重庆市南开中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷

1、重庆南开中学高2018 级高三 ( 上) 中期考试理科数学试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第卷（非选择题），满分 150 分，考试时间120 分钟第 I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60分，每小题只有一个选项符合要求）1. 若复数 z i2i 23i 3 （其中 i 为虚数单位），则 z（）A 4B2 2C 2D22.已知集合 Ax x23x 40， B x | 11，那么 A B（）xA. 4,1B.1,4C.(1,)D. 4,0)3.若递增的等比数列an满足 a4 a6 2a3a5a2a4 144 ，则 a5a3（）A.6B.8C.10D

2、.124. 若 a, b,c R ，则下列说法正确的是（）A.若 ab 则 a2b2B.若 ab 则 1 1abC.若 ab 则 a c b cD.若 ab 则 ac2bc25. 已知向量 a(2, x),b(1,1) ，且 a /( ab) ，则 a b（）A.4B.2C.1D. 66.已知函数 f ( x) sin(x)(0, |) 的部分图象如图所示，将f ( x) 的图象向左2平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为（）4A. ycos(2x)B. ycos(2x)36C. ysin(2x7D. ysin(2x)12127.我国古代数学专著九章算术中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐

3、，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88. 设 x0, y 0 且 x y4 ，则x2y2）x 1的最小值是（y 2167239A.B.C.D.731049.如图是 2017 年上半年某五省GDP 情况图，则下列叙述正确的是（）与去年同期相比，2017 年上半年五个省的GDP 总量均实现了增长； 2017 年上半年山东的 GDP 总量和增速均居第二；2016 年同期浙江的 GDP 总量高于河南；2016 和 2017 年上半年辽宁的 GDP 总量均位列第五 .

4、A.B.C.D.10.正项数列an前 n项和为 Sn ，且 an , Sn , an2（ n N *）成等差数列，Tn 为数列 bn 的前 n 项和，且 bn12，对任意 nN *总有 TnK (KN * ) ，则 K 的最小值为（）anA.1B.2C.3D.411. 若函数 f ( x)a ln xx2( x0)f ( 1) ，则实数x12( x的最大值为a 的取值范围是a0)x（）A. 0,2e2 B. (1,2e2 C.0,2e3 D.(e,2e3 12.已知单位向量a, b,c, d 满足： ab,| c d |3, 向量 p 2 2(cos2a sin 2b)（R ），则 (cp)

5、(dp) 的最小值为（）3B.1C.2211A.D.22第卷 ( 非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4 个小题，每小题 5 分，共20 分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量 a, b的夹角为45 ，且 a1, 2a b10 ，则 b14. 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 周 期 为2 的 奇 函 数 ， 当 x(0,1时 ，f ( x)l g (x 1) ，则 f (2018) lg 1452 sin 2 Ccos C15.已知ABC 三内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，且2 ,22若 a, b, c 成等比数列，则s

6、in A =16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1 和 9 构成数列 an ，满足： a11 ，在第 k 个 1 和第 k 1 个 1 之间有 2k1 个 9 (kN * ) ，即 1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9 ， ，设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sm2050 (mN ) ，则 m三、解答题：（本大题共6 个小题，共70 分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12 分）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn , nN * ，公差 d0 ， S315，且 a1, a4, a13 成等比数列 .（）

7、求数列 an 的通项公式；（）设 bna n4n 1 ，求数列 bn 的前 n 项和 .218.（本小题满分12 分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是1 和 2 ，乙队两名队23员通过第二阶段比赛的概率都是1 ，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛2（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.（）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（）设 X 表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求 X 的分布

8、列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量 m(sin x, 3),nx，设f (x)2(m n) n4(cos , 1)（）若 f ( x)3，求 x 的所有取值；2（）已知锐角ABC 三内角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，若 b2a(ac) ，求 f ( A) 的取值范围 .20（.本小题满分12 分）设椭圆 C : x2y21(a b 0) ，以短轴为直径的圆O面积为 2，a2b2椭圆上的点到左焦点的最小距离是22，O为坐标原点 .yE（）求椭圆 C 和圆 O 的方程；（）如图， A, B 为椭圆的左右顶点，M ,N 分别为圆 O和椭圆 CMNDBA上的点，且 MN

9、 / x 轴，若直线AN , BN 分别交 y 轴于 D, E 两点Ox（ M , N 分别位于 y 轴的左、右两侧） .求证： MEMD ，并求当 |OD | S14DEN时直线 AN 的方程 .321.（本小题满分12 分）已知函数f ( x)2a ln x x1.x（）若 a 2，求 f ( x) 在 (1,0)处的切线方程；（）若 f ( x) 对任意 x( 0,1 均有 f ( x)0 恒成立，求实数a 的取值范围；nk11（）求证：ln 21( nN ) .k1kn2请从下面所给的22、23 两题中选定一题作答， 并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进

10、行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22.（本小题满分10 分）选修 4-4坐标系与参数方程xOy 中，直线 1: 34 0xcos在平面直角坐标系y，曲线 C2 :( 为参数)，Cxy1 sin以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 .（）求曲线 C1 ,C2的极坐标方程；（）若曲线 C3 的极坐标方程为(0,0) ，且曲线 C3分别交 C1,C2 于 A, B2两点，求 OB 的最大值 .OA23.（本小题满分10 分）选修 4-5不等式选讲已知函数 f ( x)| 2 x1 | 2 x3 | .（）求不等式f ( x)6的解集；（）若不等式f ( x)

11、log 2 (a 23a)2 解集非空，求实数a 的取值范围 .重庆南开中学高2018 级高三半期考试数学试题（理科）参考答案1-12 ： BDDCAACABBCA13.3214.115.1516.242217. 解：（ 1）由已知得3a13d15a13an2n12a1a13d2a4（2） bna n4n 1 2 2n 1 4n 1 2n 14n2 ，2Tn4(12n )n(64n2)2n 242n24n12218. 解：(1) 用 ,分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，,的可能取值都是0,1,2 ，则 P(0)111,P(1)12111,P(2)1 2 123623232233P(0)

12、 (1)21, P(1) C21(1)21, P(2) C22( 1)21242224设第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件A ，则P( A)P(0,0)P(1,1)P(2,2)11111136422348(2) 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2，由(1)知 P(X0)3P( A)111118P( X2)P(0,2)P(2,0)6443, 则8P( X1)1P( X0)P(X12), 所以 X 的分布列是：2X012P311828E(X)0311213828419.解： f ( x)2(mn)n2(sin x cos x,1 )(cos x,1)2(sin x cos xco

13、s2 x1 )44sin 2xcos2x32 sin(2x)32234k（1）由 f ( x)得， sin(2x) 02xk ,x(kZ ) 为所求的 x28244取值。（2）由余弦定理 b 2a2c 22a cos B 和 b2a(ac) 可得， ac2a cos B ，又由正弦定理得： sin Asin C2sin Acos B ，又 ABC，得 sin Asin( AB)2 sin A cos B sin B cos Asin A cos Bsin( BA)ABA 或 ABA（舍）故 B 2 A,C3A，由于锐角ABC 故有6A472 A43，所以 f ( A)2 sin（2A)3( 5

14、 ,32)124422220.设椭圆 C : x2y 21( ab0) ，以短轴为直径的圆O面积为 2，椭圆上的点到左a2b2焦点的最小距离是22， O 为坐标原点 .（ 1）求椭圆 C 和圆 O 的方程；（ 2）如图， A, B 为椭圆的左右顶点， M , N 分别为圆 O 和椭圆 C 上的点，且 MN / x 轴，若直线 AN , BN 分别交 y 轴于 D, E 两点（ M , N 分别位于y 轴的两侧） .求证： MEMD ，并求当|OD | S DEN14时直线 AN 的方程 .3解：（ 1）由题意知 b22,ac 22, a2b2c2 a24,b22 ，故所求椭圆方程为x2y21，

15、圆 O : x2y22y E42（ 2）设 N (x0 , y0 ) ，直线 AN : yk ( x 2)（易知斜率存在且MNADB不 为 0 ） 将 直 线 AN : yk ( x 2) 与 x2y21联立得：Ox42( 2k21)x28k 2 x8k 202x08k 2424k2y04k24k 2,4k) 所以直线BN 的12k2x02k22k2，即 N(2k22k21111斜率为y021，从而 BN 的方程为 y1 ( x2)x02k2k所以 D (0,2k ), E(0, 1 ) ，设 M ( x1 , y0 ) ，则 x12y022k所以 MD ME (x1, y02k ) (x1

16、, y01 ) x1 2y0 222k 21 y0 0kk故 MEMD| 2k | 12 (1 2k2)214此时 |OD|SDEN| DE | x0 |，当 |OD|SDEN时，可得3212k21 2k 23 或者4，故 k1 或者 k6，所以直线AN 的方程为yx2或者36yx2 或者 y6 ( x2)621.已知函数 f ( x)2a ln xx1.x（1）若 a2，求 f ( x) 在(1,0)处的切线方程；（2）若 f ( x ) 对任意 x( 0,1 均有 f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围；（3）求证：nln 2k111.nk 1k2解： f(x)2a11x22ax1xx2x

17、2（1）当 a2时 kf (1)2 且 f (1)0 ，所以 f (x ) 在 (1,0) 处的切线方程为y2x2（2）由 f (x)2a11x22ax1 ( x0) ，考查 g( x)x22ax1，xx2x2g(1)2a2,4a 24 ，故当 a1 时， g( x)0在 x(0,1恒成立，所以f( x)0，即 f (x ) 在 x(0,1单调递减，f ( x)f (1)0 ，故符合题意；当 a1 时， g(0)0, g(1)0x0(0,1 使 得 g( x0 )0， 即 当 x( x0 ,1时g( x)0f ( x)0f ( x)f (1)0不符合题意。故所求实数 a 的取值范围是 a 1（

18、 3） 由 （ 2 ） 知 当 a1 时 ，2 ln xx10, x(0,1， 则 易 知 x1,)时x2 ln x x10, 即 ln x1 ( x1 ) ln 2x1 ( x1 )2，x2x4x即 ln 2 x1 ( x12)，令 xk1 可得： ln 2k 11 ( k1k2)114xkk4 kk 1k k 1从而取 k1,2,n 并相加可得：nln 2 k11111111111，故原不等式得证。k 1k22 3n n 1n 1n 222. 解： （1 ）xcos, ysin， 所以 C1的极坐标方程为3 cossin40曲线 C2:xcos(为参数 ) 的直角坐标方程为：x2( y 1) 21，所以 C2 的极坐标y1sin方程为