2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义第九章 第五节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质 Word版含答案

1、 第五节椭_圆 1椭圆的定义的点的轨迹叫做椭圆两定点|FF|)平面内到两定点F，F的距离的和等于常数(大于2112 F，F叫做椭圆的焦点21 为常数a，c0，c0，且2a，|FF|2c，其中a集合PM|MF|MF|2112 点的轨迹是椭圆；|时，M2a|FF(1)当21 FF；F|F|时，M点的轨迹是线段(2)当2a2112 时，M点不存在a|FF|(3)当221 2椭圆的标准方程和几何性质2222 标准方程 yx1(ab0) 22ab xy0) ab1(22ba 图形 xb，b，y，bb a，a xa，a， 范围 y对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称性性A(a,0)，A(a,0) A(0，

2、a)，A(0，a) 2112 顶点 质B(b,0)，B0) ) ，(0，b(0B，)Bbb,(2211c 离心率(0,1) e，且ea222 ba的关系，abc c 22 因越小，从而，bacac1e.离心率表示椭圆的扁平程度当越接近于时，越接近于22越大，因此椭圆越接近圆；越接近于时，越接近于此椭圆越扁；当e0c0ca，从而b. ba0c0e当时，两焦点重合，图形就是圆 熟记常用结论之间的线段的长度叫做)，xP焦半径：1椭圆上的点(y)(与右焦点下与左()F上焦点F2001|. |PFr椭圆的焦半径，分别记作|，PFr|212122yx 1(a(1)bar，exar，0)；ex22 0012

3、ba22xy (2)；r，eyeyar，0)ba1(a 220201ba )近日点与远日点(焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(3) PFF叫做焦点三角形，(x，y)与两焦点构成的PFF2焦点三角形：椭圆上的点P21021022yx 中0)，则在椭圆1(ab，PFF的面积为S22 21ba 最大为短轴端点时，(1)当P12取最大值，为短轴端点时，Sy|b时，即点sin bPtan c|y|，当|(2)S|PF|PF| 002122. 最大值为bc )(3)焦点三角形的周长为2(ac2b2. 垂直于长轴的焦点弦)：焦点弦中以通径()最短，弦长l3焦点弦(过焦点的弦 mina22yx ，则(x

4、，y)y，)，B(x，y)，弦中点M4AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x 22022101ba12 |；|y|xx| y1(1)弦长l1k22121k2xb0 . (2)直线AB的斜率k2 ABya0 小题查验基础) ，错的打“”一、判断题(对的打“”) (，F的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 (1)平面内与两个定点F21) e越大，椭圆就越圆( (2)椭圆的离心率22) 表示的曲线是椭圆( )n0，m(3)方程mxnyn1(m0，22xy) 轴上的椭圆( ab)表示焦点在y(4)1(22 ba (4) (2) (3)(1)答案： 二、选填题22yx两点，BF的直线交椭圆C于A，C：1的左、

5、右焦点分别为FF，过1椭圆 2211625) FAB的周长为(则116 B 12 A24 DC20 a22|a|AF|FB|FB|B|F选解析：C AB的周长为FA|F|AB|FA|2111121. a422yx2 5，即25aa在椭圆1中， 1625C. 20.a故选的周长为FAB41) C的离心率为( 倍，则的长轴长是短轴长的椭圆2C326 A. B.33 223 C.D. 3322yx2a.3，即a3b21(ab0)，则2abC解析：选D 不妨设椭圆的方程为22 ba222 )9(a9bc2cc228D. .故选即，e2 a3a93?1，) ( ，则椭圆CP3椭圆C的一个焦点为F(0,1

6、)，并且经过点的标准方程为 ?122222xyxy1 1 B.A. 24332222xxyy1 C.1 D. 332422xy，F(00)，且另一个焦点为由题意可设椭圆C的标准方程为1(ab解析：选D 22 2ba 1)，| PFPF|所以2a|2133?2222?4. 11?11?22所以a2，又c1， 2223. c所以ba22xy故椭圆C的标准方程为1.故选D. 4322yx4已知椭圆1(m0)的左焦点为F(4,0)，则m_. 2 125m229，m0，mm16，m3. 解析：依题意有25答案：3 22yx5若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_ kk53 ，0k5?，03k 解析：由已知

7、得?3.k5k4. 5k且k解得3(4,5) 答案：(3,4) 椭圆及其性质第一课时 椭圆的定义及其应用 师生共研过关考点一 典例精析2222CCM94)x：C1694)x：C(1)已知两圆(y，(y，动圆在圆内部且和圆1121 ) ( 相内切，和圆C相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为22222xyxy1 B.1A. 486448642222yxyx1 C.1 D. 4864486422yxPF上的一点，且b0)的两个焦点，P为椭圆C(2)已知F，F是椭圆C：1(a22 112ba_. 若PFF的面积为9，则bPF.21222|PAP是此椭圆上的动点，A(1,1)已知F是椭圆5x是一定点，则9y

8、|45的左焦点，(3) ，最小值为PF|的最大值为_| (1)设圆M的半径为r，解析 |CC|，r)(3r)168|则MC|MC|(132211 16,2c8，所以M的轨迹是以C，C为焦点的椭圆，且2a2122yx1. 故所求的轨迹方程为 4864 ，2arr?21 r，则r|PF|，|PF|(2)设?2112222，4crr?21222222 ，a4c4r(rr)r(br)42r222111123. b9，bSPFFrr 2211222yx (3)椭圆方程化为1， 59 设F是椭圆的右焦点，则F(2,0)，11 PF|6，|PF|PA|AF|2，|PA11 ，共线时等号成立)AF|(当P，A

9、，F|又|AF|PA|PF|11112. 6|PA|PF|622 2 (2)3 (3)66答案 (1)D变式发散 1在本例(2)中增加条件“PFF的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为21_ 2229，c解析：由原题得ba 又2a2c18， 所以ac1，解得a5， 22yx故椭圆方程为1. 25922yx答案：1 925 PFF”“PF的面积为9”变为“F2(变条件)将本例(2)中的条件“PFPF211212 _33”，则b60 的值为”，“ ，又FPF60PF解析：因为|PF|2a2121222 |FF|，PF|2|PFPF|cos 60 所以|PF|21211222 4c，|PF|

10、)|3|PF|PF(|即PF|2112222 4|4ab4c，所以3|PF|PF2142 ，b所以|PF|PF| 21333114 22 ，b3PF又因为|sin 60 b3|PF| 21332223. b所以3 答案： 解题技法 椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定在椭圆上时，与椭圆的两焦点FF，是当P21 ，通过整体代入可求其面积等|义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF|PF|21 过关训练 是圆上任意一O内一个定点，P，如图，圆1.O的半径为定长rA是圆在圆上运动时，和半径lOP相交

11、于点Q当点P线段点，AP的垂直平分线) Q的轨迹是(点 B.双曲线椭圆A C抛物线圆 D|. QP|A(图略)由已知得QA 解析：选A连接Q. rOP|QP|QQO|A|QO|所以|为焦，A的轨迹是以|，根据椭圆的定义，得点QOOA又因为点A在圆内，所以|OP r为长轴长的椭圆点，22yxPF在椭圆上，若线段的两个焦点，点P为椭圆F，F1惠州模拟2(2018)设 11259|PF|2) 的中点在y轴上，则 的值为( |PF155B.A. 914 54 C. D. 139的PF 如图，设线段的中点为M，因为O是FF解析：选D 2112b5|PF|2a|所以OMPF，可得PFx轴，|PF，|PF中

12、点， 21222a3|PF|5132D. ，故选， 133|PF|122yx的左、右焦点0)1(a3(2019合肥质量检测)如图，椭圆 24a若y轴于点H.，分别为FF，过F的直线交椭圆于M，N两点，交112) 的周长为( F，H是线段MN的三等分点，则FMN21B.10 A20 5 DC425 ，0)F(c,D 由F，H是线段MN的三等分点，得H是FN的中点，又解析：选111 ，xc?242?22，2，c，c0N.把点点，HN的横坐标为c，M，联立方程得得yx ?aaa，1?2 ?4a2?222 2?a1aa1c42222，a4a4，1M的坐标代入椭圆方程得，化简得c，又c2 4a442的周

13、长为MN|MF|2a，F5，a5.由椭圆的定义知|NF|NF|MF|解得a21221D. 454a，故选MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|112222考点二 椭圆的标准方程师生共研过关 典例精析C，5,0)为F(1)(2019黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O 的标准方，则椭圆C|OP|OF|且|PF|6为的左焦点，PC上一点，满足|) ( 程为2222yxxy1 B. A.1 153616402222yyxx1 C.1 D. 2024494553?，已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭(2)，5)(3 ?22 圆的方程为_22xy为方程的椭圆的标准点有圆，(

14、3)过点(3，5)且与椭1相同焦 925 _|OF|OF|OP|，由)图略(PF，连接F，设右焦点为5c由题意可得(1) 解析 ，FPOOPF，OFPOPF，PFFOFP知，PFFFPO PFF中，OPF90 ，即PFPF.在RtFPO2222 |8|PF|6，10由勾股定理，得|PF|FF ，814|PF|2a6|由椭圆的定义，得PF2 ，49从而a7，a222 ba24c，4925于是22yxC. 1，故选椭圆C的方程为 244922 )0，n0，m设椭圆方程为(2)mxnyn1(m 53?22?，nm111 ?22?. 解得m，由n 106?，1n3m522xy1. 所以椭圆方程为 61

15、0 (3)法一：定义法22xy4. ，(0,4)，即c1椭圆的焦点为(0，4) 9252222 ?，5?30?4由椭圆的定义，知2a?30?54?5. 解得a22222 ，由cab4可得b22xy1. 所以所求椭圆的标准方程为 420 法二：待定系数法22xy 的焦点相同，1所求椭圆与椭圆 925216. 9其焦点在y轴上，且c2522xy 1(ab0)设它的标准方程为 22ba222222 bab，故a16.c16，且c 3(，在所求椭圆上，5)又点22?5?3? ，122ba35 1.即 22ba22 20，b4，a由得22xy1. 所求椭圆的标准方程为 420 2222xxyy1 1 (

16、3)答案 (1)C (2) 420106 解题技法 根据条件求椭圆方程的2种方法 定义法 22 ，b根据椭圆的定义，确定a的值，结合焦点位置写出椭圆方程 待定系 数法 当不知焦点在哪.a，b待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数22，mn)1(，m0n一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx0ny， m，n的值即可再用待定系数法求出 过关训练22yx3Fa已知椭圆1C：1(b0)的左、右焦点分别为F，离心率为，过，F22 2213ab) ，则椭圆 C的方程为4AF交的直线lC于A，B两点若B的周长为3(1222xxy21 y1 B.A. 3232222yyxx1 C.1 D.

17、412128 ，则3aA 由题意及椭圆的定义知4a43解析：选22yxcc32A. 故选的方程为1.1，所以b2，所以椭圆C，所以又c a3233的G，B分别为椭圆已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F2(2019安徽江南十校模拟)，则椭圆F垂直于椭圆长轴的弦长为2的距离为右焦点和短轴端点点O到直线BF3，过) ( G的方程是2222xyyx1 1 B.A. 44222222xyxyD.1 1 C. 16164422xyyx解析：选C 设椭圆方程为1(ab0)，由已知设BF的方程为1，因为点22 bcab2bbc2O到直线BF的距离为3.所以3，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2， aa2

18、22，知a4，ba结合b2c，故选C. 考点三 椭圆的几何性质全析考法过关 考法全析 考法(一) 求椭圆的离心率的值(范围) 22yx例1 (1)(2018全国卷)已知F，F是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A22 21ba 3，120为等腰三角形，FF是C的左顶点，点P在过AP且斜率为的直线上，PFF21216) ( 则C的离心率为12 B. A. 2311 D.C. 4322yxB，轴的垂线，交C于A(2)(2019福州模拟)过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x22 ba的离心率的l存在公共点，则C两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与) 取值范围是( ?55 A.B.1，0

19、?55?22D. C.1，0?22 ，2|PF|作PBx轴于点B.由题意可设|FF|解析 (1)如图，2121AB|a3，|BF|1，故|c则1.由FFPPB120，可得|212c|PB331. e所以PAB，解得a4，21a，tan a6|AB|42ayx，为直径的圆的圆心为(c,0)cybxbc0，(2)由题设知，直线l：以AB1，即 bc22bb，有公共点又圆与直线l得y，即圆的半径r.根据题意，将xc代入椭圆C的方程， aa2cb2bc5220，1所以.又平方整理得cb，a05c，所以ee 所以，化简得2 aa522cb5A. 故选.e5(2)A (1)D答案 问题(最值)考法(二)

20、与椭圆有关的范围22yx22的任意一条直径，41)y1上任意一点，EF为圆N：(x例2 P为椭圆 1516) PF的取值范围是(PE则B.5,15 0,15 A(5,21) DC5,21 PNPF(1,0)N的圆心N恰好是椭圆的右焦点，因为PE解析 由题意知圆222a|c|PNPNNE|PN|4，因为a)(NEPNNFPN)NE()()PNNE 5,21的取值范围是PFPE，所以5|PN|3，即c C 答案 规律探求 看个性 求椭圆离心率的值)(范围)，其方法为考法(一c c，直接利用公式e求解 (1)定义法：根据条件求出a，a222转化c，结合c的齐次等式(不等式)ba(2)方程法：根据条件得到关于a，b，2a)两边同时除以a或c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式为关于a，2 (e的取值范围)不等式)，解方程(不等式)即可得转化为关于e或ee的方程( )问题)与椭圆有关的最值(范围考法(二ybb,0a与椭圆有关的范围或最值问