5土木工程测量误差分析

1、 （1） 测量误差的概念 （2） 测量误差产生和分类 （3） 各种误差的基本算法 （4） 误差的传播规律及其在测量中的 应用 （5） 等精度观测误差分析方法 （6） 不等精度观测误差分析方法 5. 测量误差基本知识 5.1.1 测量误差的定义 （1）真误差：多次观测所得到的观测值与未知 量客观存在的真值之间的差值，称为测量的 真误差。 真误差=观测值-真值 （2）最或是值：多次观测值的平均值，也称似 真值 （3）最或是误差：观测值与最或是值之差称为 最或是误差，又称为似真误差。 最或是误差（似真误差）=观测值-最或是值 5.1.2 测量误差来源： 仪器误差、观测误差与外界环境。 5.1 测量误

2、差概述测量误差概述 5.1.3 测量误差分类 按照误差的性质划分：系统误差、偶然误差 及粗差。 （1）系统误差： 在相同观测条件下对某物理量进行一系 列观测，如果 观测误差的正、负符号及数值 大小表现出一致的倾向或保持一定的函数关 系，这种误差称为系统误差。 （2）偶然误差： 也即随机误差。在相同观测条件在对某物理 量进行一系列观测， 观测误差的符号和大小 没有表现出一致的倾向，但就大量观测误差 来看，则具有偶然时间的统计规律。 （3）粗差：测量中的错误 5.1.4 5.1.4 多余观测多余观测 由于观测结果中不可避免地存在着偶然 误差的影响，因此，在测量工作中，为了提 高成果的质量，同时也为

3、了发现和消除误差， 必须进行多余观测，即观测值的个数多于确 定未知量所必须观测的个数 。有了多余观测， 势必在观测结果之间产生矛盾，在测量上称 为不符值，亦称闭合差。 多余观测是发现粗差存在与否以及计算 观测结果中的偶然误差的必要条件。 5.1.5 测量平差及其任务 1. 测量平差 对带有偶然误差的观测成果进行处理的 工作就叫做测量平差。 2. 测量平差的任务： （1）对一系列带有偶然误差的观测 值，运用概率统计的方法与最小二 乘原理来消除它们之间的不符值， 求出未知量的最或然值（亦称最可 靠值或似真值）。 （2）评定测量成果的精度。 （1）有界性 （2）小误差密集性 （3）对称性 （4）抵偿

4、性 描述偶然误差特性的函数： 正态分布曲线。 5.2 偶然误差的特性 2 2 2 2 1 )( ? ? ? ? ?ef 1. 中误差 按有限次观测的偶然求得的标准差称为中误差 m，即 即n次观测偶然误差的平方和。当n趋向于无穷 大时，则中误差变为标准差。而标准差的平 方就是方差2。 5.3 评定偶然误差的指标 ? ? n m ? ? )( 1 i n i x x? ? ? ? ? 其中 2 2. 平均误差： 将多次观测中各次观测真误差的绝对 值的平均值称为平均误差，即 ? ? nn n ? ? ? ? . 21 ? 3. 相对误差 观测误差的绝对值与其对应观测值 真值（或似真值）之比称为 相对

5、误差。相 对误差是个无量纲数，通常化为分子为 1的 形式，即1/M（M为相对误差的分母）。 相对误差是专门用于评价距离测量结 果精度的指标 4. 相对中误差： 观测值中误差的绝对值与 观测值真值（或似真值）之比称为 相对中 误差 ，通常化为分子为1的形式，即 1/M （M为相对中误差的分母）。 4. 极限误差 （1）限差：衡量某一个观测值的质量，决定其取舍。 限差亦称极限误差或允许误差。 （2）限差的选取方法： 通常以规定或预期的中误 差的3倍或2倍作为偶然误差的限值，即 真误差、中误差和极限误差属于绝对误差，其 量纲与被观测量相同。相对误差则则考虑了观测量 本身大小对误差的影响，为无量纲量。

6、 ? ? 2 3 ? ? 限 限 独立观测值?函数值?误差传播定律 5.4.1 线性函数的误差传播规律 设有线性函数z为 则根据偶然误差的特性，可得线性函数的 中误差关系式为 5.4 误差传播定律律 nn xkxkxkz? 2211 222 2 2 2 2 1 2 1 2 nnz mkmkmkm? 5.4.2 非线性函数的误差传播公式 非线形函数一般可表达为 则同样道理可推导得非线性函数的中误差关系 式为 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n z m x f m x f m x f m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ),( 21n xxxfz? 5.4.3 应用误差传播定律的步骤 (1)按性质先列出函数关系式 (2)对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值之间 的关系式 (3)代入误差传播定律公式，计算函数的中误差 ),( 21n xxxfz? n n x x f x x f x x f z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n z m x f m x f m x f m ? ? ? ? ? ? ? ?

8、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意：各观测值独立观测，单位统一 （1）等精度观测：在相同条件下对某物 理量进行的多次观测 （2）直接平差：根据对同一个物理量进 行多次直接观测的结果，按照最小二乘 原理，求其似真值并评定精度的过程， 称为直接平差。包括等精度直接平差和 不等精度直接平差。 5.5 等精度直接平差 （3）最小二乘准则 :对某量进行n次等精度观 测得到n个观测值，由这n个观测值确定的似真 值为x ，则称 为第i个观测值li的改正数。 在满足改正数的平方和为最小的条件下确定观 测量似真值的准则，即称 为最小二乘法。

9、min 2 ? ? i v xlv ii ? 等精度直接平差过程 1.求取物理量的似真值 由 根据最小二乘原理 求导，并令等式为零，则得 结论:（1）等精度观测的算术平均值即为观测量的似 真值 （2）在等精度观测条件下，似真误差的总和为零。 ? ?min)()()( 22 2 2 1 ?xlxlxlvv n ? n l x ? ? ? 022?nxl dx vvd xlv ii ? 2. 观测结果精度评定 （1）观测值中误差： 等精度观测值的中误差定义为 其中 用似真误差代替真误差来求得观测值的中误差 即白塞尔公式 ? ? n m ? ?Xli i ? ? ? 1? ? n vv mxlv i

10、i ? （2）似真值中误差 展开算术平均值（即似真值）得 则根据误差传播定律可得算术平均值的中误差 如下 可见，增加观测次数可以提高似真值的精度。 ? n l n l n l nn l x 111 21 ? nmm n m n m n mx/ 111 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）不等精度观测：在不同条件下对某一物理 量进行的多次观测 （2）表示不等精度观测可靠程度的指标“ 权” 观测条件不同，则各观测值的可靠程度不同， 即质量不同，对测量最后结果的影响也不同。 观测值精度高的所占“比重”应大些，而精 度低的则占“比重

11、”小些。这个“比重”也 就表示了观测值的可靠程度，该比重也就是 “权”系数，用p表示。 5.6 不等精度直接平差不等精度直接平差 5.6.1 加权平均值 设某未知量的n次不等精度观测值为 l1， l2，ln，其相应的权为p 1 ， p 2，pn，则该量的似真值为 ? ? ? ?p pl ppp lplplp x n nn ? ? ? ? ? ? 21 2211 5.6.2 权的定义与单位权 根据权的特征可以将权写为以下形式 当观测值很多时 （1）单位权：中误差等于的观测值，其权必 然等于1，称该权为单位权 （2）单位权中误差：即为单位权中误差 （3）单位权观测值：权等于1的观测值 ), 2 ,

12、 1(ni? 2 2 i i m p ? ? 22 2 2 1 22 2 2 1 21 1 : 1 : 1 : nn n mmmmmm ppp? ? 5.6.3 实用定权方法 （1）水准测量权的确定 由n条不等精度的水准路线测定 Q点的高程。 1）每站观测精度相同 2）每条线路站数不同 3）线路高差中误差与 测站数的关系为 则各路线高差观测值的权可写为 c为可以选定的常数， Ni为第条水准路线上的测站数， 即各条水准路线高差的权与其测站数成反比。 mNm ii ? ), 2 , 1(ni N c p i i ? （2）角度测量权的确定 设对同一角度进行测量 （1）每测回观测精度相同 m （2）

13、对该角度进行k组观测n i则，则各组的算术平均 值中误差分别为 则角度观测权值可取为 可见，角度测量权值与各组观测的测回数成正比。 ), 2 , 1(ki n m m i i ? ), 2 , 1(kicnp ii ? （3）距离丈量时权的确定 丈量了n段距离 （1）单位距离丈量的精度相同 （2）各段观测精度与距离平方根成正比 则距离丈量的权可取为 si为第i段距离的观测值（单位：公里）。 ), 2 , 1(ni s c p i i ? 5.6.4计算观测值中误差计算观测值中误差 1.构造新的观测序列： 这是一组等精度的单位权观测值。 2. 计算新序列的单位权中误差： 由等精度观测值的中误差计算公式可得 ), 2 , 1( nipLL iii ? iii p? ? ? n ? ? ? n p? ? 3. 计算观测值的中误差计算观测值的中误差 用最或是误差来表示的单位权中误差的计算 公式如下 由单位权中误差计算观测值中误差 ? 1? ? n pvv ? 0?pv ), 2 , 1(ni p m i i ? ? 5.6.5 计算加权平均值中误差 展开加权平均值的表达式 根据误差传播理论以及权系数的定义式可以 推导得加权平均值的中误差计算公式 ? ? ? ? ? ? ?