 1，由转移概率矩阵的性质知，必有，kF()11mkjj而 ()()()121111 (,llllkkkkkkkkmkkkk FFP()()11111 111mmlmlkkmkjjkjjkjk证毕5.3 指数权加权模糊马尔可夫链预测模型的实证分析我们依然以 1997年1月日至年12月日共计 1444个交易日的深证综指为研究对象，对年 1月2日的深证指数进行预测。 2200231

30、2003为了便于前后对比，仍按 4.3节中指数状态的划分方法，则各交易日的状态分配系数向量不变。时段的划分也与并采用相同的隶属函数，4.3节中保持一致。以表示第时段的阶模糊状态转移概率矩阵，计算结果如下：()kiP(1,2,3;1,2,3)ikik(1) 10.78640.21360.000100.26500.65100.084000.00070.32530.60170.072300.00060.64210.3573P(2) 10.78180.21800.000300.26710.64420.088700.00290.33320.58940.074600.00040.64310.3565P(3

31、) 10.77660.22280.000600.27010.63770.09210.00010.00410.33760.58180.076500.000 10.64250.3574P(1) 20.43320.56590.000800.07300.66590.2575000.28670.53540.1778000.10910.89P08(2) 20.42230.57590.001800.07560.66430.260100.00030.29470.52540.179600.00010.11160.8883P(3) 20.40920.58790.02900.07820.65970.26210.00

32、010.00070.30180.51650.181000.0002 0.11400.8858P同样按照“时间久远的数据对当前影响小， 而时间临近的数据对当前影响大” 的 原则，分别赋予第一、 二时段权重， 以表示各时段加权求和得到的阶模糊状态转 移概率矩阵，则 0.4,0.6()kPk(1) (1)(1)12 0.57450.42500.000500.14980.66210.188100.40.60.00030.30220.56190.13560 0.00030.32230.6774PPP(2) (2)(2)12 0.56610.43270.001200.15220.65620.191500.

33、40.60.00130.31010.55100.13760 0.00020.32420.6756PPP(3) (3)(3)12 0.55620.44190.001900.15500.65090.19410.00010.40.60.00200.31610.54260.1 39200.00010.32540.6745PPP由节中的计算结果，指数序列的 1,阶自相关系数分别为，规范化后对应的权重分别为 3.22,30.3347,0.995930.33190.99180.9877120.3333,)0.4633,0,0),()FX(0.5693，最后三期样本对应的模糊状态向量为：则预测期的模糊状态向量

34、 210.4924,0.5076,0,0),(,0)nnFX (FX)(0.5367,0.4307,0n3()111()()(O.3729,O.5371,O.O9OO,O)knknkkFXFXP因为 21max(),1,2,3,4()0.5371 iSnSnXiX2S35O,53O,而实际指数为,属于模糊状态集的取值范围 ，故预测结果与实际吻合。38O.446 利空度矩阵分析法实际中，人们通常希望了解股市在一段时期内的跌涨情况， 通过判断股市行情作 出投资决策。 股市行情的变化往往通过股票指数的跌涨幅度来体现， 但是，股市 瞬息万变， 股票指数并不总是保持在某一特定的变化趋势上， 而是在某一时

35、期有 涨有跌，交替变化。针对该问题，本文基于马尔可夫状态转移概率矩阵的理论， 提出了“利空度矩阵”的概念，从而为判断股市的跌涨幅度提供了有力工具。6.1 利空度矩阵的模型建立基于股票指数在某段时期的状态转移概率矩阵ijmmPp ,其中ijp表示从状态i转移至状态j的概率。状态转移概率矩阵不但反映了各个状态之间的转移概率， 还包含着股票指数跌涨的信息。比如，从状态i转移至状态j为跌，若有i则为跌, 若i则为涨，i时视为基本持平我们并不关心股指在某些状态间的涨跌，而主要关心其是涨幅大于跌幅, 还是跌幅大于涨幅, 从而把握股市的整体跌涨情况。 j定义 1：ijmm Hh 2)()iji为转移矩阵的利

36、空度矩阵，其中， P2,sgn 何,(,1,川 pijsg n()ji表示 ji的符号。定义： 211()mmijijEHh为转移矩阵的利空度。 P构造利空度矩阵元素的说明：符号ijssgn()ji表示跌涨，若sgn(，则股指从较高的状态跌至较低的状态 )1jiij；1sgn()ji则股指从较低的状态000.14440.8745i涨至较高的状j ;若0,则股指的状态没有发生转移。sgn()ji6.2 利空度矩阵的分析步骤将股票指数划分为若干 个状态， 使每个交易日的指数属于其中的某一状态； 或 对指数的变化范围进行模糊状态的划分， 使每个交易日的指数对应一个模糊状态 向量。利用中得到的状态序列

37、计算状态转移概率矩阵; 或利用中得到的模糊状态 向量序列计算模糊状态转移概率矩阵。 需要特别指出的是， 由于这里的转移概率 矩阵是作为计算利空度矩阵的桥梁，故允许出现某行元素全部为的情况。0根据中得到的状态转移概率矩阵或模糊状态转移概率矩阵计算利空度。6.3 利空度矩阵的实证分析本节仍以 1997年1月日至年月日各交易日的深证综指为分析对象。220021231首先，我们采用第 3节中深证指数的状态划分方法(即按取值从低到高划分为个 状态)，将指数序列转化为状态序列，得到 1阶状态转移概率矩阵 4 0.96350.0365000.03190.924300.0438000.9830.01700.1

38、0530.02390.87P0800.0365000.0319000.17530000.017000.42110.0239H0，利用定义 1中的公式， 得利空度矩阵， 利空度 说明从1997年初至年末， 深证综指总体跌幅大于涨幅， 据此可以判断， 深市行情 总体处于跌大于涨。 20020.76750.23230.19500.65780.00030.29830P0 00.23230.000500.195000.147200.00100.298300.144400.00020.125H50我们再从另外一个角度验证上述结论， 即改变深证指数的状态划分方法。 采用第节中的模糊状态划分法，将指数序列转化

39、为模糊状态序列，进而得到1阶模糊状态转移概率矩阵，对应的利空度矩阵为，利空度为 40.00010.14720.55700.1255()0.0956EH200231。同样得到“深市行情总体跌大于涨”，的结论，说明两种状态划分方法得到的结论相同，但需要注意的是，第 2次得到的利空度虽 然也取负值， 但其绝对值 0.0956小于第 1次得到的利空度 0.2480，说明在状态划分 模糊的意义下，深证综指虽然总体处于跌落，但幅度并不明显。此外，我们还想进一步了解在 1997年1月2日至年12月日的 1444个交易日中，不 同时段的深市行情各自有怎样的起伏特点。 于是，我们将原来的 1444平均分为三 个

40、时段，大体上1997年和1998年为第一时段， 1999年和2000年为第二时段， 2001 和2002年为第三时段。不妨采用第3节中的模糊状态划分方法，记第i个时段的 利 空度矩阵为，相应的利空度为 iH,(1,iLi2,3) ，得如下计算结果：iH iL 19971998 (1)i 000.37950.0239 .25810.0001000.022600.544000000 0.6666 19992000 (2)i 00.10540.000800.089600.178600.00030.207700.218200.00020.154800.0505 20012002 (3)i 00.565

41、90.003300.073100.257000.00020.353000.096600.00020.098000.3958从上表可以看出， 第一时段的利空度为负， 即指数处于上涨状态， 而后两个时段 的利空度都为正， 指数处于下跌状态， 而由前面的分析结果， 三个时段的整体利 空度为，说明是由于第一时段的跌幅过大， 而后两个时段的涨幅过小， 导致整体 利空度为负， 同时从另一个角度也说明， 利空度只能判断股市整体的跌幅和涨幅 的相对大小，不能判断股指究竟处于跌或涨的状态。否则，由利空度为 0.0956 0.0956 ，我们作出股指趋于下跌的状态，而事实上，在最后的两段时期，股指 还有一定幅度的

42、上涨。7小结至此，我们对各模型的特点作以下总结： 指数权马尔可夫链模型的主要特点有： 一、预测结果为股价指数的状态 （相当于 一个取值范围），而非具体数值，因此，比较适合非点值的状态预测，且预测结 果的可靠性较高。 二、由于以各阶自相关系数为权重， 并结合了各阶转移概率矩 阵来预测指数状态， 与只有一阶转移概率矩阵相比， 能更充分地利用信息， 同时 也是对马尔可夫过程与相关分析相结合的预测方法的尝试。 三、在对指数状态作 划分时，处于两状态界限上的数值只能归属其中的一个状态， 因此可能会给预测 结果带来一定偏差。 加权模糊马尔可夫链模型是对状态划分模糊的马尔可夫链模型的改进。 后者的主 要特点

43、是： 以模糊化技术对指数状态进行划分， 使每一指数值对应一模糊状态向 量，从而预测结果也是预测期指数对应的模糊状态向量。 这也是对指数权马尔可 夫链模型的改进。 但是，它在计算转移概率矩阵时， 忽略了由于时间因素导致的 数据重要程度的差别， 而这正是加权模糊马尔可夫链模型的改进思路。 改进后的 模型依据“时间越远的数据对当前影响越小” 这一思想， 对不同时段的转移概率 矩阵赋予相应权重，使加权求和得到的转移概率矩阵具有更高的精度。 指数权加权模糊马尔可夫链模型综合了上述两种模型的优点。 首先，它采用模 糊状态划分法， 克服了指数权马尔可夫链模型的缺陷。 其次， 它以指数序列的各 阶自相关系数为

44、权重， 结合各阶转移概率矩阵， 对预测期指数的模糊状态进行预 测，达到了充分利用信息的目的。最后，它仿照加权马尔可夫链模型的思路，在 估计各阶转移概率矩阵时，对不同时段的各阶转移概率矩阵也赋予了相应权重， 体现了不同时段数据值对当前影响程度的差异。 利空度分析模型则进一步拓展了马尔可夫链模型的应用范围。 它能同时给出股价 指数的总体变动方向和变动大小的定量刻画， 便于人们对一段时期内股价的涨落 有总体的把握。附录1 指数序列的描述行统计分析结果 max(data) % 指数序列的最大值 ans =664.8500 min(data) % 指数序列的最小值 ans =305.8100 lengt

45、h(data) % 指数序列的数据总数 ans =1444读取数据 hist(data) % 作指数序列的频数直方图 图 199至 2深证综指日度数据的频数分布图 27.1.2002.12.31300350400450500550600650700050100150200250 fid=fopen(shenzheng.txt,r); %data=fscanf(fid,%f);2 指数权马尔可夫链预测法程序代码（附带计算利空度矩阵）status=fclose(fid);for i=1:length(data) % 将原始数据转化为状态数据if data(i)=305 & data(i)=395

46、& data(i)=575 & data(i)665Z(i)=3;else Z(i)=4;endendP1=zeros(4);F1=zeros(4); %P1,P2,P3,P4 分别为1、2、3、4步状态转移概率矩 阵P2=zeros(4);F2=zeros(4); %F1,F2,F3,F4 分别为1、2、3、4步频数转移矩阵 P3=zeros(4);F3=zeros(4);P4=zeros(4);F4=zeros(4);for i=1:length(Z)-1 %计算1步转移频数矩阵 F1switch Z(i)case 1switch Z(i+1)case 1F1(1,1)=F1(1,1)+1

47、;case 2F1(1,2)=F1(1,2)+1; case 3F1(1,3)=F1(1,3)+1;case 4F1(1,4)=F1(1,4)+1;endcase 2switch Z(i+1)case 1F1(2,1)=F1(2,1)+1;case 2F1(2,2)=F1(2,2)+1;case 3F1(2,3)=F1(2,3)+1;case 4F1(2,4)=F1(2,4)+1;endcase 3switch Z(i+1)case 1F1(3,1)=F1(3,1)+1;case 2 F1(3,2)=F1(3,2)+1;case 3 F1(3,3)=F1(3,3)+1;case 4F1(3,4

48、)=F1(3,4)+1;end case 4 switch Z(i+1) case 1F1(4,1)=F1(4,1)+1; case 2F1(4,2)=F1(4,2)+1; case 3F1(4,3)=F1(4,3)+1; case 4F1(4,4)=F1(4,4)+1;endendendfor i=1:4 % 计算1步转移概率矩阵 P1for j=1:4 P1(i,j)=F1(i,j)/sum(F1(i,:);endendfor i=1:length(Z)-2 %计算2步转移频数矩阵 F2switch Z(i) case 1switch Z(i+2) case 1F2(1,1)=F2(1,1

49、)+1; case 2F2(1,2)=F2(1,2)+1; case 3F2(1,3)=F2(1,3)+1; case 4F2(1,4)=F2(1,4)+1;end case 2 switch Z(i+2) case 1F2(2,1)=F2(2,1)+1; case 2F2(2,2)=F2(2,2)+1;case 3 F2(2,3)=F2(2,3)+1;case 4F2(2,4)=F2(2,4)+1;end case 3 switch Z(i+2) case 1F2(3,1)=F2(3,1)+1; case 2F2(3,2)=F2(3,2)+1; case 3F2(3,3)=F2(3,3)+1

50、; case 4F2(3,4)=F2(3,4)+1;end case 4 switch Z(i+2) case 1F2(4,1)=F2(4,1)+1; case 2F2(4,2)=F2(4,2)+1; case 3F2(4,3)=F2(4,3)+1; case 4F2(4,4)=F2(4,4)+1;endendendfor i=1:4 % 计算2步转移概率矩阵 P2for j=1:4 P2(i,j)=F2(i,j)/sum(F2(i,:);endendfor i=1:length(Z)-3 %计算3步转移频数矩阵 F3switch Z(i)case 1 switch Z(i+3) case 1

51、F3(1,1)=F3(1,1)+1; case 2F3(1,2)=F3(1,2)+1; case 3F3(1,3)=F3(1,3)+1;case 4F3(1,4)=F3(1,4)+1;end case 2 switch Z(i+3) case 1F3(2,1)=F3(2,1)+1; case 2F3(2,2)=F3(2,2)+1; case 3F3(2,3)=F3(2,3)+1; case 4F3(2,4)=F3(2,4)+1;end case 3 switch Z(i+3) case 1F3(3,1)=F3(3,1)+1; case 2F3(3,2)=F3(3,2)+1; case 3F3(

52、3,3)=F3(3,3)+1; case 4F3(3,4)=F3(3,4)+1;end case 4 switch Z(i+3) case 1F3(4,1)=F3(4,1)+1; case 2F3(4,2)=F3(4,2)+1; case 3F3(4,3)=F3(4,3)+1; case 4F3(4,4)=F3(4,4)+1;endendendfor i=1:4 % 计算3步转移概率矩阵 P3for j=1:4 P3(i,j)=F3(i,j)/sum(F3(i,:);endendfor i=1:length(Z)-4 %计算4步频数转移矩阵 F4switch Z(i)case 1switch

53、Z(i+4)case 1 F4(1,1)=F4(1,1)+1;case 2 F4(1,2)=F4(1,2)+1;case 3 F4(1,3)=F4(1,3)+1;case 4F4(1,4)=F4(1,4)+1; end case 2 switch Z(i+4) case 1F4(2,1)=F4(2,1)+1; case 2F4(2,2)=F4(2,2)+1; case 3F4(2,3)=F4(2,3)+1; case 4F4(2,4)=F4(2,4)+1; end case 3 switch Z(i+4) case 1F4(3,1)=F4(3,1)+1; case 2F4(3,2)=F4(3,

54、2)+1; case 3 F4(3,3)=F4(3,3)+1;case 4 F4(3,4)=F4(3,4)+1;endcase 4 switch Z(i+4)case 1 F4(4,1)=F4(4,1)+1;case 2 F4(4,2)=F4(4,2)+1;case 3 F4(4,3)=F4(4,3)+1;case 4F4(4,4)=F4(4,4)+1;end end end for i=1:4 % 计算4步转移概率矩阵 P4 for j=1:4P4(i,j)=F4(i,j)/sum(F4(i,:); end end for i=1:length(Z)-4 switch Z(i) case 1 switch Z(i+4) case 1F4(1,1)=F4(1,1)+1; case 2F4(1,2)=F4(1,2)+1; case 3F4(1,3)=F4(1,3)+1; case 4F4(1,4)=F4(1,4)+1; end case 2 switch Z(