2019-2020学年九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质教学课件 （新版）沪科版

1、教学课件教学课件 数学数学 九年级下册九年级下册 沪科版沪科版 第第2424章章 圆圆 24.2 24.2 圆的基本性质圆的基本性质 第第 1 课时课时 如图如图24-14，在平面内线段，在平面内线段OP绕绕 着它固定的一个端点着它固定的一个端点O旋转一周，则旋转一周，则 另一个端点另一个端点P所形成的封闭曲线叫做所形成的封闭曲线叫做 圆圆. 圆的概念圆的概念: : rO P 固定的端点固定的端点O叫做叫做圆心圆心，线段，线段OP的长的长 为为r叫做叫做半径半径. 以点以点O为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作 O， 读作读作“圆圆”. 图图 24-14 从图从图24-14画图的过程中，你能说出圆

2、上的点有什么特性吗？画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？ （1）圆上各点到定点（圆心）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）的距离都等于定长（半径r）；）； （2）平面内到定点（圆心）平面内到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）的距离都等于定长（半径r）的）的 所有点都在同一个圆上所有点都在同一个圆上. 因此，圆可以看因此，圆可以看成平成平面内到定点（圆心面内到定点（圆心O）的距离等于）的距离等于 定长（半径定长（半径r）的所有点组成的图形）的所有点组成的图形. 思考思考: 注意注意: (1)圆是一条封闭曲线圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面而不是一个圆面)； (2)圆是由圆

3、心和半径确定的圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置圆心确定圆的位置,半径半径 确定圆的大小确定圆的大小). 交流：交流： 平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外， 与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？ 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 符号符号 读作等价于读作等价于.它表示从符号的它表示从符号的 左边可以推出右边；同时从符号的右左边可以推出右边；同时从符号的右 边也可以推出左边边也可以推出左边. （2 2）若点）若点A A在在O O 内内 OAr （3 3）若点）若点A A在在OO外

4、外 OAr （1 1）若）若点点A A在在O O上上 OAr 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧，用符号，用符号 表示表示.以以A,B为端点的弧记作为端点的弧记作AB，读作，读作弧弧AB. 与圆有关的概念与圆有关的概念 连接圆上的任意两点的连接圆上的任意两点的线段叫做线段叫做弦弦，经过圆心的，经过圆心的弦叫弦叫 做做直径直径. 注意：同圆中所有半径都相等注意：同圆中所有半径都相等 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都 叫做半圆叫做半圆.大于半圆的大于半圆的弧一叫做弧一叫做优弧，小于半圆的弧叫做

5、优弧，小于半圆的弧叫做 劣弧劣弧, 与圆有关的概念与圆有关的概念 由弦及其所对的弧组成的图形叫做由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形. 能够重合的两个圆叫做等圆能够重合的两个圆叫做等圆，等圆，等圆的半径相的半径相等等. 在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧弧. 证明证明: 连接连接AC,DB. 例题分析：例题分析： 例例1 已知：如图已知：如图24-17，AB,CD为为 O的直径的直径. 求证：求证：AD/CB. 图图 24-17 AB,CD为为 O的直径的直径 OA=OB， OC=OD 四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形. AD/CB

6、 1.如图，请正确的方式表示出以点如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧为端点的优弧及劣弧. F E D C B A O I ,ACD ACF ADE ADC ,.AC AE AF AD 2.选择题选择题 （1）下列）下列说法，说法，正确的是（正确的是（ ）。）。 线段是弦；直径是弦；经过圆心的弦是直径；线段是弦；直径是弦；经过圆心的弦是直径； 经过圆上一点有无数条直径。经过圆上一点有无数条直径。 A、 B、 C、 D、 答案：答案：B （2）如图）如图，在，在 O中，点中，点A、O、 D以及点以及点B、O、C分别在一条直分别在一条直 线上，图中弦的条数为（线上，图中弦的条数为（ ）

7、。）。 A、2 B、3 C、4 D、5 O C B E A D 答案：答案：B 1.从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如 果一棵果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树这棵红杉树 的半径平均每年增加多少？的半径平均每年增加多少？ 2320=1.15 1.152=0.575 定义一：定义一： 在同一平面内，线段在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形随之旋转所形成的图形 叫圆。固定的端点叫圆。固定的端点O叫做圆心，线

8、段叫做圆心，线段OA叫做半叫做半 径。径。 从从运动和集合的观点理解圆的定义：运动和集合的观点理解圆的定义： 定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 第第2课时课时 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧 所对的弦的长所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m， 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 我们知道，等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形，我们知道，

9、等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形， 正方形等图形都具有对称性正方形等图形都具有对称性.那么圆是否具有对称性呢？那么圆是否具有对称性呢？ 根据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？根据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？ 1.在纸上任意画一个在纸上任意画一个 O，以，以 O的一条直径为折痕，的一条直径为折痕， 把把 O折叠，如图折叠，如图24-18，你发现了什么？，你发现了什么？ 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过 圆心的直线圆心的直线. 垂垂径分弦径分弦 A（B） D C 图图 24-18 AB D C O E 图图 24-19 2. 在折

10、叠在折叠 O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合 的点的点A,B,如图如图 24-18.把折叠的圆摊平，那么折痕把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直是直 径，点径，点A,B是关于直线是关于直线CD的一对对应点的一对对应点.连接连接AB，得弦，得弦AB， 如图如图24-19，这时直径，这时直径CD与弦与弦AB有怎么的位置关系？有怎么的位置关系？ 图图 24-18 A（B） D C 3. 直径直径CD把劣把劣弧弧 分成分成 与与 两两部分，把优弧部分，把优弧 分分成成 与与 两两部分，这部分，这时时 与与 , 与与 各各有怎样有怎样 的关系？的关系？ A B D

11、 C O E 图图 24-19 ADB AD AD DB ACB DB AC AC CB CB 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧并且平分弦对的两条弧. 垂径定理垂径定理 O AB D E 图图 24-20 C CD为为 O的直径的直径 CDAB 条件条件结论结论 圆心到弦的距离叫弦心距圆心到弦的距离叫弦心距. 例例2 如图如图24-21， O的半径为的半径为5cm 中，弦中，弦AB的长为的长为6cm，求圆心，求圆心O到到 AB的距离的距离. ).(435 ),(5 ).(3 2 1 6 2 1 , 2222 cmAEOAOE OEART cmOA cmABEB

12、AE E ABOEOOA 中，有在 又 ，则垂足为 ，作过圆心解：连接 平分弦平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧对的两条弧 垂垂径定理的推论径定理的推论1: E E AB . O O 图图 24-21 例例3 赵州桥（图赵州桥（图24-22）建于）建于1400年前的隋朝，是我国年前的隋朝，是我国 石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度 (弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) 为为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半

13、径吗？，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 图图24-22 解：如图，设半径为解：如图，设半径为R R， ABAD 2 1 , 7 .184 .37 2 1 DCOCOD. 2 . 7 R 在在tAODtAOD中，由勾股定理，中，由勾股定理， , 222 ODADOA .)2 . 7(7 .18 222 RR即 解得解得 R27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. O A B C D 37.4 7.2 AB=37.4, CD=7.2 R 18.7 R-7.2 得得 cm32 cm32 8cm 1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm

14、,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。 2 2O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。 3半径为半径为2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 A B O E A B O E O AB E 1.1.如图如图, ,在在O O中中, ,弦弦ABAB的长为的长为8cm,8cm,圆心到圆心到ABAB的距离为的距离为 3cm,3cm,则则O O的半径为的半径为 . . AB O C 5 cm 2.2.弓形的弦长弓形

15、的弦长ABAB为为24cm24cm，弓形的高，弓形的高CDCD为为8cm8cm，则这弓，则这弓 形所在圆的半径形所在圆的半径为为 . . D C A B O (1)(1)题题 (2)(2)题题 12 8 13 cm 方法归纳方法归纳: 1.垂径定理垂径定理经常和经常和勾股定理勾股定理结合使用。结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应等辅助线，为应 用垂径定理创造条件。用垂径定理创造条件。 请围绕以下两个方面小结本节课：请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么

16、？、从知识上学习了什么？ 、从方法上学习了什么？、从方法上学习了什么？ 圆的轴对称性；垂径定理及其推论圆的轴对称性；垂径定理及其推论 （）垂径定理和勾股定理结合（）垂径定理和勾股定理结合. （）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线（）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段；过圆心作垂直于弦的线段； 连接半径连接半径. 第第3课时课时 圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里? 复习引课复习引课 圆是中心对称图形，圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心. N O 把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度

17、旋转任意一个角度 ， N O N 把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ， N O N 定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆 重合。重合。把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，由由 此可以看出，点此可以看出，点N仍落在圆上仍落在圆上. 圆心角圆心角，弧，弦，弦心距间的关系，弧，弦，弦心距间的关系 圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角. O B A 如如图，图， AOB就是一个圆心角，就是一个圆心角，OC就是弦心距就是弦心距

18、. C 弦心距弦心距：从圆心到弦的距离叫做：从圆心到弦的距离叫做弦心距弦心距. 将将圆心角圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？你能发现哪些等量关系？为什么？ 探究探究 根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到 AOB的位置时，显然的位置时，显然AOBAOB，射线，射线OA与与OA 重合，重合，OB与与OB重合而同圆的半径相等，重合而同圆的半径相等，OA=OA， OB=OB，从而点，从而点A与与A重合，重合，B与与B重合重合 因此，弧因此，弧AB与与弧弧 AB重合，重合，AB与与AB重合重合 .AB

19、A B AB AB = 同样，还可以得到：同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那 么它们所对的圆心角么它们所对的圆心角_， 所对的弦所对的弦 _； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那 么他们所对的圆心角么他们所对的圆心角_，所对的弧，所对的弧 _ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的，所对的 弦弦也相等也相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 同圆或等圆中，同圆或等圆中， 两个圆心角两个圆心角、 两条两条弧、两弧、两条条 弦中有弦中有一组一组量量 相相等

20、等，它，它们们所所 对对应的应的其余各其余各 组组量也量也相等相等 定理与例题定理与例题 1弧弧 n 1 n弧弧 把圆心角等分成把圆心角等分成360份份,则每一份的则每一份的 圆心角是圆心角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360 份份. 则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧. 这样这样,1的圆心角对着的圆心角对着1的弧的弧, 1的弧对着的弧对着1的圆心角的圆心角. n 的圆心角对着的圆心角对着n的弧的弧, n 的弧对着的弧对着n的圆心角的圆心角. 性质性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等. 性质性质 证明：证明： = AB=AC,

21、ABC 等腰三角形等腰三角形 又又ACB=60， ABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CA. AOBBOCAOC. A B C O 例例4 如图，在如图，在 O中中， = ，ACB=60， 求证求证:AOB=BOC=AOC. AB AC AB AC 例例5 在在图中，画出图中，画出 O的两条直径，一次连接这两条直径的两条直径，一次连接这两条直径 的端点，得到一个四边形的端点，得到一个四边形.判断这个四边形的形状，并说判断这个四边形的形状，并说 明理由明理由. 解：这个四边形是矩形解：这个四边形是矩形. 理由理由:如图，如图，AC、BD为为 O 的的 两条直径，则两条直径，则AC=BD

22、，且，且 AO=BO=CO=DO. 连接连接AB、BC、CD、DA，则四边，则四边 形形ABCD为矩形为矩形. A O C D B 如图，如图，AB是是 O的径，的径， ， COD=35，求，求AOE的度数的度数 A O B C D E BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75 解解： BC CD = = DE BC CD = DE 第第4课时课时 复习引课复习引课 类比确定直线的条件类比确定直线的条件: 经过一点可以作无数条直线；经过一点可以作无数条直线； n经过两点只能作一条直线经过两点只能作一条直线. A A B 确定确定圆的条件圆的条件 思考思考 n1.作圆作圆,使

23、它过已知点使它过已知点A.你能作你能作出出 n几几个这样的圆个这样的圆? O A O O O O n2.作圆作圆,使它过已知点使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆你能作出几个这样的圆?有何特点？有何特点？ A B O O O O n3.经过经过A,B,C.能不能作圆能不能作圆? 2. 过已知点过已知点A,B作圆作圆,可以作无数个圆可以作无数个圆. n经过两点经过两点A,B的圆的圆心在线段的圆的圆心在线段AB的垂直的垂直 平分线上平分线上. n以线段以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆的垂直平分线上的任意一点为圆 心心,这点到这点到A或或B的距离为半径作圆的距离为半径作圆. n你准备如何你

24、准备如何(确定圆心确定圆心,半径半径)作圆？作圆？ n其圆心的分布有什么特点其圆心的分布有什么特点?与线段与线段AB有什有什 么关系？么关系？ A B O O O O 3.作圆作圆,使它过已知点使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上三点不在同一条直线上), 你能作出几个这样的圆你能作出几个这样的圆? n老师提示老师提示: n能否转化为能否转化为2的情况的情况:经过两点经过两点A,B的圆的的圆的 圆心在线段圆心在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上. n你准备如何你准备如何(确定圆心确定圆心,半径半径)作圆？作圆？ n其圆心的位置有什么特点其圆心的位置有什么特点?与与A,B,C有

25、什么关系？有什么关系？ B C n经过两点经过两点B,C的圆的圆心在线段的圆的圆心在线段AB的垂直的垂直 平分线上平分线上. A n经过三点经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的圆的圆心应该这两条垂直平分线 的交点的交点O的位置的位置. O 请你作圆请你作圆,使它过已知点使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直三点不在同一条直 线上线上). 以以O为圆心为圆心,OA(或或OB,或或OC)为半径为半径,作作 O即可即可. n请你证明你做得圆符合要求请你证明你做得圆符合要求. B C A O n证明证明:点点O在在AB的垂直平分线上，的垂直平分线上， n O就是所求作的圆就是

26、所求作的圆, E D G F nOA=OB. n同理同理,OB=OC. nOA=OB=OC. n点点A,B,C在以在以O为圆心的圆上为圆心的圆上. n这样的圆可以作这样的圆可以作 出几个出几个?为什么为什么? 定定理理:不不在一条直线上的三个点确定一个圆在一条直线上的三个点确定一个圆. 在上面的作图过程中在上面的作图过程中. n老师期望老师期望: n将这个结论及其证明作为一种模型对待将这个结论及其证明作为一种模型对待. n直线直线DE和和FG只有一个交点只有一个交点O,并且点并且点O 到到A,B,C三个点的距离相等三个点的距离相等, n经过点经过点A,B,C三点可以作一个圆三点可以作一个圆,并并 且只能作一个圆且只能作一个圆. B C A O E D G F 分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形,直角三角形直角三角形,钝角三角形的外接圆钝角三角形的外接圆, 并说明与它们外心的位置情况并说明与它们外心的位置情况 n锐角三角形的外心位于三角形内锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位直角三角形的外心位于于 直直角三角形斜边中点角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外钝角三角形的外心位于三角形外. n老师期望老师期望: n作三角形的外接圆