《导数和应用》单元测试题(理科)

1、导数及其应用单元测试题（理科）（满分 150 分时间： 120 分钟 ）一、选择题（本大题共8 小题，共40 分，只有一个答案正确）1函数 f ( x)2x 2的导数是（）(A)f ( x)4x(B)f ( x) 42 x(C)f(x) 82 x(D)f( x)16 x2函数 f ( x)x e x 的一个单调递增区间是（）(A)1,0(B)2,8(C)1,2(D)0,23 已 知 对 任 意 实 数 x ， 有 f ( x)f ( x)， g( x)g( x)， 且 x0 时 ，f (x) 0， g ( x)0 ，则 x0 时（）A f ( x) 0， g ( x)0B f ( x) 0，

2、g (x) 0C f ( x) 0， g ( x)0D f ( x) 0， g ( x) 02111)dx4(23（）1xxx(A)ln 27(B)ln 27(C)ln 25(D)1884ln 285曲线 y1 x在点 (4， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（e2） 9 e2 4e2 2e2 e226设 f( x) 是函数 f (x) 的导函数，将 yf (x) 和 yf ( x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）7 已知二次函数f ( x)ax 2bxc 的导数为f (x) ， f (0)0 ，对于任意实数x 都有.f ( x)0，则f (1) 的最小值为（）f

3、 (0)A 3B 5C 2D 3228设 p : f ( x)ex ln x2x2mx1在 (0，) 内单调递增，q : m 5 ，则 p 是 q 的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件二填空题（本大题共6 小题，共30 分）9用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1，则该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大 .10将抛物线yx2和直线 y1围成的图形绕 y 轴旋转一周得到的几何体2的体积等于11已知函数f (x)x312x8 在区间 3,3上的最大值与最小值分别为M , m ，则M m xn (112对正整数 n，设曲线

4、 yx) 在 x 2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列an的前 n项和的公式是n 113点 P 在曲线 yx 3x2上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为，则 的取值3范围是14已知函数y1 x3x 2ax5(1) 若函数在,总是单调函数，则a 的取值范3围 是.(2)若函数在1,) 上 总 是 单 调 函 数 ， 则 a 的 取 值 范围.（ 3）若函数 在区间（ -3 ，1）上单调递减， 则实数 a 的取值范围是.三解答题（本大题共6 小题，共12+12+14+14+14+14=80 分）15设函数f( ) exe x（1）证明： f ( x) 的导数 f (x) 2 ；x（

5、 2）若对所有x 0 都有f ( x) ax ，求 a 的取值范围.16设函数 f ( x)x33x2 分别在 x1、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、 B 的Puuur uuur, 点QP坐标分别为（ x1, f ( x1 )） （ x2, f ( x2 )）满足PA?PB4是点关于直、，该平面上动点线 y 2( x 4) 的对称点， . 求(1) 求点 A、B 的坐标；(2) 求动点 Q 的轨迹方程 .17已知函数f ( x)ax 4 ln xbx 4c (x0) 在 x = 1 处取得极值 -3-c ，其中 a,b,c为常数。（ 1）试确定 a,b 的值；（ 2）讨论

6、函数 f(x) 的单调区间；（ 3）若对任意x0，不等式f ( x)2c2 恒成立，求 c 的取值范围。.18已知 f ( x)ax 3( a 1) x24x 1 a R3（ 1）当（ 2）当a 1时，求函数的单调区间。a R时，讨论函数的单调增区间。（ 3）是否存在 负实数 a ，使 x1,0 ，函数有最小值3？19已知函数f ( x)x33x.（ 1）求曲线yf ( x) 在点 x2 处的切线方程；（ 2）若过点A(1,m) (m2) 可作曲线 yf (x) 的三条切线，求实数m 的取值范围 .20已知函数fxxa2xx ln x ，其中 a 0 x， g1x1xf xg x是函数h的极值

7、点，求实数a 的值；（ ）若（ 2）若对任意的 x1, x21，e （ e为自然对数的底数）都有f x1 g x2 成立，求实数 a 的取值范围理科测试解答一、选择题.1 f (x)2x 24 2 x 2 ,f ( x) 24 2 xf ( x) 82 x;或 f ( x)22 x2 x4x 282 x （理科要求：复合函数求导）2 f ( x)xx1 exx ex1 x ex0, x 1选 (A)xeex .f( x)ex2，ex2或 f ( x) 1e xx e x1(1x)e x0. e x0,x1.3.(B) 数形结合4（ D）5（ D）6（ D）7（ C）8（ B）二、填空题9 2c

8、m,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x（ m），则长为2x(m) ，高为h1812x4.5x x 3.43 (m)02故长方体的体积为V(x)2x2(4.5x)9x 26x33) x33(m(0).2从而V() 18x18x2(4.53) 18x(1).xxx令 V（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1.当 0x 1 时， V（ x） 0；当 1 x 2 时， V（ x） 0， 3故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（ x）的最大值。从而最大体积V V（ x） 9 12 -6 13（ m3），此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m. S11y2

9、1. （图略）10x 2dy2ydy00011 3212 y /x 22n1 n 2 , 切线方程为 : y2n2n1 n2 ( x 2) ，令 x=0，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为y0 nnan2n，则数列an的前 n 项和1 2，所以1n 1nSn2 12n212n 1213.0,3,24.14. (1)a1; (2)a3; ( 3) a3.三、解答题15解：（1） f ( x) 的导数 f(x)exex x-xxx2，故 由于ee 2 e egf (x)2（当且仅当x0 时，等号成立） （ 2）令 g( x)f ( x)ax ，则g ( x) f (x) a exe xa ，（）若

10、a 2，当 x0 时， g ( x) exe xa2 a 0 ，故 g( x) 在 (0， ) 上为增函数，所以， x 0时， g( x) g(0)，即 f (x) ax （）若 a2 ，方程 g (x)0的正根为 x1ln aa24，2此时，若 x(0， x1 ) ，则 g ( x)0 ，故 g (x) 在该区间为减函数所以， x (0， x1) 时， g ( x)g (0) 0，即 f (x)ax ，与题设 f (x) ax 相矛盾综上，满足条件的a 的取值范围是，2 16解：（1）由题意知f (1)3c ，因此 bc3c ，从而 b3 又对 f (x) 求导得f (x)4ax3 ln x

11、ax4 g14bx3xx3 (4 a ln xa4b)由题意 f (1)0 ，因此 a 4b0，解得 a12 （ 2）由（ I ）知 f(x)48x3 ln x （ x 0 ），令 f(x)0 ，解得 x1 当0x1 时， f(x)0 ，此时 f ( x) 为减函数；当x1时， f (x)0 ，此时 f ( x) 为增函数.因此 f (x) 的单调递减区间为(0，1) ，而 f (x) 的单调递增区间为(1， ) （ 3）由（ II ）知， f ( x) 在 x1 处取得极小值 f (1)3 c ，此极小值也是最小值，要使f ( x) 2c2 （ x0 ）恒成立，只需3 c 2c2 即 2c2

12、c3 0 ，从而 (2 c3)(c1) 0，解得 c 3或 c 12所以 c 的取值范围为 (，1U 3 ，217解 : (1)令f()(x33x2)3x23 0解得x1或x1x当 x1时 , f ( x)0 ,当1 x 1时 , f ( x)0 ,当 x1时 , f ( x)0所 以 , 函 数 在 x1处取得极小值,在 x1取得极大值,故x11, x21, f (1)0, f (1)4所以 ,点 A、 B 的坐标为A( 1,0), B(1,4) .(2) 设 p(m, n) ， Q ( x, y) ，PA? PB1,1 ,421n24n4m n ?m n m1yn1k PQ，所以m22x，

13、又 PQ的中点在 y2(x 4) 上，所以 y n2 x m422消去 m,n 得 x8 2y2 29 .另法：点 P 的轨迹方程为 m2n2 29, 其轨迹为以（0， 2）为圆心，半径为3 的圆；设点（ 0，2）关于 y=2(x-4) 的对称点为 (a,b),则点 Q 的轨迹为以 (a,b),为圆心，半径为 3的圆，由 b21 ， b22a 04得 a=8,b=-2a022218（ 1） x, 2 , 或 x2, f(x)递减 ;x2,2 , f (x)递增 ; （ 2） 1、当 a0,x, 2 , f(x) 递 增 ;2、 当 a0, x2, f(x) 递 增 ;3 、 当 0a1, x,

14、2,或,2ax2, f (x)递增 ; 当 a1, x, f(x)递增 ; 当 a 1, x,2, 或 x2, , f(x)aa递增 ; （ 3）因 a 0, 由分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0 上是分类“契机”：.121,a2,x1,02 ,2, f(x)f(x)minf( 1)3a32,aa4221,a2,f(x)minf (2)33a23a 1 0aa3212,a3a64191 f( x)3x23, f (2)9, f (2)2332 22yf (x) x2y29( x2)9xy 16 042A(1,m)yf ( x)( x0 , y0 )y0x033x0 , kf (

15、x0 ) 3x023.y( x033x0 ) (3x023)( xx0 )62 x033x02m30 (*)f ( x)A(1,m)(m2)y*.g( x) 2x33x2m 3, g (x) 6x26x 6x(x 1)g ( x)0, x0 1.10x, g (x), g(x)x(,0)0(0,1)1(1,)g (x)00g( x)ZZx0, g (x)m3;x1, g (x)m2 .12g( x)g(0)0g(1),0m30m22, 3m0g (x)A.Ayf ( x)m( 3,2).1420 11hx2xa2ln x0，xa2hx21x2xx1hxh 103a20a0a3a3x1h xa3

16、.解法 2： hxa2ln x ，其定义域为0，2xxa2 hx21x2x令 hx0，即 2a210，整理，得 2x2xa20 8a2x2x10 ， hx0的两个实根 x1118a2118a24（舍去）， x24，当 x 变化时， h x， hx的变化情况如下表：x0,x2x2x2 ,hx0h x极小值Z依题意，118a21，即 a23，4 a 0 ， a3 （ 2 ） 解 ： 对 任 意 的 x , x21，e 都 有 f x g x211x1 , x21， e 都有fxmin gx max 当 x 1， e 时， gx1 10 x函数 gxxln x 在1，e 上是增函数 g xmaxgee1 f x1a2xaxa1, e ， a 0 x2x2，且 xx ax a当 0a 1且 x1， e 时， fxx2a2函数 fxx在 1， e 上是增函数，x成立等价于对任意的0 ， fxminf 11a2 .由1a2e1a e，0a，得又1