直线与圆锥曲线

1、直线与圆锥曲线、教学目标:能利用方程思想研究直线与圆锥曲线的位置关系，熟练解决常见问题，如弦长、 弦中点等问题。二、教学重点及难点：方程思想、转化思想、数形结合思想的渗透，运算能力的提高。三、知识梳理：处理直线与圆锥曲线位置关系有两种常见方法：判别式法：12、点P到点役,0）皿,2）及到直线x-的距离都相等，如果这样的点恰好只2联立方程组 -式判别式关于x或y的元.次万程 i：-：.利用定理，求根公点差法四、训练反馈221、直线y kx10(kR） 与椭圆xy1恒有公共点,则m范围5mA.(0,1)B.(0,5)C. 1,55,D. 1,5有一个，那么a的值是A.3、设直线l : 2xb. -

2、c.-或2 220关于原点对称的直线为2r,若r与椭圆x1 2丿一41的交A. 1B. 2C. 3D. 42 24、已知直线|交椭圆 二 _L 1于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于点 B ,20 16若 BMN重心恰好落在椭圆右焦点上，则直线l的方程是()A. 5x 6y 280B. 5x6y 280C. 6x 5y28 0D.6x5y 2805、直线y x23 与曲线yx|x-1公共点的个数是94A.1B.2C.3D.4五、典型例题例1已知椭圆2xC1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别为 C1的左、右4顶点，而C2的左、右顶点分别是 Ci的左、右焦点。(1) 求双曲线C2的方程；(

3、2) 若直线l : y kx 、2与椭圆&及双曲线C2都恒有两个不同的交点， 且I与C2的两个交点 A和B满足OA OB 6 (其中0为原点)，求k的取值范围。例2已知方向向量为v (1,、. 3)的直线I过点(0, 2、. 3)和椭圆2 2C:务 y2 1(a b 0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线I的对称点在椭圆C a b的右准线上。(1)求椭圆C的方程(2)是否存在过点E( 2,0)的直线m交椭圆C于点M、 N，满足 -4 OM ON 、6cot MON 0( O为原点)？若存在，求直线 m的方程； 3若不存在，请说理由。例3已知椭圆的中心在原点，焦点在直线l与椭圆交于A、B两点，设线I

4、方程与椭圆方程。x轴上，离心率为二过M (0,2)点作2N为AB中点，且kN丄，-4 AB 2求直巩固练习1、过双曲线X21的右焦点，作直线l交双曲线于 A、B两点，若 AB 4 ,则满足条件的直线I有A.2条B.3条C.4条D.无数条x25、设椭圆一9值范围。6、已知椭圆E2x2a2令1(a b 0)，AB是它的一条弦，M (2,1)为弦AB的中分别交抛物线于 A、B两点,2、过抛物线y2 4x的顶点0作两条互相垂直的直线,则线段AB的中点P的轨迹方程是()A. y2 2x 8B. y2 2x 8C. y2 2x 8D. y22x 83、已知直线I与椭圆x2 2y2 2交于RP2两点，线段P

5、1, P2的中点为P，设直线I的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2值等于()11A.2B.-2C.D.-222 24、对于抛物线c： y 4X,我们称满足y。4X0的点(Xo,y。)在抛物线内部，若点M(xo，y)在抛物线内部，则直线I : yoy 2(x x。)与c()A.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.可能一个公共点也可能两个公共点D.没有公共点1，过点P(0,3)的直线l顺次交椭圆于 A、B两点，求伴取4 BPC与直线AB交于点，若以M(2,1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线点N(4, 1)且椭圆离心率e与双曲线离心率之间满足eq1(1)求椭圆离心率。(

6、2)求双曲线C的方程。7、设A、B是椭圆3x2 y2上的两点，点 N(1,3)为线段AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点(1) 确定 的取值范围，并求直线 AB的方程。(2) 试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一圆上？并说明理由。详解答案一、训练反馈：1、 直线与椭圆恒有公共点，等价(0,1)在椭圆内， 1 m 5或m 11 12、 因为点P到A ,0及直线x距离相等，所以点 P在以A为焦点，直线2 21x2为准线的抛物线上，利用数形结合，可得出 D3、由已知求得l:2x y 2 0,从而求出 AB 5，由 PAB的面积、求出点 P-55到在AB的距离h,由

7、两平行线间距离公式，求出与r平行且距离为的直5 5线方程为：2x y 1 0,2x y 3 0，判断它们与椭圆的位置关系得B4、利用重心坐标公式可得D5、作L 亚 1图的右94522413x24x 0x1 0, x2 一13 l4y2 9x236应选C、典型例题1、解析:设双曲线C2的方程为2 x 2 a2y_21，则 a24 13,再由 a2b2得b2故C2x2的方程为3kx . 2代入41,得4k2x2 x28 2kx 40由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得28 2 k2 161 4k2 164k210,即k2-2将y kx , 2代入y21,得133k2x2由直线l与双曲线C2恒有两

8、个不同的交点1 3k2026.2k236 13k236 1k26 . 2kx 90设 A Xaa , B Xbb ，则XaXb6. 2k泰,XaXb2 o1 3k由OAOB 6,得 xAxBXAXBYaYbXaXbkxA . 2 kxBk2XaXb2k Xak2XB 26、. 2k3k21 3k23k273k2曰3k23k216,即 15k2解此不等式得k21由、得一43k21.2或k15k2故k的取值范围为1,131 .13-或31513k232、(1)直线 l : y 3x152 -.3过原点垂直I的直线方程为y解得x椭圆中心0 0,0关于直线I的对称点在椭圆 C的右准线上,直线I过椭圆焦

9、点,该焦点坐标为 2,0c 2,a2 6,b2x2故椭圆C的方程为6设 M X!,、N x2, y2。m不垂直x轴3k21 x2212k x 60,x1X2直线m : y k(x 2)代入，整理得2212k xx 12k62, x1 x22，3k213k212MN1 k. X14x x21 k212k23k2 112k263k2 12. 6 1 k223k21点O到直线MN的距离d2kOM ON ；、6cotMON,即ON cosMON4严3 sinMON 0MONON sinS OMN26即 4 -6k| k21MONMN当直线m垂直x轴时，也满足S OMN2飞。3故直线m的方程为y经检验上

10、述直线均满足OM ON所以所求直线方程为 y3、解：由e 得e2222b可设椭圆方程为:2 22y 2b设 A(Xi，yJ, B(X2, 丫2), N(Xo,y)由题意得:X122y122b2 o2 2 2X2 2y2 2b20作差得:(XiX2)(XiX2)2(yiy2)(yi y2)0- Xo2k yo0又koNyoXoXo4y。丿直线l方程为:2x2 即 2x y令广2x y 229 N(89,29)设A分MN定比为2 3o 3 Xi23yi- A(23,23) 在椭圆上可得 2/22/ 2b20综上所求椭圆为x2 2y2890经检查更合题意三、巩固练习1、过双曲线右焦点的直线中,与双曲

11、线两支均不相交时，则x轴被双曲线截得的线段长度最短为2,仅与双曲线右支相交时， 与x轴垂直时线段长最短为 4，故答案为B。2、B3、D4、D5、解设AP当直线l斜率存在时，设l : y kx 3，且 A(xyj, B(X2,y2)(XiX2)2X/2得(9k24)x2 54kx 450 (*)AP X!F ，则BP| x2令-y kx 3.4x2 9y236Xi54kX229k24X1X24549k21542 k2324k22 245(9k24)59k24236 9k24 436422(12)259k 459k4A、B存在且相异54k2445(9k24)0得 k25949k24当直线I斜率不存

12、在时，由已知得PA 1, PB 5，此时1综上所求取值范围为156、解:设 A(x1, y1), B(x2, y2)，则b2X12 e2yj e2b2 b2X22 e2y22 e2b2作差可得：b2(X1 X2)(X1 X2) e2 (y1y2)(y1 y2) 0又T X1X22y1y242 22b (X1 X2) e (y1 y2)40又 kABkMN1y2二 e2 2b2X1X2由eq1 号2设椭圆右准线为则由第二定义:(4 2)2 ( 1 1)22(4 n) n6或 n2(盒)设P(x, y)为双曲线上任一点，过P作PH直线X 6于H则型应応2)2 (y 1)2丘PH|(x 6) x22

13、8x y2 2y 650即为所求椭圆方程。7、(1)解法：依题意，可设直线AB的方程为y k x 13,代入3x2整理得k23 x2 2k k 3 x k 3 20设A xi, yi ,Bx2,y2,，则xi,X2是方程的两个不同的根,k233 k32且 x1x22k k 3k231,3是线段AB的中点，得x1x221, k k 3k2解得k1，代入得,12,即的取值范围是12,。已直线AB的方程为疋，(2) CD垂直平分AB,直线CD的方程为y 3x 1，即x y 20,代入椭圆方程，整理得24x 4x 40又设Cx3,y3、D x4, y4 , CD的中点为M x,yo ,则X3、x4是方

14、程的两根,X3X41,且 X。X3X413,y0X02 ,即 m1 32,2于是由弦长公式可得 2 1CD V1 k2 x1 x2 v212将直线AB的方程xy 40 ,代入椭圆方程得24x 8x 160同理可得AB 訥 k2 X1 X2I 罷12当 12 时，J 3 42, AB CD假设存在12,使得A、B、C、D四点共圆，贝U CD必为圆的直径，点 M为圆心，点M到直线AB的距离为134iX0Y0 4223/2d 存r=2V22于是，由，式和勾股定理可得MAMB2d2AB2故当12 时，A、B、C、9123 CD2222 2CDD四点均在以M为圆心，22为半径的圆上（注：上述解法中最后一

15、步可按如下解法获得）AB由式知,C、D共圆2CD式左边由和知，式右边ACD为直角三角形， A为直角CD d212J2.2323.22AN3. 2CNDN式成立，即A、C、D四点共圆。圆锥曲线综合问题一、教学目标使学生掌握与圆锥曲线有关的最值与范围问题的解决方法，提高学生分析问题的 能力、转化能力及运算能力。二、教学重点及难最值与范围问题的解决，找出各个量之间的关系是解决问题的关键点，注意各个 量的范围是解决此表问题的注意点。三、知识梳理1、最值与范围问题处理：（i）选自变量，建目标函数(ii)利用不等关系，建所求最值或范围参量的不等式2、圆锥曲线综合性问题处理需熟练运用各个解几知识点。四、训练

16、反馈1、 已知 PA x 5, y , PB x v5,y 且A PB 6,则 2x 3y 12 的最大 值为。2、 对于抛物线y2 4x上任意一点Q，点P a,0都满足PQ a，则a的取值范围 是。2 23、 在椭圆X y1上有一点P，FF2是椭圆的左、右焦点，FfF2为直角三4020角形，则这样的P有A. 2个B. 4个C. 6个 D.8个4、已知双曲线2x2a2与 1 a 0,b0的左、右焦点分别为FF2，点P在双曲线b2的右支上，且 PF1 4PF2，则此双曲线的离心率 e的最大值为45c7A.B. C. 2D.-3 33五、典型例题例1如图，直线y与抛物线y2X24交于A、B两点，线

17、段AB的垂直平8分线与直线y 5交于点Q。(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求 OPQ面积的最大值。例2已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，一条经过点 3, . 5，且方向向量为a 2, 5的直线I交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又AM 2MB 求直线I的方程。 求椭圆c长轴长的取值范围。例3 中心在原点焦点在 x轴上椭圆的两焦点 FF2和短轴两端点 B1, B2正好是正方 形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点的最近距离为2 1。(1)求出椭圆的标准方程。过D 0,2的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DM，求的取值范围。六、巩

18、固练习1、若点P在y2x上，点Q在x 3 2y21上,则PQ的最小值为C. 22、椭圆x21上的点到MA. 2b.323、直线1,0最大距离是2x20与实轴在y轴上的双曲线y2 m的交点在以原点为中心,边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么的取值范围是A. 0 m 1B. mC. mD. 1 m 0x24、已知双曲线92石1(a0, b 0)的离心率e2卫，过点 A(0, 6)和 B(a,0)3的直线与原点距离为(1)求双曲线方程直线y kx m(k 0,m0)与双曲线交于不同两点C、D，且C、D都在以A为圆心的同一圆上，求 m取值范围。1， F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,25、P、Q、M

19、、N四点都在椭圆x22已知PF与FQ共线,MF与FN共线，且PFMF 0 ,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。6、已知动点P与双曲线1的两个焦点Fi,F2的距离之和为6。(1)求动点P的轨迹C的方程。若PF1 PF2 3,求PF1F2的面积。若已知D 0,3 , M、N在C上DMDN，求实数的取值范围。详解答案、训练反馈1、解：由aPB6知动点P的轨迹为以A5,0 , B5,0为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为1，令 x 3 cos , y2sin ,则2x 3y1212当cos1 时，2x3y,y。，由PQ12取最大值122 2yo2ayo46. 2。2y16 8a2yoy0216 8

20、a2y00即a 2 -恒成立，a83、提示:以F1或F2为直角顶点时，符合条件的点 P有4个；以P为直角顶点时,2，符合条件的点 P有2个，故符合条件的点 P共有6个。24、答案:解析：设PF1m, PF2n,则 m n 2a, m 4n,m 8a,n 2a,又 m n332c m n,即 2a2c10I,e的最大值为二、典型例题例1解析：（1）解方程组1x22即 A 4, 2 , B 8,4从而AB的中点为M 2,1由 kAB 2，直线AB的垂直平分线方程为令 y 5,得 x 5, Q 5, 5直线OQ的方程为x y1 2x, x832,0Q5、2，1,5OQdx2 8x 3221628x爲

21、xS OPQ点P到直线0Q的距离12/x -x 482P为抛物线上位于线段 AB下方的点，且P不在直线OQ上,x 4 或 4-34 x 8函数8x 32在区间 4,8上单调递增,8时,例2解析：（1）5OPQ的面积取到最大值16直线I过点3, ,5且方向向量9630I的方程为（2）设直线yx 32l522xx 1和椭圆-7a、5x22y_b21交于两点A x1, y1 ,B x2, y2，和x轴交于点M 1,0 ,由 AM 2MB，知 y12 y2得4b2,5y2 21代入b xa2|2b中,由韦达定理有yi4-b2y5b21yi y2y24 b25b4 |_22b a5b2 1 a2 4b5

22、y2有两交点,45b化简得5a2 4b24b25b2由消去y2,得32b24b25a2a22 2即4b25a a 15a2 a22 a可求得12 a9,又椭圆的焦点在x轴上，则2 a4b25a2a 12224a，综合得1 a41可解得19a、419a3将代入，得5a21 09 a2b2O2(41 所求椭圆长轴长2a的范围是2,-32 23、设椭圆方程为令与 1 a b 0a b(1)由题知a.2c、2椭圆方程为X2若直线l的斜率k存在1 2k2 X2 8kX 6 0,x1X2y kX 2，直线方程与椭圆方程联立得8k2 k262 ，1 2k2若直线与椭圆有两个交点,8 2k2k2Xi,y2 ,

23、 N X2, y2DM，则的XiX1X261 2k2X10,X1, x2同号且X1X2X22X22X12X2X1X2X1X228k1 2k261 2k2X1X2X2X132k223 1 2k323由得0231631综合得丄3当k不存在时,1综上，满足题意的的取值范围为-13三、巩固练习1、D3、解：由x2交点为P 2/ m 11 -2故选D 。m的实轴在y轴上知m 0,又x y 10与x2m 12P在题设所说的正方形内，故11,解之得m 1,但m 0，故m的取值范围是4、解双曲线方程为:y2 1设Cx1,y1 ,D x2,y2 ,CD 中点 P x0,y0m3 得 13k2 x2 6kmx3m2D存在相异12m21236k20即m23k2又ACADAPCDXo3kmky0m3k2kAPm/1