2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变形1第1课时求值问题课件北师大版必修

1、 第1课时求 值 问 题 同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式 平方和 关系公式表达语言叙述 平方关系. 同一个角的正弦、余弦的 等于 1 商数关系 . 同一个角(k 2(kZ)的 正弦、余弦的等于的正切商 sin cos tan sin2+cos2=1 1 1如何理解同角三角函数关系中如何理解同角三角函数关系中“同角同角”的含义？的含义？ 提示： “同角”有两层含义 一是“角相同”， 二是对“任 意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的 表达式无关，如 sin22cos221，sin2 2cos 2 21 等 2 2平方关系对任意平方关系对任意RR均成立，对吗？商数关

2、系呢？均成立，对吗？商数关系呢？ 提示：正确因为对任意R，sin ，cos 都有意义， 所 以 sin2cos21 对任意角R 都成立 而商数关系， sin cos tan 则不然，需保证 cos 0，则 tan 有意义，所以商数关系， 只对R，且k 2(kZ)成立 (2)cos 8 170. sin 1cos21 8 17 215 17， tan sin cos 15 17( 17 8 )15 8 . 当是第三象限角时，sin 0，则 sin 15 17，tan 15 8 . 1 1同角三角函数基本关系式揭示了同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名同角不同名”的的 三角函数的运算规律，其最

3、基本的应用是三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二知一求二” 2 2知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方 运算，应注意角的取值范围当角所在的象限不确定时，要运算，应注意角的取值范围当角所在的象限不确定时，要 注意就角所在的象限分类讨论注意就角所在的象限分类讨论 1 1 多维思考多维思考 若本讲若本讲(2)(2)条件改为条件改为“cos cos m(m0)”m(m0)”， 结果如何？结果如何？ 解：当 m1 时，sin 0，tan sin cos 0； 当 m1 时，由于 m0，所以角为象限角 若为第一或第二象限角，则 sin 1cos

4、2 1m2， tan sin cos m 1m2 . 若为第三或第四象限角，则 sin 1cos2 1m2， tan sin cos m 1m2 . 当是第三象限角时，cos 0，cos 5 5 ， sin cos tan 2 5 5 . (2)sin cos sin cos sin cos cos cos sin cos cos cos tan 1 tan 1 21 21 2 3. sin cos = sin cos sin2cos2= sin cos cos2 sin2cos2 cos2 = tan tan21 2 221 2 5. 1已知角的正切值在求角的正弦值时，应尽量少用平 方关系，

5、一般按以下思路求解： cos2 1 1tan2开方,cos sin . 2本例(2)是已知角的正切值，求关于 sin ，cos 的齐 次式值的问题解决该类问题通常是利用商数关系和平方关 系，将原式化为关于 tan 的表达式，然后整体代入 tan 的值 求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论 用 sin =tan cos 2. 已知 tan()1 2，求： (1)sin cos 的值；(2)2sin21 2cos 2的值 解： (1)由已知得 tan 1 20,是第二或第四象限的角， 则 cos2 cos2 sin2cos2 1 tan21 1 1 2 21 4 5. 当是第二象限

6、角时，cos 2 5 5， sin =tan cos =1 2( 2 5 5)= 5 5 ,sin cos 5 5 ； 当是第四象限角时，cos 2 5 5， sin tan cos 5 5 ，sin cos 5 5 . (2)2sin21 2cos 22sin 21 2cos 2 sin2cos2 2tan21 2 tan21 21 2 21 2 1 2 21 0. sin tan cos 5 5 ，sin cos 5 5 . (2)由 sin cos 1 5，得 12sin cos 1 25. sin cos 12 250. 又 00，cos 0， sin cos sin cos 2 12

7、sin cos 1212 25 7 5. 可得 sin 4 5，cos 3 5，tan sin cos 4 3. 1已知角已知角的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值 时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关 系求解系求解 2sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已三个式子中，已 知其中一个，可以求其他两个，即知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二知一求二”，它们之间的，它们之间的 关系是：关系是：(sin cos )212sin cos ，利用此关系求，利

8、用此关系求sin cos 或或sin cos 的值时，要注意判断它们的符号的值时，要注意判断它们的符号 3已知 sin ，cos 是关于 x 的方程 x2axa0 的两个 根(aR) (1)求 sin 3cos3的值；(2)求 tan 1 tan 的值 解：sin ，cos 是方程 x2axa0 的两个根， sin cos a，且 sin cos a，(sin cos )21 2sin cos .即 a212a，解得 a1 2， 而当 a1 2时，(1 2)24(1 2)12 20， a1 2，则 (1)sin3cos3(sin cos )(1sin cos ) a(1a)(1 2)1(1 2

9、) 22. (2)tan 1 tan sin cos cos sin sin 2cos2 sin cos 1 sin cos 1 a 1 1 21 2. 若 sin A4 5，且 A 是三角形的一个内角，求 5sin A8 15cos A7的值 错解sin A4 5，cos A 1sin2A3 5， 5sin A8 15cos A7 54 58 153 57 6. 错因由 sin A4 5不能确定 A 是锐角或钝角，那么 cos A 就有正、 负两个值， 此解法中忽视开方运算的符号而出现错误 正解sin A4 5，且 A 是三角形的一个内角， A 是锐角或钝角 当 A 为锐角时，cos A 1sin2A3 5. 5sin A8 15cos A7 54 58 153 57 6； 当 A 为钝角时，cos A 1sin2A3 5. 5sin A8 15cos A7 54 58 153 57 3 4. 2已知 sin 4 5，是第三象限角，则 tan 等于( ) A.3 4 B3 4 C.4 3 D4 3 3已知 tan 3，且为三角形的内角，那么 cos 的 值为() A 3B.2 3 3 C1 2 D2 4已知 sin 5 5 ，则 sin2cos2的值为_ 5已知 tan 1 2，则 12sin cos sin2cos2 的值是_ 6已知 sin 42m m5 ，cos m