经典)高中数学最全数列总结及题型精选

1、高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第 2项，序号为 n 的项叫第 n项（也叫通项）记作 an ；数列的一般形式：a1，a2，a3， an ，简记作an 。2）通项公式的定义：如果数列an的第 n项与 n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1 ，2 ，3 ， 4，：说明：111， ，231145 a n 表示数列，an 表示数列中的第 n 项， a n =f n 表示数列的通项公式；9n 1

2、, n 2k 1an = ( 1) = (k Z ) ；1, n 2k1.41 ， 1.414 ，S1(n 1)Sn Sn 1(n 2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，不是每个数列都有通项公式。例如， 1， 1.4 ，（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f （ n ）当自变量 n从 1开始 依次取值时对应的一系列函数值 f（1）, f （2）, f（3）, ， f （ n ） ，通常用 an来代替 f n ，其图象是 一群孤 立点 。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之

3、间的大小关系 分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，（2）10, 9, 8, 7, 6, 5,（3） 1, 0, 1, 0, 1, 0,（4）a, a, a, a, a,5）数列 an的前n项和 Sn与通项 an的关系：二、等差数列（一） 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an an 1 d （n 2） 或 an 1 an d （n 1）例：等差数列

4、 an 2 n 1 ， an a n 1（二） 、等差数列的通项公式： an a1 （n 1）d ；说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0 为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。例：1. 已知等差数列a n 中， a 7 a 9 16 ， a 4 1，则a 12 等于（ ）A15 B 30 C 31 D 642. an 是首项 a1 1 ，公差 d 3 的等差数列，如果an 2005，则序号 n 等于（A）667（ B）668（ C）669（D）6703.等差数列 a n2n 1, b n 2n 1 ，则 a n 为bn为（填“递增数列”或“递减数列”）（

5、三） 、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 Aaba， A ，b 成等差数列例：1（ 06 全国 I ）设 aA120B（四） 、等差数列的性质：1）abA2 是公差为正数的等差数列，C即： 2a n 1an2 ana n m a n m10590a2 a 3 15 ，Da1a2a3 80 ，则 a1a12 1a375在等差数列中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；3）在等差数列中，对任意 m ，N ， anam ( n m) d ，a n am(m n) ；

6、 nm4）在等差数列中，若 m ， n ，p，q N 且 m n p q，则 am an ap aq ；（ 五 ） 、等差数列的前n 和的求和公式：Snn(a1 an )n( n 1) 1 na 1d222d n ( a 1 ) 2n。2( S n An 2 Bn（A, B为常数 ）a n 是等差数列递推公式： S(a1 an)n (am an (m 1) )n例： 1. 如果等差数列an 中， a3 a 4a5 12 ，那么 a1 a 2 . a 7A) 14B) 21C）28D)352. （2009 湖南卷文）设 Sn 是等差数列an 的前 n项和，已知 a2 3，a6 11，则 S7等于

7、（ ）A133549 633. （ 2009全国卷理） 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S9 72 ,则a2 a 4 a 94. 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为A.13 项 B.12 项 C.11 项390，则这个数列有（D.10 项5.已知等差数列 a n 的前 n 项和为S n ，若 S1221，则a 2 a 5 a 8 a 116.2009 全国卷理）设等差数列a n 的前 n项和为 SnS9，若 a5 5a 3 则5 3 S57.已知 a n 数列是等差数列，a 1010 ，其前10 项的和S10 70 ，则其公差d 等于

8、 ( )2 A31B3C.D.3a8. （ 2009陕西卷文）设等差数列 a的前 n项和为 sn,若a6s3 12 ,则an9（00 全国）设 an为等差数列，Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575， Tn为数列Sn的前 n 项和，求 Tn。（六） .对于一个等差数列：1）若项数为偶数，设共有2n 项，则 S 偶 S 奇 nd ；S奇S偶2）若项数为奇数，设共有2n 1项，则 S 奇 S 偶 aS偶n1S则 S6 3S1 2ABD1. 一个等差数列共 2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比 2. 一个等差数列前 20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差

9、d3. 一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 25 ，则它的首项与公差分别是 2 （七） .对与一个等差数列， Sn,S2n Sn ,S3n S2 n仍成等差数列。 例： 1.等差数列 an的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2n 项的和为 60，则前 3n 项的和为。3已知等差数列 a n 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为4.设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， S4 14， S10 S7 3

10、0，则 S9 =S5（ 06全国 II ）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 S3 S610（八） 判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法：an 1 an d （常数）（ n N ）an 是等差数列 中项法：2a n 1 a n an 2 （ n N ） a n 是等差数列 通项公式法：a n kn b（ k,b为常数 ）a n 是等差数列前 n 项和公式法：Sn n2An Bn（ A, B 为常数)a n 是等差数列例： 1.已知数列 a n 满足 a n a n 12，则数列 an 为 （ ）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列

11、a n 的通项为 a n2 n 5 ，则数列 a n 为 （ ）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2 n4 ，则数列 a n 为（）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn22n ，则数列 a n 为（ ）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列 an 满足 an 22an 1 an 0 ，则数列 an 为（）A.等差数列B. 等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列 an 满

12、足 a1=8，a42，且 an 2 2an 1 a n 0 （n N ）求数列 a n 的通项公式；7（ 01天津理， 2）设 Sn是数列 an的前 n项和，且 Sn=n2，则 an是（）A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列又非等差数列（九） .数列最值（1） a1 0 ， d 0 时， S n 有最大值； a1 0 ， d 0 时， Sn 有最小值；2（2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数 Sn an 2 bn 的最值；可用二次函数最值的求法（ n N ）；或者求出 a n 中的正、负分界

13、项，即：a n 0 a n 0 若已知 an ，则 S n 最值时 n 的值（ n N ）可如下确定 或 。a n 1 0 a n 1 0例： 1等差数列 an 中，a1 0，S9 S12 ，则前 项的和最大。2 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知a 3 12 ， S12 0， S13 0求出公差 d 的范围，指出 S1， S2， ，S12 中哪一个值最大，并说明理由。3（02上海）设 an（ n N*）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5S8，则下列结论错误的是 （）A.dS5D.S6与 S7均为 Sn的最大值4已知数列 an 的通项 n 98 （n N ），则数

14、列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是n 995.已知 an 是等差数列，其中 a1 31，公差 d 8。（1）数列 an 从哪一项开始小于 0？（2）求数列 an 前n 项和的最大值，并求出对应 n的值( 十). 利用 anS1(n 1) 求通项Sn Sn 1 (n 2)1.数列an的前 n项和Sn n 1 （ 1）试写出数列的前 5项；（2）数列 an 是等差数列吗？（ 3）你能写出数列an 的通项公式吗？2.设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；3. （2010 安徽文）设数列 a n 的前 n 项和 Sn2n ，则 a8 的值为（ ）( A)

15、15(B) 16(C) 49（D）644、 2005 北京卷）数列an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， a n 1 1 Sn ，n=1， 2，3， 3，求 a2， a3， a4 的值及数列an 的通项公式三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示 （q 0），即： an 1：an q（q 0）（一） 、递推关系与通项公式递推关系：a n 1 anq通项公式：n1a n a1 q推广：anamnmq1 在等比数列 an 中, a1 4,q 2 ，则 a

16、n2 在等比数列 an 中, a7 12, q2 , 则 a193. （07重庆文）在等比数列 an中，a28，a164，则公比 q 为（ ） （A） 2（B）3（C）4（D）84. 在等比数列 a n 中， a 22 ， a5 54 ，则 a 8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a1 3 ，前三项和为 21，则 a 3 a 4 a5 （ ）A 33 B 72 C 84 D 189（二） 、等比中项：若三个数 a , b , c成等比数列，则称 b为a与 c的等比中项，且为 b ac，注： b2 ac 是成等 比数列的必要而不充分条件 .例： 1. 23 和 2 3 的等比中

17、项为 （ ）（ A）1（B） 1 （C ） 1 （ D ）22. （ 2009重庆卷文）设 an 是公差不为 0的等差数列， a1 2且a1, a3 ,a 6成等比数列，则 an 的前 n项和Sn =()2n 7n2n 5n2 n3n 2ABCD nn443324(三) 、等比数列的基本性质，1. (1) 若 m n p q ，则am a na p a q ( 其中m,n, p,q N )2)nm q(n N )3) a n 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列例： 1在等比数列4) a n 既是等差数列又是等比数列 an 是各项不为零的常数列an 中,a1和a10是方程 2x 5x

18、 1 0的两个根 ,则a4 a7 (5(A)22(B)1(C)21(D)22. 在等比数列 an ，已知 a1 5 ，a9 a10 100 ，则 a18 =3.等比数列 an 的各项为正数，且a5a6 a4a7 18,则 log3 a1 log3a2log3a10 (A 12 B10 C 8 D 2+lo g 3 54. (2009 广东卷理)已知等比数列an满足 an0,n1, 2,，且 a 52na 2n 5 2 (n 3)，则当 n 1 时，lo g 2 a1 lo g 2 a3lo g 2 a2 n 1A.n(2n 1)2B. (n 1)C.2 nD.( n 1)(四)、等比数列的前

19、n 项和，na 1(q 1)Snna1 (1 qn) a1 a nq( q 1)1q1q例： 1.已知等比数列 an的首相 a1 5，公比 q 2，则其前 n项和 Sn2(2006年北京卷)设 f (n) 2 24 27 210 23n 10(n N) ，则 f(n)等于( )2 n 2 n 1 2 n 3 2 n 4A (8n 1)B (8 n 1 1) C (8n 3 1) D (8 n 4 1)7 7 7 73(1996全国文， 21)设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；( 五 ). 等比数列的前 n 项和的性质若数列 an 是等比数列， Sn 是

20、其前 n项的和，kN，那么 S k ，S2 k Sk ，S3k S2 k 成等比数列例：1. （2009 辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若S6S 3 =3 ，则S9S6A. 2 B.783 C. 3 D.32. 一个等比数列前n 项的和为 48 ，前 2 n 项的和为 60 ，则前 3n 项的和为（A 83 B 108 C 75 D 633. 已知数列 a n 是等比数列，且 Sm 10， S2m 30，则 S3m（六） 、等比数列的判定法1）定义法：an1 q （常数） ana n 为等比数列；（ 2）中项法： an 1 an an 2（an 0）a n 为等比数列；

21、（3）通项公式法： a n k q n （ k , q为常数） a n 为等比数列； （4）前 n项和法： Sn k（1 qn）（ k , q为常数） an 为等比数列。Sn k kq （ k, q为常数） a n 为等比数列。例： 1.已知数列 a n的通项为 an 2 n ，则数列 an为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2. 已知数列 a n2 满足 a n 1 a nan2 (an 0) ，则数列 an 为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3. 已知一个数列an 的前 n 项和 s n2 2n 1，则数列

22、an 为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1 已知等差数列 an 满足： a3 7,a5 a7 26 ， 求 a22.等比数列 a n的各项均为正数，且 2a1 3a2 1，a32 9a2a6，求数列 an的通项公式3.已知数列 an 满足 a12，a2 4且an 2 an an1 （ nN ），求数列 an 的通项公式；4. 已知数列 an满足a1 2，且an1 5n 1 2（an5n） （n N ），求数列 an 的通项公式；5. 数列已知数列 a n 满足 a11,

23、an 4 an 1 1(n 1). 则数列 an 的通项公式 =22)累加法1、累加法 适用于： an 1 an f ( n)a 2 a1 f (1)3n 211若 an 1 an f (n) (n 2) ，则a3 a 2 f (2)an 1 an f (n )n两边分别相加得 a n 1 a1f (n)k11例： 1.已知数列 an 满足 a1 1 21，a n 1 a n 2 ，4 n 1求数列 an 的通项公式。2. 已知数列 a n 满足 a n 1 a n 2 n 1a1 1 ，求数列 an 的通项公式。3. 已知数列 an 满足 an 1 an 2 3 1， a1 3，求数列 an

24、 的通项公式。3)累乘法适用于：an 1f (n )anaa 若 an 1 f (n)，则 a2ana1(1)，a3f (2)， ana2f ( n)an两边分别相乘得，a n 1 aa1f (k )a1k1例： 1. 已知数列 an 满足1 2(n1)5 n a n，a13 ，求数列 a n 的通项公式。2. 已知数列 a n 满足 a1a n 1nanan3.已知 a1 3 ，3n 1(n 1) ，求 an 。4)待定系数法适用于 an 1 qan f ( n)例： 1. 已知数列 an 中， a1 1, an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式。2. (2006，重庆,文,14 )在数列 an 中，若a1 1,an 1 2an 3( n 1) ，则该数列的通项 an 3.已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1(n N ). 求数列 an 的通项公式；( 5)递推公式中既有 Sn分析：把已知关系通过 anS1,n 1 转化为数列 an 或Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。Sn Sn 1 ,n 211. (2005北京卷)数列 an的前 n项和为 Sn，且a1=1， an 1Sn，n=1，