北京模拟压轴题二

1、给定正奇数 n n 5，数列、an匚:a1 , a2 , ., an 是 1 ，2 ，n的一个排列，定义 E ( a1, a2 ,an )1、(朝阳区2015届高三上学期期末)若有穷数列a, a2, a3,|(,am ( m是正整数)满足条件:ai =amn(i =1,2,3JH,m)，则称其为“对称数列” 例如,1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”.(I)若bn是25项的“对称数列”，且b13, 04,05,山,b25是首项为1 ,公比为2的等比数列.求 5的所有项和S ；(D)若Cn是50项的“对称数列”，且C26, C27, C28,|l( , C50是首项为1,公

2、差为2的等差数列.求cn的前 n 项和 Sn, 1_n_ 50, n N、，1212(I)依题意，b13 = 1, b14 = 2 ,，b25 = b13 22 .则 d 二 b25二212,b?二 64=2仆,，02=b14= 2.212卩-刖贝y S=2b! b2 b12 1=211=214_3 .6分1 一一2(n)依题意，C50 = C26 24 2 =49，因为Cn是50项的“对称数列”，所以C1 = C50= 49, C2 二 C49 =47，,C25 =C26 =1.所以当仁门25时，Sn二n250n ；1当 26 乞 n 50时，Sn =S25(n-25) (n -25)(n-

3、26) 2 ,2Sn = n2 -50n 1250.综上，Sn=50n仁心5 N， .13分In -50n +125026 兰 n 兰 50, n N .2、(东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试)十1 -1| 心2 _2| . - | an -n|为数列:a： a1, a?，,a.的位差和。(I)当n =5时，求数列：an ： 1, 3, 4, 2, 5的位差和;（II ）若位差和E （ ai, a2，a.） =4，求满足条件的数列 3：: a , a?，的个数;（ill ）若位差和n2E ai,a2,，an =-，求满足条件的数列6：ai,a2,，an的个数。2解：(I) E (1

4、, 3, 4, 2, 5) =|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4 ; (3 分)(II)若数列 a - ai，a2，an的位差和E( ai，a?，a.) =4，有如下两种情况：情况一：当 ai i, aj .i =i , a j i , ajj，且玄，ai i玄,aJ - ,其他项ak 二 k (其中 k - i, i i, j, j i)时，有 n -3 n - 4 亠，亠 2 i =门-丁-3 种可能;(5分)情况二：当 ai, ai i, ai 2 分别等于2, i，i, i 或 i，i,2, i 或 i，2, i，i,其他项 a k（其中i i, i 2：）

5、时，有 3 n -2 种可能；（7分）综上，满足条件的数列a ?： ai, a2,，an的个数为n 一2 n 一33 n _2 = n 一2 n 3。(8 分)2 2例如：n=5时，情况一：形如 2, i, 4, 3, 5，共有 2+i=3 种：2, i, 4, 3, 5; 2, i, 3, 5, 4; i, 3, 2, 5, 4；情况二：形如 3, 2, i, 4, 5,共有 5-2=3 种：3, 2, i , 4, 5; i, 4, 3, 2 , 5; i , 2 , 5 , 4 , 3;形如 2 , 3 , i, 4 , 5,共有 5-2=3 种：2 , 3 , i , 4 , 5; i

6、, 3 , 4 , 2 , 5; i, 2 , 4 , 5 , 3;形如 3 , i , 2 , 4 , 5,共有 5-2=3 种：3 , i , 2 , 4 , 5; i, 4 , 2 , 3 , 5; i, 2 , 5 , 3 , 4。(I| )将| ai -11 | a2 - 2 | an - n去绝对值符号后，所得结果为二 i 二i 二2 二2 二 3 二3 二二 n 二 n的形式，其中恰好有 n个数前面为减号，这表明nE ai, a?,，a. 1=為 6 -i |i =兰 2 n +(n T )+-(nn 一一二b；-i-口 卜2丿,(i0分)=2 22此不等式成立是因为前面为减号的

7、n个数最小为：2个1, 2个2,，2个和1个丄。(112 2分)上面的讨论表明，题中所求的数列：an?: a1, a2,，an是使得E( a1, a2,，an)最大的数列,这样的数列在n =2k 1时，要求从1, 2,，n中任选一个数作为 a，将剩余数中较大的 k个数的排列作为 印，a2,，ak的对应值，较小的k个数的排列作为 a2, ak廂,a24 的对应2值，于是所求数列的个数为2k 1 k!。综上，满足条件的数列的个数为口 !（14分）2例如：n = 5时,E （ a1, a2,a3, a4, as）a5,所以 a4-a A ,To ：a4 as ：a5 -3s “a a? “a所以34

8、-33= 32= 32-31。所以，n=5时，3n成等差数列。13分4、设集合S=1,2,3,L, n“nN* ,n 一 2) , A,B是S的两个非空子集，且满足集合A中的 最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对(A,B)的个数为R.(1) 求 P2, P3 的值；(2) 求P的表达式.解.【答案】(I) P J R 二5 (n) Pn =(2)1【解析】试题分析：（I）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当n二2时，即SJ1,2，此时A *仁，B =2,所以昱日，当n =3时，即S ,2,3 若A = W，则B = 2，或B 3 , 或 b23：；.若 A-或 A-1,2

9、?，则 B W ；所以 P3-5.（n）由定义知，a,b无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合A中的最大元素为“ k”时，集合A的其余元素可在h2, M,k-1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有 Ck丄 Ck C1Cj = 2种情况，此时，集合B的元素只能在k T,k 2,川，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有 C= CC；八川C： =2心一1种情况，集合对（A,B） k4n_kn4 k4共有 2（2 T2- 2 对，再求和 Pn=（ n-1）2n-（202122L2n 冷=（n- 2）21试题解析：（1）当n=2时，即SZ，此时A,B=2，所以P2/ ,若A = 2或A

10、= H2,则B =3 ；所以P3 =5当n =3时，即S=1,2,3若 A=1贝 y B = 2或 B = 3或 B=2,3；（2）当集合A中的最大元素为“ k ”时，集合A的其余元素可在1-2H，k -1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有Ch+Cb+Cj+lll+Ckk；-2种情况，6分1个），所以集合B共有此时，集合B的元素只能在 k 1,k 2,川，n中任取若干个（至少取=2n _k一1种情况,所以，当集合A中的最大元素为“ k ”时，kinkn 1 k _1集合对（A,B）共有 2 -（2 一-“=2 -2 一对，当k依次取123,lll,n -1时，可分别得到集合对（A,B）的

11、个数，求和可得叫=（n 1） 2n（2 十2*22 +L +2心）=（n 2）2n+1.考点：归纳找规律5 对于数集 X =-1, X1,X2, , Xn,其中 0 ： x1 ： x2 ：:：Xn , n 一 2 ,定义向量集Y二a|a =（s,t）,s X,tX，若对任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a0，则称X具有性质P （I）判断-1,1,2是否具有性质P ；（n）若x 2，且-1,1,2,x具有性质P，求x的值;（川）若X具有性质P，求证：1 X，且当xn 1时，X1 =1.答案：（I） -1,1,2具有性质P （n） 4 （川）略解析：（I） -1,1,2具有性质P.2分4T（n

12、）选取 印=（x,2），Y中与a1垂直的元素必有形式T,b .所以x=2b，从而x=45分HTT T（ill）证明：取 a（x1, x1 Y 设a2 =（s,t），Y 满足 a1 a2 -0.由s+t为=0得s+t =0，所以s、t异号.因为_1是X中唯一的负数，所以 s、t中之一为一1，另一为1，故1 X .假设 Xk 二1，其中 1 :： k :： n，则 0 :：人:1 :： Xn.选取 b =(Xi,x) Y,并设 a=(p,q) Y满足 b b=0,即p%qxn =0，贝y p,q异号，从而p,q之中恰有一个为1.10分若p = -1,则Xi =qxn，显然矛盾；若 q =1，则 X

13、n 二 PX1 :： p _ Xn，矛盾.所以X1=1 .13分6.对于数集 X 二 -1, X1, X2/ , Xn,其中 0 :： X1 :： X2 :：:：Xn , n 2 ,定义向量集 丫 =a | a = (s,t), s X ,L X，若对任意Y，存在a2三丫，使得a1a2 = 0，则称X具有性质P .(i)判断-1,1,2是否具有性质P；(n)若x 2，且-1,1,2,x具有性质P，求x的值；(川)若X具有性质P，求证：1 X，且当xn 1时，x1 =1.答案：(i) -1,1,2具有性质P (n) 4 (川)略解析：(i) -1,1,2具有性质P.(n)选取a(x,2) , Y

14、中与a1垂直的元素必有形式-1,b .所以x=2 b，从而x=45分(III )证明：取印=（x1, xj Y .设 a2 二（s,t） Y 满足 a1 a2 = 0.由s+t X1 =0得s+t = 0，所以s、t异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1 ,故1 X.8分假设 xk =1，其中 1 ： k : n，则 0 ： x-i : 1 ： xn.选取 D=(为,Xn) Y，并设ba= (P,q) Y 满足bb= 0,即pxqxn=o,则p,q异号，从而p,q之中恰有一个为-1.10分 若p - -1 ,则X1 = qXn，显然矛盾;若 q - -1，则 Xn =

15、 PX! :： p Xn，矛盾.13分所以Xi=1 .7.已知数列a.的首项ai = a,其中N令集合I色，寺=3 Nan 1 3an +1 ,an 式3,IE N*A=x|x=an, n N .(I)若a4是数列an中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项;(n)求证:1,2,3-A;(川)当a乞2014时，求集合 A中元素个数Card (A)的最大值20.解：(I) 27,9,3; 8,9,3; 6,2,3.1(II )若ak 被 3 除余 1,则由已知可得ak1.=ak1, akak-2 .3(ak - 2)；3” 1 1右ak被3除余2,则由已知可得 比1二比 1,ak 2 1),a

16、k 3 (ak 1) 1 ;3311若ak被3除余0,则由已知可得ak 1 ak,ak3“ ak 2 ;33所以ak3吕ak 2 ,12所以 ak -ak 3 -ak -(qak 2)飞-3)33所以，对于数列an中的任意一项ak,若ak 3，则ak ak 3 ”.因为 a N*，所以 ak -az -1.所以数列an中必存在某一项am乞3 (否则会与上述结论矛盾！)若 am = 3,则 am 1 =1,am 2 = 2 ；若 am = 2，则 am 1 二 3,am 2 = 1，若 am - 1 ,则 am 1 二 2,am 2 = 3 , 由递推关系易得1,2,3 A.(Ill )集合A中

17、元素个数Card (A)的最大值为21.由已知递推关系可推得数列an满足：当am 1,2,3时，总有a. P 3成立，其中n二m,m 1,m 2川.F面考虑当 =a乞2014时，数列可中大于3的各项:按逆序排列各项，构成的数列记为g，由(I)可得b =6或9,由(II)的证明过程可知数列bn的项满足：b 3 bn，且当bn是3的倍数时，若使0 .3 - 0最小，需使0 2二6 1 -仁山- 2，所以，满足bn 3 -bn最小的数列bn中，b4或7,且b3k=3b3k.3-2，所以b3k -仁3(b3(k 1)-1)，所以数列b3k -1是首项为4-1或7一1的公比为3的等比数列，所以 b3k

18、-(4-1)3kJ或 b3k-(7-1)3kJ，即b3k=3k1 或 b3k=23k1，因为36 2014 ：37，所以，当a2014时，k的最大值是6，所以a1二b18，所以集合 A重元素个数Card(A)的最大值为21.8.已知 Si =AA = (a1,a2,a3,H an )， 4=0 或 1， i T2Hl,n (n -2)，对于&，d(U,V)表示U和V中对应位置的元素不同的个数.(I)令U =(0,0,0,0,0)，求所有满足 V S5，且d(U,V)=2的V的个数；(U)令 W = (0,0,0JII,0)，若 U,V Sn，求证：d(U ,W) d(V,W) _d(U ,V)

19、;n个0(川)给定 U =(a1,a2,a3l(,an)，U Sn，若V Sn，求所有 d(U,V)之和.解: (I) C； =10 ;4 分(U)证明：令 u=(a1,a2,a3a.)，v=(b1,b2,b3bn) a, =0或 1，b =0或 1;当 a, =0，b, =0 时，|a,|+|b 戶 0=|a -b, |当 a, =0， b, =1 时，| a, | b F1 =|a, -b, |当 a1， b, =0时，|a,| b|=1=|a,-bi|当 a, ，b, =1 时，|a, | |b F2 -|a, -b, |=0故lai | |bi Ia -b | d(u,w) d(v,w

20、) =(aa? a3+|l( +a.) (b b? bs+IH+bn)=(| ai | +a | +|a+ 川+| a. |) +(| bi | +4 | + |b+ 川+| b | )_(| ai -bi | | a? - b? | & - b + |l|+ | an - bn |) = d(u, v)9 分(川)解：易知Sn中共有2n个元素，分别记为Vk(k=1,2,|(,2n)V =(b!,b2,b3bn) bi =0的Vk共有2nd个，bi =1的Vk共有2nj个.2n x d(u,Vk)k 4= (2nJL|ai -0| 2nJL|ai -1|- 0| 2n|a2-1+ lll+2n

21、|an -0|+2nJ1|an-1|)=n LT2n d(u,Vk) =nJ2n 1 .14分k=1法二：根据(I)知使d(u,Vk)二r的Vk共有C：个2n Z d(u,Vk)=0C0 十1氏 +2匕；+ nc：k吕2nv d(u,Vk) = nC (n -1)C；J - (n -2)心心 ，0_Ck生2n两式相加得d(u,Vk) =nj2ndk丑9.设满足以下两个条件的有穷数列aa2,a*为n (n =2, 3, 4, 阶 期待数列” ai a： a3 I i I a. = 0 ； ai + a2 + as| +M+|a=1.(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶 期待数列(2)若某201

22、5阶 期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式;(3)记n阶期待数列”的前k 项和为 Sk(k =1,2,3,川，n)，试证:Sk解：(i)数列-】,0, 1为三阶期待数列2 231 1 3数列-8，-8,8,8为四阶期待数列，(n)设该2013阶“期待数列”的公差为d ,因为 ai a2 83 111 82013 = 0,2013( a0时，据期待数列的条件可得81008 81009* I I82013 -2.1006d1006 1005 d J 即 d一 21006 1007n -10078宀。7 5一1007心 1006 1007* ._.n N 且 n 2013 ,当d0时，同理可得a

23、n-1007 . n N*且2013.10061007【注】只写一种的扣一分n 的范围未写的扣一分(川)当k=n时，显然Sn1成立10分当k0 /. aan = r1 + ar1(n)计算 n = 1, ra = aa2 1a2r aa一 1 1 1根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a, r+,a+r,2r+,a + 2r,3r+ , a a a当r 0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，所以r =0时，写出数1111列的前几项：a, ,a, , a, - ,a,-,a a a a所以当a 0且a = 1时，该数列的周期是 2,当a=1时，该数列的周期是 1,1 2(

24、川)因为数列an是一个有理数等差数列， 所以a a 2(r)化简2a2 - ar - 2 = 0 ,ar 16 r222a是有理数.设r ，16二k , r , k均是非负整数4r = 0 时，a = 1, a* = 1, Sn 二 n1 = 3 r0时(k r)(k+r) =16 =2汉8 =4 乂 4可以分解成8组，其中只有丿，符合要求，此k = 53n 12,Snn(3n 5)41r =2(a) N，得an 1解法二an = na因为数列an是一个有理等差数列，a3n 1c n(3n 5)a =1,r =0,an =1,Sn =n 或 a =2,r =3, Sn :2411 已知数列是正

25、整数1, 2, 3, n的一个全排列若（I）写出满足- 的所有H数列4 ;（n）写出一个满足 -,.丁；的片数列亠，的通项公式；（川）在H数列，中，记. . i .!.若数列r是公差为d的等差数列，求证：川、或.1 解：（I）满足条件的数列有两个：丄化2养；厶4丄3.（n）由（1）知数列& 2,4.1.3 J满足色-、，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因 为|-3,| = 2，所得数列 4显然满足 輒-蛰|=2或3，疋e2耳0，即得甘数列 血2談.i J J勺川乩川.其中1% 皿如此下去即可得到一个满足 % -鋼卡_ V 刑切的H数列心为:斤十“ =54 n+2,rt=5fc-3HZu =

26、5t2 n-ln=5k-ln-l,H = 5Jt-3（写出此通项也可以h+M=5a：-2 （其中 m2,4B3）h-Xh-5*15=54（川）由题意知d，且W+|y|=5 有解： （帥）屮耳（1你（2则卅耳g） 他计，厂廿，川切，则峪：片MW X ，这与il- 九；-加山是矛盾的. 0卜“） 时，与类似可得不成立. （工卜卩,）时，咋4-Ain，则如舟（4悯不可能成立. 心时，若（山（ H） 或IT），则 或）若心）或4-1），则fJ II，类似于可知不成立. O 时,若-y同号，则 八口， 由上面的讨论可知不可能；若U）（厂勺或匕）（2习，则川i或）; 二时，若异号，则疗0,不行；若I同号，

27、则/12，同样由前面的讨论可知与 舟如厂加山矛盾.综上，d只能为j或、，且（2）中的数列是/ 的情形，将（2）中的数列倒 过来就是川），所以为、或 12.已知实数数列an满足：2 W an 1丨-an（n =1,2,）,印=二b，记集合M =an | n N .（I）若a =1,b =2，用列举法写出集合 M ;（n）若a : 0,b ：0,判断数列an是否为周期数列，并说明理由；（川）若a丄0,b丄0，且a 5 = 0，求集合M的元素个数的最小值(U)由已知得/(严(穴+芝Ujr+1)所以广(x) = eVd+(加一黄2)x+些二一 1=一斗厂(x+l)2ar-(3a-l) ? .13-1因

28、为0广=一广(1)2负一(丸一 1)=你(x+lX-)因为a|.侨以-1.52a令/Xx)-ae-J(X4-lXx-)0得.-lvxvzl：2a2a站一 13a-l令fr(x) = 一ae(x+l)(x一 )0得.x 2a2a3/-i3j-i所以ft/(x)在(T丄一)上单iflil增.在(yo,-1)和(三一+8)上2a2a3匕一1 若1. Wa 1时.tt/(x)SK何-111单口邇增2a所以Stt /(x)在区间一1.1上的最大值为/(l)=l(a +警+ l) = 4e e 8e-3Se2-3Pe2-解得0 = 飞一匕然符合題意.此时 = t b二3/7-11 若 1 -即一a 1时2

29、a5V? 一 13a 1西数/(*)在(-1,)上单谒遡增递减.lala所以函敷/(X)在区何1-1,|的最大值为/(*)写 匸晋又闪为|al.所以|?y4所以 e-le3rTe 所以不満足函数/(x)在区同-14上的最大值为4e.8e -3i?e2 -2综上所述.a = 丄.b= _为所求.14分20.本小18満分14分W： I ) 3/ = L2.-L02 分(II)因为a0.0. J,-ja |-心(丹12)隋仙Jfc列的前 11 坝分别为：- b2-a - Tba+-aa-b-a-b, a:b .所 W allt * ot - cr.班l 氏 b.又周为气科=|%Jt“5 = 12 )

30、所以豪列中至气声衣重艮叫至.叹此类推.于屡.对任童正Sftftr育耳宀=耳卫* =州囚9足数列的尚期一tt応=孤“碍成立的齡小r 9.”盘甘对乩血分情况讨论.1)划數列的输5项上.方一丄-加h中至哎哲4项互不用冋；mm前4 顷为a.b.b-ara-2b. a-2b0时* 敷捌的期五、 六项为lu-yd-b； a-2bQr娅列的第五、六顼为bf-a + 3b曲数列中至少有4项互不箱同|ro0h&-0- cr-030*则由豪列的前7顼可知*誥列中至少有4頊0 -a. a.2a 或8七取2*环相同.猱上，宾汁M的阮索牛赣不小于4”疋由 可知.-l.fr-llbt，播汁“的元廷亍赶为4.所以.求集合M

31、的元索个最的愎小位星丄14#13.给定正奇数nn5，数列 玄：ai, a?,，an是1,，n的一个排列，定义E(印，a?，, an)=| a!-1| a2 |a“- n |为数列 & ：a!,a?，a“的位差和。当n =5时，求数列 & ： 1, 3, 4, 2, 5的位差和；(II )若位差和E(印，a?，a.) =4，求满足条件的数列 Q ： a，a?，a.的个数；2(III )若位差和E a1, a?, , an = n -,求满足条件的数列、an匚：a1, a?, , an的个数。2解：（I） E （1, 3, 4, 2, 5） =|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-

32、5|=4 ; （3 分）（Il）若数列 a 印,a2,，an的位差和E （ a! , a2，an） =4，有如下两种情况：情况一：当 ai = i 1，ai d = i，a = j 1，a訂=j，且 a, a, L 玄，aj .：，其他项 ak 二k （其中 k i 1, j, j 1）时，有 n - 3 汕1 n - 4 厂亠 21二 “一2 “一3 种可能;2（5分）情况二：当ai, ai 1, ai 2分别等于2，i 1, i或1,2，i或i，2，i 1,其他项a k（其中 , i 1, i 2时，有3 n -2种可能；（7分）综上，满足条件的数列匕“ a1, a2,，an的个数为n 一

33、2 n 一3 3n 一2 二 n 一2 n 3。（8 分）2 2例如：n = 5时，情况一：形如 2, 1, 4, 3, 5，共有 2+1=3 种：2, 1, 4, 3, 5； 2, 1, 3, 5, 4； 1, 3, 2, 5,4；情况二：形如 3, 2, 1, 4, 5,共有 5-2=3 种：3, 2, 1 , 4, 5； 1, 4, 3, 2 , 5； 1 , 2 , 5 , 4 , 3；形如 2 , 3 , 1, 4 , 5,共有 5-2=3 种：2 , 3 , 1 , 4 , 5； 1, 3 , 4 , 2 , 5； 1, 2 , 4 , 5 , 3；形如 3 , 1 , 2 , 4

34、 , 5,共有 5-2=3 种：3 , 1 , 2 , 4 , 5； 1, 4 , 2 , 3 , 5； 1, 2 , 5 , 3 , 4。（Ill ）将 |印-11| a? - 2 | a. -n |去绝对值符号后,所得结果为_1 _1 _2_2_3_3一 一 n _ n的形式，其中恰好有 n个数前面为减号，这表明nE a1, a?,，a. 1=6 6 -i |i =1亠.亠2 1n -1,（10 分）-2此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1, 2个2,，2个-_1和1个-1。（11分）4,5,1 ,2, 3* 4,5,1,3, 2；5 ,4,1 ,2, 3:;5,4,1,3,

35、4,5,2,1, 3* 4,5,2,3 , 1；5 ,4,2,1, 3:;5,4,2,3,4,5,3,1, 2!； 4,5,3,2 , 1；5,4,3,1, 2:;5,4,3,2,3,5,4,1, 2!； 3,5,4,2 , 1；5,3,4,1, 2:;5,3,4,2,2；1；1；3, 4, 5, 1, 2； 3, 4, 5, 2, 1 ； 4, 3, 5, 1, 2； 4, 3, 5, 2, 1。上面的讨论表明，题中所求的数列:an/:ai,a2,，a.是使得E（a?,，a.）最大的数列,这样的数列在n =2k 1时，要求从1, 2,，n中任选一个数作为 ak1，将剩余数中较大的 k个数的排

36、列作为 印，a2，ak的对应值，较小的k个数的排列作为a2, ak3 ,，a?的对应2值，于是所求数列的个数为2k 1 k!。综上，满足条件的数列的个数为例如：n=5时,E （ ai , a2, a3, a4 , a5） 25 43 -3 2 2 1=25-24-1 15 -2 2=s每组之差组数此不等式成立是因为前面为减号的2n八!（14 分）25二、Iai - i I。i 45个数最小为：2个1，2个2和1个3。若 E （印，a2, a3, a4, a5）=12，n =2k 1 = 5，此时k = 2时，要求从1，2，3, 4，5中任选一个数作为a3，将剩余数中较大的2个数的排列作为a1，

37、a2的对应值，较小的 2个数的排列作为a4, a5的对应值,于是所求数列的个数为25 2!= 20。1；1, 2，n，鉴别题目背景：假设现在有 n种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这n种物品进行排列依次编号为ai, a?,，an，其中a?,，a.是1, 2,，n的一个排列，那么可以用数列乳？：ai, a?,，an的位差和E ( ai, a?,，a.) =6 |a? - 2丨丨 a. - n 丨，来评判鉴别师的能力。当E ( ai, a?,，an)越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；当E ( ai, a?,，a

38、*) =0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；第二问，位差和E ( ai, a?,，an) =4时，给出数列 玄？: ai, a?,，an的情况；2第三问，说明位差和 E ( ai, a?,，an)最大值为，且给出取得最大值时，数列 ：aj :2ai, a?,，an的情况。i4.已知集 合 S 二ai,a?,a3,川，an ( n 一 3),集合 T-(x, y)|x S, y S,x=y且满足：Wai e S(i, j =i,?,3，川,n,i 式 j), (a,ajT 与(aaJT 恰有一个成立对于 T 定义dT(a,bJ ab)T,0, b a ) t ,d (a

39、iai),?,3,HI,n)It(aj二 dMaza) 4(a?a )d(a_ia ) d Cai, a )()若 n = 4 , (ai,a?),(a3,a?),(a?,a4)T，求 b(a?)的值及的最大值；(n)从|丁佝),1丁心2),b(an)中任意删去两个数，记剩下的n-2个数的和为 M 求证:iM -n(n -5) 3；(川)对于满足iHaJ ： n-i ( i =i,?,3,|l,n)的每一个集合T ,集合S中是否都存在三个不同的元素e, f,g，使得dT(e, f) dT( f ,g) dT(g,e) =3恒成立，并说明理由解：(i)因为(ai, a?),( a3, a?),(

40、 a?, a4) T ,所以 dT (a2, ai) = 0 , dT (a2, a3)= 0 , dT(a2,a4)= 1，故 k(a2)= 11 分因为(a?) T，所以小丁心厶包)=0.所以 lT(a4 dT(a4,a1) dT(a4, a2) dT(a4,a3) _ 1 0 1 = 2 .所以当(a2,a4),(a4,a!),(a4,a3)T时，1品)取得最大值2. 3分(n)由 dT(a,b)的定义可知：dT(a,b) dT(b,a) =1.n所以二 lT (ai ) = dT (a1, a2 ) dT(a2,a1) dT(a1,a3) dT(a3, a1)i 4订dT(aan) dT(an,a)佝佔)4兄)21八=Cn n(n _1). 6分21设删去的两个数为 It (ak), lt(am)，则 It(ak) It m) = ? n(n d).