9章直梁弯曲强度计算

1、 第9章梁弯曲 强度计算 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 梁的弯曲正应力的强度计算 9.4提高 梁弯曲强度的措施 9.3梁的弯曲切应力和强度条件 学习目标与基本要求 1. 了解平面弯曲时梁横截面上的正应力的分析方法； 3.能熟练掌握弯曲正应力的强度条件及应用； 4.对弯曲切应力有初步的了解； 2.理解与掌握弯曲正应力沿截面高度的分布规律； 5. 通过“工程力学”中工程应用案例的 了解，对 “提高弯曲强度的主要措施“有进一步的认识， 使学生看到科学知识对工程实践的指导作用。 9.1梁纯弯曲时横截面上正应力梁纯弯曲时横截面上正应力 Q M AC、DB段 横力弯曲 CD段 纯弯曲（Q=0

2、） RA=P RB=P 一、梁的剪切变曲与纯弯曲的概念 CD 一）观察变形现象 1、变形现象 2、假设 1）平面假设：横截面变形 前为平面，变形后仍为平 面，只不过绕中性轴转过 了一个角度。 2）单向受力假设：假设各 纵向纤维层间无挤压或拉 伸作用，各纵向纤维只承 受单向拉伸或压缩。 二、梁纯弯曲时横截面上正应力 ? OO 1)横向线m-m,n-n 仍为直线，但转过了 一个微小角度； 2)纵向线a-a,b-b弯成了曲线，但 仍与横向线垂直，且纵向线a-a缩 短了，b-b则伸长了。 CD 3、中性层与中性轴的概念 中性层：既不伸长也不缩短的 一层纤维。 中性轴：中性层与横截面的交线。 9.19.

3、1梁纯弯曲时横截面上正应力 ? O O M M 4.结论1）根据平面假设， 梁变形后横截面仍与各纵 线正交，即横截面上各点 无切应变，所以没有切应 力； 2）根据单向受力假设， 单根纤维只产生轴向拉伸 或压缩，因此横截面上只 有正应力 二二.纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 变形几何关系（分析b-b层）： 。：梁中性层的曲率半径 ? ? ? ?: )(y d ddy bb bbbb y ? ? ? ? ? ? 物理关系： ? ? ?EE y x y ? OO y 中性轴 横截面正应力布图：横截面正应力布图： 静力学关系：静力学关系： :0?X 中性轴通过截面形心）(0 0 ?

4、? ? ? AydAyS dAy E dA y EdAN c A Z AAA ? ? :0? Z M My dAM Z A ? ? ? dAy E dA y yE AA ? ? 2 M ? Z A IdAy? ? 2 令： ? ? y E? 中性轴 ,MI E Z ? ? ? ? y E? y I M Z ? y? 1 ? ? M EI Z ? ? ?M y I Z 条件： ? p1） 2）平面弯曲平面弯曲 为拉应力 下边缘各点下边缘各点 为压应力 上边缘各点 y= 0中性轴上各点=0 ? max ? ? max ? 为压应力 下边缘各点 为拉应力 上边缘各点 上边缘各点 y=0, 中性轴上各

5、点=0 ? max ? ? max ? M 0 时 MM M 5的细长梁的横力弯曲 的正应力计算公式可以近似使用上述 纯弯曲的公式，计算精度能满足一般 工程要求。 五、惯性矩、抗弯截面系数的计算 一）简单截面惯性矩与抗弯截面系数的计算 1、矩形截面惯性矩与抗弯截面系数的计算 66 1212 22 33 hb W bh W hb I bh I yz yz ? ? x y h b 2、圆形截面惯性矩与抗弯截面系数的计算 x y D 32 64 3 4 D WW D II yz yz ? ? ? ? 3、圆环形截面惯性矩与抗弯截面系数的计算 D dD WW D II yz yz ? ? ? ? ?

6、? ,1 32 1 64 4 3 4 4 x y d D 二）组合截面 的惯性矩、平行移轴公式 Zi n i Z II 1? ? AaII ZCZ 2 ? Zc c A a Z1、组合截面 的惯性矩 2、平行移轴公式 例 空心水泥板截面如图示，已知b、h和d，试求 阴影线部分对y轴惯性矩。 4 h 4 h b h 解：分析 阴影线部分对y轴的惯性矩等于矩形面积对y轴 的惯性矩减去两个圆形面积对y轴的惯性矩 圆形矩形 yyy III2? 12 3 bhI y ? 矩形 ) 4 () 4 ( 64 2 2 4 2 dhd AaII ycy ? ? 圆形圆形 )( 3212 ) 6464 (2 12

7、 22 232243 hd dbhdhdbh I y ? ? 9.2弯曲正应力强度条件及应用弯曲正应力强度条件及应用： 1 ）对塑性材料等截面梁： 2) 对塑性材料变截面梁： 3) 对脆性材料等截面梁： ? max max ? M W Z ? max max ? ? ? ? ? ? ? M W Z ? max max ? ? M W Z ? max max ? ? M W Z 中性轴 例 矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm， q=3kN/m ，y k=50mm ，=10MPa，求危险截面 上K点的正应力 k，并校核梁的正应力强度。 2) 内力分析(M图)： 解：1) 外力分

8、析： RR qL kN AB ? 2 4 5 . 危险截面在L/2处。 3) 应力分析： I bh Z ? 3 12 W bh Z ? 2 6 )(6 max 压 MPa I yM Z K K ? )(9 6 8 2 2 max max 拉 MPa bh q W M Z ? ? ? 中性轴 4) 强度校核： 梁的强度足够。 ?MPaMPa109 max ? 例讨论：设h=2b，1）求将梁横放时的最大正应力。 2）梁怎样摆放合理？ 解：梁横放时横截面上最大 正应力 12 3 hb I y ? 6 2 hb W y ? 3 2 2 2 2 2 max max 8 3 24 3 6 8 b q bb

9、 q hb q W M y ? ? ? ? ? 横放 ? b h y 3 2 2 2 max max 16 3 6 8 b q bh q W M Z ? ? ? 竖放 ? 答：梁竖放比横放合理。 2 ）比较横放与竖放时的合理性 中性轴 c 已知铸铁外伸梁(T形)，F 1=3kN，F 2=6.5kN，c为 截面形心，I z=800 10 4 mm 4 ,y 1 =50mm ，y2=82mm， +=35MPa ， - =80MPa, 试校核梁的正应力强度 。 例例 A F1 F2 B 1m2m C C截面 ? c ? ? c ? B截面 ? B ? ? B ? M KNm 4 KNm 3 KNm

10、x 解：1）作弯矩图确定危险截面 mKNFF mKNF B CA ? ? 413923M 31M, 0M 21 1 2）应力分析确定危险点 根据弯矩图画C、B截面的应力分布图 c A F1 F2 B 1m2m C C截面 ? c ? ? c ? B截面 ? B ? ? B ? M KNm 4 KNm 3 KNm x 3）校梁的强度 （拉） 压）：截面 MPa I yM MPa I yM Z c c Z c c 8.30 10800 82103 (8.18 10800 50103 C 4 6 2 m ax 4 6 1 m ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （拉

11、） （压）：截面 MPa I yM MPa I yM Z B B Z B B 25 10800 50104 41 10800 82104 B 4 6 1 m ax 4 6 2 m ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41, 8 .30 maxmaxmaxmax ? ? ? ? ?MPaMPa Bc c 2 y 1 y C截面 ? c ? ? c ? B截面 ? B ? ? B ? 讨论：若将T型倒置，梁内最大拉应力将如何变 化？梁是否安全 注意：1)对于脆性材料必须要同时校核拉、 压正应力强度。 2) 危险截面一般在峰值点或极值点，最好 把各点的拉压最大应力计

12、算出来，进行校 核，不能遗漏。 梁的强度不够。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41 10800 82104 4 6 2 max ? ? MPa I yM Z B B 例.已知铸铁外伸梁 (槽形)，q=10kN/m ，P=20kN， I z=4.0 10 7 mm 4 ,y 1 =60mm,y 2=140mm, +=35MPa ， - =140MPa, 试校核梁的正应力强度 。 1) 外力分析： 2) 内力分析(M图)： 解： MB?0 危险截面B、D。 RkN E ? 5( ) 2) 内力分析(M图)： 危险截面B、D。 3) 危险点的确定： MPa I yM Z bB b70 max

13、? ? ? ? ? 最大压应力点： b或c点。 最大拉应力点：a或d点。 4) 应力分析： ,30maxMPa I yM Z aB a? ? ? ? ? MPa35 I yM Z dD max ? ? ? ? d? 5) 强度校核强度校核： ,maxmax ? ? ? ? b .max max ? ? ? ? d 强度满足。 ,15maxMPa I yM Z cD c? ? ? ? ? B截面: D截面: 例. 钢质悬臂梁如图所示，70MPa， 若横截面为：圆形，正方形，h/b=2 的矩形，工字钢；试分别选择尺寸，并比 较耗费的材料。 AB 2m 20kN/m x M 40kN.m 解：(1)

14、 内力分析(作M图) Mmax=40kN.m (2) 强度计算 W M z max max ? 33 max z mm10235 M W? 圆截面：圆截面： 32 3 d W z ? ? 2 1 14060,8 .133mmAmmd? 正方形：正方形： 6 3 a W z ? 2 2 12570,1 .112mmAmma? h/b=2的矩形的矩形: 3 2 6 32 bbh W z ? 2 9970mmA70.6mm,b 3 ? 工字钢工字钢: 查表，选查表，选20a号工字钢号工字钢 Wz237103mm3，A4=3550mm 2 A1:A2:A3:A4=1 : 0.894 : 0.709 :

15、 0.252 材料耗费比：材料耗费比： 讨论： 1) 对于脆性材料必须要同时校核拉、压正 应力强度。 2) 危险截面一般在峰值点或极值点，最好 把各点的拉压最大应力计算出来，进行校 核，不能遗漏。 9.3弯曲切应力和切应力强度条件： 一) 矩形截面梁的剪应力： 剪应力的两个假设： / Q , 方向相同； 沿宽度均匀分布。 取微段dx，两侧面弯矩M、和M+dM， 距中性轴为y的下面部分两侧面的正应力合力为： ydA I dMM N 1 A Z 2? ? ? ? ? ? ? ? ? MdM I ydA MdM I S Z A Z Z 1 * * z z A z A z 1 S I M ydA I

16、M ydA I M N 11 ? ? 性轴的静距处以外的部分截面对中 YS Z ? * X ? ?00NN 12 ?bdx? )y 4 h ( 2I Q bI QS 2 2 ZZ * Z ? N 1 N 2 ? ?() * QS bI Q I h y Z ZZ 24 2 2讨论： 1) 沿截面高度按抛物线变化。 2) b 为所求的点作水平线的实体宽度。 bh Q y5 . 1, 0 max ? 中性轴上 , max yy? 上、下边缘 0? 矩型截面 max 二二) 工字形截面梁的剪应力：工字形截面梁的剪应力： 腹板上的剪应力计算： 腹板 A Q S I b Q bI QS Z Z Z ? )

17、( * * max ? 上式中，d和A分别为腹板的宽度和面积， Iz为 工字形截面对中性轴的惯性矩，为中性轴 一侧半个工 字型截面面积对中性轴的静矩。对 于轧制的工字钢，式中可由型钢规格表中 查得 * Z S * Z z S I 三三) 圆形截面梁的剪应力：圆形截面梁的剪应力： A Q 3 4 max ? 五五) 剪应力强度条件：剪应力强度条件： * maxmax max ? Z Z bI SQ 四) 圆环形截面梁的剪应力： A Q 2 max ? x y d D Q max x y D Q max 注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控 制，

18、只有在下述几种情况才需要进行剪制，只有在下述几种情况才需要进行剪 应力强度校应力强度校 核核 ： 梁的跨度较短，或在支座附近有较大的载荷作用。在这种 情况下，梁的弯矩较小，而剪力较大； 铆接或焊接的工字型截面梁，当其腹板宽度与其高度的比 值小于型钢的相应比值，这时应对腹板的剪应力进行强度校 核； 经铆接、焊接或胶合而成的梁，应对铆钉、焊缝或胶合面 等一般要进行剪切强度计算； 木梁。因木梁沿顺纹方向的抗剪能力很低，一般要进行剪 切强度计算。 例 由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，尺寸 如图所示。胶合层的拉剪强度较小， =3.4MPa, 试求其许用载荷P，并在此载荷作用下梁中的 max 和相应

19、的 max 。 1) 外力分析： 2) 内力分析(Q、M图)： 解： 3) 求 P ： ? 胶胶 ? QS bI Z Z * . ()PkN ? 383 4) 求最大剪应力 ?max.? 3 2 383 Q bh MPa Sz*=1005050=25000mm3 4) 求最大正应力 3 M )(M max Newmax ? 注：若叠梁的板间接触面光滑无约束，则 每层板承受的弯矩相等。 MPa3063)( maxNewmax ? 9 W )(W z Newz ? MPa W PL Z 102 max ? 例 外伸梁受载及等截面形状如图所示。当梁内最大拉应力 max =50MPa ，求梁中最大剪应

20、力及所在位置。 1) 外力分析： 2) 内力分析(Q、M图)： 解： 3) 求形心位置： y A y A mm c ici i ? ? ? 317 . 4) 求对中性轴的Iz： 44 z mm1034I? RP B ? 4 3 () RP A ? ? 1 3 () z 5) 求P ? ? ? maxmaxmax 1 y I P y I M zz ? NP600? 6) 求SZa * 、 SZmax * Smm Za * ? 7950 3 Smm Zmax * ? 8009 3 7) 求 ?max MPa Ib SQ Za Za a 81. 2 * max ? MPa Ib SQ Zc Z c

21、707. 0 * maxmax ? ? max .? a MPa281 28.3mm)(y max ? ? 9.4提高梁弯曲能力的措施 （工程应用案例工程应用案例） ? max max ? M W Z 控制条件： 1.合理安排梁的受力情况 1). 合理安排支座 b)图的最大弯矩只有a)图的1/5 ? max max ? M W Z a) b) 利用这个原理，工程中如设利用这个原理，工程中如设 计锅炉筒体及吊装长构件时，其 支承点不设在两端，而将支承向 里移0.2L，龙门吊就是按此原理按此原理 设计的。 2). 合理安排载荷合理安排载荷 a)图的最大弯矩是b)图的2倍 图a) 图b) 2. 梁的

22、合理截面形状 1 ）梁的合理摆放 P 图b)竖放 P 图a)横放 因为hb, Wz2Wz1, 所以图b)竖放比图a)横放来的合理 6 2 )( hb w a z ? 6 2 )( bh w bz ? ? max max ? M W Z 2 ）根据截面 的几何特性选择截面的几何形状 （增大单位面积的抗弯截面系数WZ/A） ? max max ? M W Z 上图表说明，槽钢、工字钢上图表说明，槽钢、工字钢WZ/A的值最大，的值最大， 而圆形截面的而圆形截面的WZ/A最小，由此表明，实心圆最小，由此表明，实心圆 截面梁最不经济，槽钢、工字钢截面较为合截面梁最不经济，槽钢、工字钢截面较为合 理。理。

23、由横截面应力分布图可知，为了充分利用由横截面应力分布图可知，为了充分利用 材料，应尽量减小中性轴附近的面积，而使更材料，应尽量减小中性轴附近的面积，而使更 多的面积分布在离中性轴较远的位置。多的面积分布在离中性轴较远的位置。例如工 程中的铁轨、起重机大梁、内燃机连杆等截面 的设计就是运用了这一原理。的设计就是运用了这一原理。 中性轴 a).对塑性材料 ? ? z y 箱型截面矩型截面 工字型截面 2 ）根据材料的特性选择截面的形状 中性轴 b).对脆性材料 对脆性材料 ? ? ? max max max max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y , maxmax maxmax

24、 max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Z mim Z I yM I yM max + max - M 3. 等强度梁的概念等强度梁的概念 )( )( m ax ? xW xM Z )( )( ? xM xWZ? 2 2 6)( )( , )( )( 6 h xM xb xM xb h ? ? ? ? ? ? 3. 等强度梁的概念等强度梁的概念 )( )( m ax ? xW xM Z )( )( ? xM xWZ? b xM xh xM b xh ? ? ? 6)( )(, )( 6 )( 2 ? c) 2 2 6)( )(, )( )( 6h xM xb xM xb h ? ?

25、? ? 通过以上“工程力学”中工程应用案例的 了解，了解， 对“提高弯曲强度的主要措施” 有进一步的认识， 使同学们看到科学知识对工程实践的指导作用。使同学们看到科学知识对工程实践的指导作用。 提高弯曲强度的主要措施， 从弯矩图和截面形状从弯矩图和截面形状 两个方面来说明问题，前者从整体来看，后者是从两个方面来说明问题，前者从整体来看，后者是从 梁的一个截面来看，并在这里提出了等强度梁的概 念，这又是一个启示， 这一节有总结前一阶段所学 内容的意义。 弯曲应力习题课 1 ）三关系推导弯曲正应力公式 2 ）弯曲剪应力公式 3 ）正应力强度条件和剪应力强度条件 y I M Z ? ? QS bI Z Z * max max ? Z W M ? max ? ? ? max ? ? max max * ? QS bI Z Z 塑性材料脆性材料 例 AD梁由两根8