机器人的运动控制

1、2.4手臂的控制 241运动控制 对于机器人手臂的运动来说，人们通常关注末端的运动，而末端运动乃是由 各个关节的运动合成实现的。因而必须考虑手臂末端的位置、姿态与各个关节位 移之间的关系。此外，手臂运动，不仅仅涉及末端从某个位置向另外一个位置的 移动，有时也希望它能沿着特定的空间路径进行移动。为此，不仅要考虑手臂末 端的位置，而且还必须顾及它的速度和加速度。若再进一步从控制的观点来看， 机器人手臂是一个复朵的多变量非线性系统，各关节之间存在耦合，为了完成高 精度运动，必须对相互的影响进行补偿。 1.关节伺服和作业坐标伺服 现在来研究n个自山度的手臂,设关节位移以n维向量Q =enr 表示，也是

2、第i个关节的位移，刚性臂的关节位移和末端位置、姿态之间的关系 以下式给出： (1) reX”是某作业坐标系表示的m维末端向量，当它表示三维空间内的位置姿态 时，m=6o如式（1）所示，对刚性臂来说，山于各关节的位移完全决定了手臂 末端的位置姿态，故如欲控制手臂运动，只要控制各关节的运动即可。 设刚性臂的运动方程式如下所示： (2) r = M0 +力(m时，或者手臂处于奇异状态下，不存在雅可 比矩阵的逆矩阵，那么就无法直接应用式（24）或式（25）。在实际的计算中， 与其按式（24）或式（25）直接求解雅可比矩阵的逆矩阵，不如把式（24）或式 （25）看作是雅可比矩阵，写出系数矩阵的联立代数方

3、程，然后用消去法去求解 从il算量的角度来看后者会更有利些。 我们可以把式（24）或式（25）视为把末端运动分解成必要的关节运动，故称之为分解速度控制（RMRC： Resolved Motion Rate Control ）式（24）、式（25） 的u标是速度，与其说是这些式子本身在实施控制，倒不如将其视为以速度量纲 进行逆运动学计算更妥当。和式（3） 样，应该把它们的作用看成是把末端空 间的U标值变换为关节空间的U标值。如果在各个关节处具备独立跟踪U标速度 的速度伺服系统，那么只要把式（24）或式（25）所求得的Qd的各个元素作为乞个关节 另外，式（24）和式（25）中的各个关节伺服系统也适

4、用于本节1中所涉及的把关节位 伺服系统的目标值即可。因此这种情况可以说是利用关节伺服进行的速度控制。图5给出 了此时控制系统的构成。 移如f作为目标值的情况0设末端速度的目标值用时间函数/；,（/）给出，而且关节目标值的初 始值为则在时刻t的目标值为 如=丿（讥）讪） (26) (27) 用式（26）和式（27）计算qg 相当于式（3）的逆运动学计算的数值计 算，这个方法对用式（3）的无解析解的手臂尤其有效。不过，若反复用式（26）、 式（27）进行计算，存在着与U标位置之间的位置积累误差增大的问题。为了解 决这一问题，只要在式（26）中加上位置反馈即可，如下式所示： (28) 么=丿（9尸办

5、+K0（z；,-C 对含雅可比矩阵厶的式（25）也可以采用同样的办法，不过此时应该将对 应于S的姿态分量e的末端姿态误差改换成式（26）中的兀，或者用式（23）的 表示，如下式所示： Q产+ 盘门 （29） 在式（28）或式（29）中，是从末端误差的角度来求解么的，因此将么作 为各个关节速度伺服系统的U标值进行控制的方法，无法明确地区分是属于关节 伺服还是属于作业坐标伺服。 3. 加速度控制 前而就将目标值设定为位置或速度的场合的手臂伺服系统的构成做了介绍。但是在关节 伺服的情况下，即使给出正确的目标值、0#,实际的响应情况仍然被各个关节伺 服系统的性能所左右。通常的做法是在保证稳定的悄况下调

6、大增益，减小与U标 值的偏差，然而手臂的运动速度越快、加速度越大，则离心力、哥式力、惯性力 和关节轴间耦合的影响也就越大，误差也越严重。即使保证作业坐标伺服的式 (12)和式(13)具有U标值的渐进稳定性，也无法保证过渡特性的好坏，而且 随着手臂姿态的不同，响应特性还可能会发生变化。这些问题之所以产生，是因 为在迄今所考虑的控制策略中，并未涉及手臂动态特性的式(2)所致。因此， 在本小节中所叙述的方法是将U标值再追加加速度，即考虑手臂的动态特性，以 显式的形式给出过渡特性的要求。 首先，设目标值为、么、乙，即包括关节变量加速度，这时考虑采用如 下的控制方法： 厂=Ma + K、,a - ) +

7、 Kp Sd +hq,今)+r? + g(g)( 30) 这是关节伺服加速度控制，图6表示伺服系统的结构。在式(30)中，M(q)、h(q4)、 r、g(q)均和式(2)中的意义相同，式(30)相当于进行逆运动力学(ingrs dynamics) li算，以求出能实现山彳询=乙+Ky(么一g)+ Kp/q)所给出的 关节加速度的关节驱动力。为简便起见，先假设M(q)、hq,q)等的值可以正确计算。 把式(30)代入式(2)的左边整理后，得 (31) M (q)l e + K- r)( 35) 式中，K）八K。是适当的増益矩阵：r是当前的末端速度，它由传感器测得的关节速度4 用式（9）求得。从式

8、（34）可以求得实现给泄的末端加速度巾的关节加速度为 无厂心尸心-丿勿 (36) (37) 再由下式求出实现该关节加速度的关节驱动力: r = M 么 dj + h（q, 0） + Tg + g（q） 将式（35）式（37）归纳为一个式子，得到 r = M丿（?尸乙+心駡-户）+心（/;一0-/（4）0+力（7冷）+口+ （38） 这就是作业坐标伺服的加速度控制，它与式（30）给出的关节伺服加速度控 制是相对应的。我们假设正确地完成了式（37）的逆动力学计算，即M（q）、 、r、g（q）的汁算结果正确，把式（37）代入式（2）中后可得下式: (39) (40) 即实际响应与给立加速度歹“哥一致

9、。把式（39）代入式（36）中后得r = E歼 再把它彳弋 入式（35）中后可得 + K启 + % = 0 式中，耳=一尸。式（40）是与关节伺服的式（32）相互相对应的。式（35） Z 式（37）给出的作业坐标伺服，是为了在末端产生期望加速度而求解出各个关节的加速度, 因而称苴为分解加速度控制（resolved acceleration control）。它可以视为是由上述分解运动 控制向加速度的扩展。但必须注意的是，分解速度控制只是为了把末端目标速度向关节速度 变换，而分解加速度控制则要考虑当前值和目标值之间的误差，并将之视为伺服系统的一部 分。另外，在分解速度控制中，实际上无法保证分解的

10、各个关节目标速度正确地被实现，但 在分解加速度控制中，若正确掌握了手臂的动态特性模型，则如式（39）所示，指令加速度 将得到正确的实现。图7表示了分解加速度控制的总体结构。 图7分解加速度控制 在式（36）中，若用J代替丿（g），则13标值以打，几、他“给出，于 是可用下式代替式（35）和式（36）： 如=丿7【， +心-0 +岛罔同卩-厶（购（41） 这就是原来由Luh等提出的分解加速度控制的方案。另外，也可以将姿态分量的误差置 换为式（23泄义的以代替爲。 如前所述，若姿态误差用爲来表示，则在产生特大姿态误差时增益会等效下 降，瞬态特性恶化。用虽然可以改善瞬态特性，但误差是非线性的这一条井

11、无改变。 但是无论在什么情况下（用石）时除的特殊情况以外），理论上是保证姿态逐渐 收敛于目标姿态。另外，如有必要，也可以用四元数让姿态误差的响应特性成为线性关系。 4. 轨迹控制 本小节中，将首先讨论目标轨迹的给左方法，然后介绍手臂高精度跟踪目标轨迹的方法, 即动态控制的方法。 1）轨迹控制方式 如果想让机器人手臂束端沿目标轨迹运动，有两种给注轨迹的方式：一种是所谓示教机 器人中采用的示教再现方式；另一种是把目标轨迹用数值形式给出的数值控制方式。 所谓示教再现方式是在执行作业前，让手臂束端沿着实际目标值进行移动，同时将相应 的数据和作业速度等其他信息一起存入机器人中，在执行时将所示教的动作再现

12、，于是手臂 末端就沿目标轨迹运动。示教时手臂运动的方式也分为两种：一种是直接示教方式（操作考 宜接用手握住机器人手臂末端使其做动作九另一种是远距离示教方式（用示教盒的按钮或开关发出运动指令）。 在示教再现方式中，记忆再现轨迹的方式通常有点位控制PTP control: Point-To-Point control）和连续路径控制（CP control： Continuous Path control）两种（图 8）。 （1）PTP控制例如，点焊等作业，人们关注在示教点上对末端的位置和姿态立位的 问题。至于向该点运动的路径和速度等则不是主要的问题。这种不考虑路径，而是一个接一 个地在示教点处反复

13、进行左位的控制就是PTP控制。 （2）CP控制例如，弧焊、喷漆等作业，必须控制机器人以示教的速度沿着示教的路 径进行运动。这样的控制称为CP控制。按示教的方法不同CP控制又分为两种：其一是示 教时让机器人沿着实际的路径运动，并毎隔一个微小的间距就大量记忆该路径上的位置，再 现时把所记忆的点一个接一个地作为伺服系统的目标值给出，以达到路径跟踪的目的；另一 个是和PTP控制一样，示教时只记忆路径上的主要点，再现时则在这些主要点之间用直线或 圆弧来插补，il算出每个微小间距的路径上的点，再把它们输出给伺服系统（图9）。后者 和前者相比，需要记忆的点数较少，路径修正也比较容易，因而系统具有灵活性，但必

14、须对 其进行插补修正。 图9带插补的CP控制 所谓数值控制方式，它和数控机床一样，是把目标轨迹以数值、数据的形式给出。所谓 数据，是把作业对象的CAD数据、在实施控制中所得到的来自传感器的测量数据等各种数 据经过变换后给出的。可见，数值控制方式比单纯的再现示教轨迹的示教再现方式更具有一 般性、通用性、灵活性。然而，把目标值以数值的形式给出可能会导致汁算时间过长，出现 机器人装配误差、毎台设备本身的分散差带来新的问题等麻烦。 2) 目标轨迹生成 在PTP控制和CP控制中，轨迹是由示教直接给出的，而在数值控制方式中，目标轨迹, 即输岀给伺服系统的目标值的时间函数必须以数值的形式给出。随着机器人手臂

15、面临的作业 不同，作业空间内的末端轨迹不一定非要从起点至终点在整个区间内都要预先给定，有时仅 给立超点和终点，有时仅给宦起点、终点及路径所经过的若干中间点即可。在这种情况下, 必须人为设泄未给定区间内适当的轨迹。下而我们就来研究当手臂末端由某个位置(包括 姿态，下同)厂0历经某一时间0移向51 个位置时，如何确定厂0和之间轨迹 的问题。实际上，这个问题也适用于CP控制中的插补。 在求U标轨迹时应该注意的是，为了生成实际可行的光滑轨迹，至少应保证 位置和速度的连续性条件。另外，为了不使末端产生不必要的振动，还希望能够 保证加速度的连续性条件。关于U标轨迹生成的方法，目前已有许多种方案，本 节只介

16、绍利用时间多项式给定轨迹的方法。这个方法进一步可分为用关节变量描 述轨迹和用末端位置变量描述轨迹两种，它们分别对应于关节伺服和作业坐标伺 服。 首先就关节变量的方法加以讨论。设对应于。和Ff的关节变量绻和乞已经 给出。若只给出r厂则可以求解逆运动学方程，预先求出弘、S。任意选 一个关节变量4记作歹，令初始时刻0的值为0,终点时刻0的值为勺，BIJ (42) 再将另外两个时刻的的速度和加速度作为边界条件以下式表示: (0)= o * J)=Ef (43) (44) g(0)=go (/) = $ 虽然满足这些条件的光滑的函数很多，但考虑到简化讣算和形式简单，本节 选择时间t的多项式。能满足任意给

17、出的式(42)-武(44)的边界条件的多项 式，其最低次数是应该为5,所以设 (f) = 00 + 孑 2 + af + 才 (45) 经过计算，满足式42)-戎(44)的待定系统5你结果如下: 匕0 = 0 (46) 1 = 41 (47) 1 =T $0 (48) =乔20 - 20$。-(8/ _ 必） ff 图W起点时刻和终点时刻的边界条件 若把这个4次多项式和直线插补结合起来应用，就可以比较容易地给出各 种轨迹。例如，下面讨论一个惜况，即从起点仏的静止状态开始，经加速、等速、 减速，最后到点L停止。如图11所示，先适当选择决定加减时间的参数,然 后确定中间的辅助点02、坊。在这里是这

18、样确定的，首先把L、取为 品产饥.务2=g然后让02和勺I处于鼻和勺2相连的直线上。接着用折线 歹0,2 把0、02之间和八、d之间的各个端点连接起来，并用4 次多项式的关系使其加速度为0。再将02、I之间以直线相连接。于是0 r2A 为加速区间：2Ar/-2A为等速区间；tj -2Sttf为减速区间。 再讨论用多项式连接和勺的情况。若只考虑位置、速度的边界条件（式 （42）、式（43）,而不考虎表示加速度连续性的式（44）,那么U标轨迹可以不 用式（45）给出，而用t的3次多项式给出，特别当0、勺、U） 用式（67）、式76）和式（77）,即可得到下式； +4诃-2円 +.+勺.=%0 =

19、1,2,.,/）（78） 在此，适当地选择3*、2.,就可在解耦后的各个单输入、单输出系统中给出任意的极点配 1?口增益。 下而我们将上述理论应用于机械手。将手臂运动方程式（53）表示为 (79) M（q）ij + h（q,q）= T 式中，Mq，a）为式（55）所给岀的函数。另外，如果将任意的n维作业向量r作为输出, 它满足下列关系： (80) y = r = R（q） y = r = Jq)q t81) 再有，若把驱动力r看成是输入，在这种情况下，取作为状态向量，则式（79） 变成如下形式： q 0 A- -沪 h(q,q) - 1 M（q） x = r (82) 对于式（80、式（82，

20、=兄（：=1,2,）,则有 (83) 匚J（qWT 我们把mnkJ It的手臂姿态（用q表示的整个手臂的位置、姿态）称为奇异姿态（奇异点）, 对于除奇异姿态以外的手臂任意姿态式（83）中的Z/为正则矩阵，并且能够实现解耦。 根据式（67、式（76）和式（77）,若设4（q）为丿（q）的第i行向量，则可以求得如下式 所示的状态反馈律： r = /j（sg）+ M（q”T（q）c0/_4（g）g-yj-qo）+&%|（84） 根据式（84）可以求得如下式所示的具有线性二阶系统特性的解耦系统: Vr +旳 +匕0必=诵 0 = 12 (85) 式中，Qan人为可山设计者确定的常数。此外，上面表示解耦

21、控制反馈律 的式（84）,在补偿表示离心力、哥氏力、重力等的h（q4）这一点上，与动态控制 (86) 的作用是相同的，进而可以认为在图13中具有如下式所示的伺服控制器： =/一4 一30牙 +&% 此外，在不能忽视驱动器动态特性的情况下，也能够应用解耦控制理论。例如，在考 虑宜流伺服电机自感的情况下，可得到具有三阶系统特性的解耦系统，而非如式（85）所示 的二阶系统。 6.冗余手臂的控制 人类的手臂具有7个自由度，如果仅仅是用手抓住物体并使其固怎，那么6个自由度 就足够了，因而有1个冗余自由度。但正是由于有了这种冗余性（redundancy）,才增加了 手骨的柔顺性和通用性。机器人手劈也同样，

22、当它的自由度大于作业所需要的自由度时，手 臂具有冗余性。例如，如图14所示，若用平面运动的3个自由度手臂，使其末瑞位置与某 目标值重合时，作为手臂整体可以取无限多的状态。这是因为存在1个冗余自由度所致。积 极地利用这一点，可以实现许多功能，例如一面使手臂末端跟踪目标位置，一面使其又不与 障碍物相碰：使末端能伸到狭小的孔穴深处：使个关节的驱动速度与加速度尽量一致：使 手臂保持便于操作末端执行器的姿态等。 图14在平面上运动的3个自由度的机器人 人们针对冗余机器人手臂的控制规律提出了许多方案，举例来说它们有基于以速度级、 加速度级、转矩级的公式化方法，另外还有局部优化方法（分别对每个瞬时求出该时刻

23、的最 优解）和全局优化的方法（涉及整个控制空间优化）。以下我们来说明基于速度级的瞬态优 化法。该方法首先用雅可比矩阵描述手臂的关节速度与末瑞速度之间的关系，再用雅可比矩 阵的伪逆矩阵（pseudo inverse matrix）以线性联立代数方程组的任意解的形式来表现手臂的 冗余性。然后，根据冗余性的应用目的来决是该任意参数向量。 假设用r = R（q）来描述所给出的冗余手臂的n维关节变量q与加（）维末端变量r 之间的关系。若将它进行时间微分，则得到 r = Jq)q (87) 式中，丿（0）为雅可比矩阵。在给出末端速度尸后.我们来求满足式（87）的关节速度4的 通解。首先做一些准备工作。为了

24、使求出的解不受广义坐标q及r的取法或表示r及0的单 位的形式的影响.选择r Mr 隔=矽胚/严，作为评价r及4大 小的范数。式中，M,及Mg为任意选择的正左对称矩阵。 当末端能够在三维空间中采取任意姿态时，为了表示姿态，一般采用欧拉角等三个角 度的变量组。但是，这种情况下，手臂机构尽管能够绕任意轴旋转，但式（87）中的雅可比 矩阵不是全秩矩阵，可能会存在无法描述旋转姿态的情况。人们将这种情况称为描述上的 奇异点。避免岀现该问题的一个方法是，改用向itv表示末端速度，该向量用角速度向量代 替r中的旋转速度分量，这时，式（87）可以改写成 (88) v = 7,（v）7 作为范数则改成|i|怖V与

25、r的关系除了表示上的奇异点以外，由于利用适 当的正则矩阵7；表示为v = TJ.因此系数矩阵My与M,的关系利用就 能给出。 M,及Mg为正定对称矩阵，因此存在满足Mr =7/7；及Mq=T：Tq的正则矩阵7；及 Tq。利用这些关系式和下式将r及g进行归一化（无量纲）处理: (89) (90) r = 7；r, q = Tq 则式(87)变成 AA AI J = TT； ?和6满足卩| =（产剖2=|卩 的通解可由下式给出： AA AAAA 矜/+r+（A_O（f）（91） 及4 =k 側。因而,利用丿的伪逆矩阵尸，式（90） 式中，人为n阶单元矩阵：斤（0为任意的n维向量，表示手臂的冗余性。另外，将式（91） 改用原来的0及r,可表示为 (92) 0=厂(/厂厂丿)R(f) 式中， y-=77*7-7； =T；TJT；)X(93) k（f）=T；k。在J为全秩（mukJ =m）时，式（93）中的厂可简化为 :厂 C/M；y）T （94） 式（91）或式（92）是利用冗余性的基本式。要注意的是，它们是在冗余自由度条件下分解 速度控制方式的一般形式。 现举例说明这些基本式子的应用。在图14中，假设时刻20,手臂处于实线位置处