求数列通项公式的常见类型

1、求数列通项公式的常见类型数列的通项公式是数列的核心, 求通项公式就是求离散函数的解析式. 是数列学习中常见而又重要的题型，解题中应渗透函数（与方程）、转化（与归纳） 、分类讨论等数学思想，把数列的有关问题化归为等差等比这一类特殊数列的问题.一、公式型（待定系数法）通项公式例 1、设 an是等差数列， bn( 1 )a n ，已知 b1b2b321 ,b1 b2b31，求等差数列的通项 an .28( 1) a18解：设an 的公差为 d ，则 ana1(n 1)d ，由题设有 bn( n 1) d ，( 1) a1( 1 )a1 2d( 1) 2( a1 d )2故 b1b3b22 ，2121

2、2121, b1b2b31又因 b1b2 b3，得 b23解得 b2代入 b1b2b3解之得88288b1 2,b31 或 b11 , b32 .88a11, d 2或 a13, d2 .当 a11, d2 时，通项 an2n3 ;当 a13, d2 时，通项 an2n5 .说明：待定系数法求通项，分类讨论，这里没有舍解的理由.二、定义型（利用Sn , aan , n 间的关系求通项）例 2、数列an的前n 项和为 Sn .（ 1） Sn2 n3;（ 2） Sn2an4n1.分别求 an .解：（ 1）S04, an 应为分段函数 .当 n2时， anSn Sn 1(2n3)( 2n 13)2

3、n1而 a15 ，故 an5n1.2n 1n2（ 2） Sn2an4n1, Sn 12an 14(n 1) 1( n2) 两式对应相减得 an2an2an 14 .即 an2an 1 4 ，从而 an 4 2(an 1 4)( n 2) .又a1S12a13a13a14 7 .故数列 an4 是首项为7，公比为2 的等比数列，故 an47 2n 1 ，即 an7 2n 14 .说明：本题中利用Sn 的定义知 anSnSn1 (n 2) 解题；（ 2）中出现递推数列，转化为an4为等比数列， 也可以用关系式 an2an14, an 12an24 对应相减， 转化为 anan1 为公比是 2的等比

4、数列，再利用错项相加求an .三、递推型A）累加、累乘型 : 其递推关系的特征为 an1anf (n) 或 an 1anf (n) .例3、（ 1）已知数列an 满足 a12, an1annab ，试用 a,b 表示 an .（ 2）已知数列an满足 a11 , an2n3 an 1 (n2)的通项 an .32n1解：（ 1）由递推式得anan1(n1)ab,an 1an 2( n 2) a b,a2a1ab共 (n1) 个式子相加得 ana1(12n - 1) a(n1)b ，ann(n1) a( n1)b2 .2（ 2）当 nana2a3an，an1；当 n12时，a1a2an 111时

5、， a1满足a14n 23an1故an14n214n21B ）、配项型：对于an 1pa nq (p 、 q为非零常数)只需在式子两边同加q，即可得p1anq为公比是 p 的等比数列 .p1例 4、数列 an： a1 =1,当 n2 时，有 an3an 1 +2，求an .解：由 an3an 1 +2 ，两边同加1，得 an13( an11) （ n 2 ）故 an1是以 a112 为首项，公比为3 的等比数列，故 an2 3n 11 .说明 :本题亦可由 an13an2 ， an3an1 +2 （ n2 ）两式相减得： an1an3(anan 1 )得an1an为等比数列求解C). 构造函数

6、型：对an 1pa nf n型的递推关系，只需构造数列bn，消去 fn 带来的差异例 5设数列an ： a14, an3an 12n1, (n2) ，求 an .解：设 bnanAnB，则 anbnAnB ，将 an , an 1 代入递推式，得bnAnB3 bn 1A(n1)B2n13bn 1(3 A2)n(3B3A1)A3A 2A1B3B3A1B1取 bnann1（）则 bn3bn 1 ,又 b16 ，故 bn63n 1 2 3n 代入（）得an23nn1说 明 ：（ 1 ） 若 f (n)为 n的 二 次 式 ， 则 可 设 bnanAn 2BnC ;（2）本题也可由an 3an12n1 , an 13an22(n 1)1 （ n3 ）两式相减得 anan1 3(an 1 an 2 ) 2转化为 bnpbn1q 求之 .四、多数列型例 6、数列 an中， a11, Sn 14an2 ，求 an .解：由 Sn 14an 2, Sn4an12(n2)两式相减得an 14an4an 1 ,an12an2(an2an 1 ),( n2) ，令 bnan 12an , 得 bn2bn 1 (n2)又 S2a1a24a12, a23a1 2 5故 b1a2 2a13,bn3 2n 1