恒成立问题(2009)

1、恒成立问题(2009)1.(1)若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(亠，垃)，求实数a的取 值范围；(2)若关于x的不等式x2-ax-a ax在1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”. a的取值范围.丙说：参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求3.已知向量a=(x2,x + 1),b= (1-x,t)若函数f(x) = a b在区间(一1,1)上是 增函数，求t的取值范围.4.已知函

2、数 f (x) = x3+3ax-1,g(x)= f(x)-ax-5，其中 f(x )是 f(x )的导函数.(1)对满足-1兰a兰1的一切a的值，都有g(x)0的解集为A，B=x|1 vxc3,AnBH0，求实数a的取值范围.17.已知函数 f(x)=l nx， g(x)=ax2+bx， aH0.2若b=2，且h(x)= f(x)-g(x )存在单调递减区间，求a的取值范围;8. 设X =3是函数f(x) =(x2 +ax+b)ei(x亡R)的一个极值点.(I) 求a与b的关系式(用a表示b )，并求f (x)的单调区间;(n)设a aO，g(x) =(a2 +25用，若存在 q, J 可0

3、,4使得 f(q)-g(J) d成4立，求a的取值范围.9. 已知函数 f(x)=4x 7,x0,1.2 X(1)求f(x)的单调区间和值域;0,1】，总存(2)设a 1，函数 g(x)=x3 3a2x2a,x 0,1】，若对于任意 Xj亡Xo在x 0,1使得g(x0)= f(X1)成立，求a的取值范围.10. 求实数a的取值范围，使得对任意实数X和任意e亡b,-丨，恒有:L 22 2 1(X +3 +2sinScos日)+(x +asin 日 + a cos日)-。811.已知X=1是函数f(x) =mx3-3(m+1)x2 + nx + 1的一个极值点，其中m,n忘R,mcO。( I )求

4、m与n的关系式；(II )求f (x)的单调区间；(III ) 当X- -1,1 时，函数y= f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求m的取值范围.12. 设数列an的前n项和为S，已知a1 = 1, a2= 6, a3= 11,且(5n-8)Sn+ (5n+2)Sn =An + B,n =1,2,3,其中 A,B 为常数.(I)求A与B的值；(n)证明数列an为等差数列;(m)证明不等式75嘉-/0云：1对任何正整数m n都成立.13. 对于满足|a|兰2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的 取值范围。14. 已知函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f

5、(1) = 1，若a,b -1,1】，a+bH0，有 f（a）+f（b）0，（ 1）证明 f（x）在_1,1上的单调性；（2）若a +bf（X） m2 2am+1对所有a亡-1,1恒成立，求m的取值范围。15.16.若函数y = Jmx? +6mx + m+8在R上恒成立，求m的取值范围。已知函数f（X）=X2+ax+3-a，在R上f（x）0恒成立，求a的取值范17.若X忘2,2 时,f（x）3 0恒成立，求a的取值范围。18.若X忘2,2 时,f（x）H2恒成立，求a的取值范围。围。419.若对任意的实数X，sin2x+2kcosx-2k -2c0恒成立，求k的取值范围。分析：这是有关三角函

6、数的二次问题，运用到三角函数的有界性。20.已知函数 f（x） =lg（ax-bx），常数 a1b0，求（1）函数 y = f （x）的定义域；（2）当a、b满足什么条件时f（x）在区间（1,畑）上恒取正。答案:1.（ 1）设f（x）=x2-ax-a.则关于X的不等式x2-ax-aA0的解集为（_cC,+oC）U f（X）：0 在（-叫址）上恒成立二 fmin（x）：0,4a + a 2即 fmin(x)40,解得 -*a0（2）设f（X ）=x2-ax-a .则关于x的不等式x2-ax-a兰-3的解集不是空集二f（x）兰-3在（-叫兄）上能成立二fmin（X）兰-3,即 fmin(X )=-

7、2-3, 解得 a2.4a +a2.关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思 想的反映.设 f(x)=x +25+x -5x ,g(x) =ax.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数,设 f (X ) = x2 +25 + x3 _5x2 ,g(x ) = ax其解法相当于解下面的问题:对于X1亡1,12, X2亡1,12,若f （X1 ）3 g（X2 ）恒成立，求a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目X- 0,12, f （x）g（x）恒成立，求a的取值范围的要求不一致.因而，甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数f（X）

8、=X2 +25+ X3 -5x2的图象和g（x ）=ax的图象,然而,函数f（X ）的图象并不容易作出.由乙的解题思路，本题化为 丄工a在1,12上恒成立，等价于xw 1,12X时，冲.a成立.L X umin-5在x=5- 1,12 时,有最小值10,于是,a,0.3.依定义 f(X)= x2(1 -x) + t(x +1) = -x3 + X2 +tx + t,2则 f(x)=3x +2x+t.f（x :在区间（-1,1）上是增函数等价于fix）。在区间（-1,1）上恒成立;而f TxAO在区间（-1,1）上恒成立又等价于t A3X2 -2x在区间（-1,1）上恒成设 g(x )=3x2

9、-2x,x (-1,1)进而t g（x 在区间（-1,1 ）上恒成立等价于t丸max（X）X-（-1,1）考虑到 g(x )=3x2 -2x,x 忘(一1,1)在卜3上是减函数,在3上是增函数,则gmax(x )= g (-1 )=5.于是，t的取值范围是t5.4.解法1.由题意g(x ) = 3x2-ax + 3a-5，这一问表面上是一个给出参数 a的范围，解不等式g(x)0的问题，实际上，把以x为变量的函数g(x)，改为以a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令半(a) = (3-x)a+3x2 -5， (1a1)，贝U对一1a1，恒有 g(x)0.即W(a)v0，从而转化为对-

10、13兰1，护(a)0恒成立，又由申(a)是a的一次函3x2 -x-2c0,：3x2 +x-8c0.数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需？0F(-1 )0解得-2 x 1.3故X忘-2,1】时，对满足-1兰a兰1的一切a的值，都有g(x)0.I 3丿解法2.考虑不等式g(x) = 3x2-ax + 3a-50.由-1 0 ,于是,不等式的解为a - Ja2 -36a +60a + 晶2 -36a +60x 6但是,这个结果是不正确的，因为没有考虑a的条件，还应进一步完善.为此，设 g(a)=a Ja236a+60,h(a)=a+Ja236a + 606 6不等式化为g(a

11、 Xx h(a ), T a兰1恒成立，即g(a)max 丈 Xh(a 烏兰1.f2由于g(a)=a寸a3 6+a 6在0 -1兰1上是增函数,则2h(a产a+Ja -36a+60在士&兰1上是减函数,则h（a人山=h（1 ）=1.所以,2x 1.3 故X訂-2,1时，对满足-1EaE1的一切a的值，都有g（x） r 在y 0的条件下，恒成立.整理式得 y2r-丄a1于是，本题又等价于式在y 0的条件下，恒成立.即ymin 2r -a11由畑=0得0汕-；，即亡2a1所以,符合条件的最大圆的半径是=丄，最大圆C的方程为2a6. 解法一：由题设，aK0.f(X ) = 0的两个根为Xi =丄一2

12、+2, x2 =J-12,显然，为0.a Y a a V a(1)当 a1= 1 +J2+21= a 2.a V a（2） 当 a。时，A =X X xj,1 6X2V 3台+ J2 + 2 3= a.a V a76J17于是，实数a的取值范围是（-3C，一2）U -解法二:（1）当a cO时，因为f（X ）的图象的对称轴1- 0.二 a 吒 一2. 当 a aO 时，fmax(X),X迂(1,3 )在 f (1 )或 f (3 )实现,6由 f (1)=2a0= a 于是,实数a的取值范围是（亠,7T这个解法的关键是用函数思想指导，学会用函数和变量来思考.17. 只研究第(I )问.b =2

13、 时,h(x)=| nxax22x，22rm【、1c ax +2x-1贝寸 h (x) = 一ax 2 =XX因为函数h（x ）存在单调递减区间，所以h（x）0有解.由题设可知，h（x的定义域是（0,垃）,而h （X ） 0在（0,丘 上有解，就等价于h （X ） 0在区间（0,丘）能成立,即 a 2-2X XZ .12uU.XXxW （0,址）成立，进而等价于a Umin（X）成立，其中由 u(x )=丄-Z X X心1得iW.于是，a -1,由题设aH0,所以a的取值范围是（-1,0归（0,址）8. 本题的第(n)“若存在上2“0,4使得fC1)-g(2)1成立，求a的取值范围.”如何理解

14、这一设问呢？如果函数f(x )在X迂0,4 的值域与g(x )在0,4啲值域的交集非空，则一定存在 Jj0,4使得f(G-gG) 1成立,如果函数f(x)在0,4 的值域与g(x)在X忘0,4 的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由(,函数f (X)在x0,4 的值域为 J(2a 中3 )e3, a + 6,又g (X 在 X亡0,4啲值域为a2中乎,(a2 + 25e4fmax(X)- gmin 以余1 或存在JJ-0,4使得f(q)-g(2)1成立，等价于gmax(X )- fmin 0.9.( 1)对函数f(x)求导，得f(x) =2-4x +16x-7(2x-1

15、)(2x 7)2(2-X)2(2 - X)-a2).1(2,1)时，f(X)是增函数.令Hxro解得x=2或x = 2.可以求得，当x(0,1)时，f (x)是减函数;当X可0,1时，f(x)的值域为-4-3.(2)对函数g(x)求导，得g(x) =3(x2因为 a31，当 X 巳0,1)时，g(x) c3(1-a2) 14答案：aZ211.分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I) n =3m + 6 (II )当厶2m 3m m2 m0，A ( x 1) x (1+): 1(*)m1 x=1 时，(*)化为 01 恒成立， m02 x 工 1 时， X 忘1,1 , 2 x 10运

16、用函数思想将(*)式化为-(x 1) 丄，令t = x 1,则2,0 :， mX T1记g(t) =t-1，则g(t)在区间2,0 是单调增函数;- g(t)min =g3) =一2由(*)式恒成立，必有13=-2223 -=m244-m，又 mv0，则一 mc033综合、2 得送m3m，即 mx?-2(m + 1)x + 20对 x訂1,1恒成立,QQQQ m v0 X2 -三(m+ 1)x +2c0 即 x2 -三(m+ 1)x + 三 1)公式，推故第三问即是证明导得证数列an为等差数列.由于an=1+5(n-1)=5n-4，J5(5mn -4) -J(5m -4)(5n -4) A1对

17、任何正整数 m n恒成立.对此复杂的恒成立 问题，我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：2j(5m -4)(5n -4) v20(m +n) -37，而基本不等式得到：2(5丄4K5：4) 29,而此式对任何正整数 m n都能成立。通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化， 从而将复杂问题简单化。 13.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一 个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2， 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+10,

18、设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有：/(一2)0 即 K 一仆30 解得：x3 或 xjX2-10IX 1或 x-1x3.14.分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性， 第二问中出现了 3个字 母，最终求的是m的范围，所以根据上式将m当作变量，a作为常量，而x则根 据函数的单调性求出f(x)的最大值即可。(1)简证：任取 Xi,X 1,1且 Xi 0/. f(x)在-1,1】上单调递增。(2)解：打f(X) fmax，丁 fmax = f(1) = 1 ”I m? 2am +1 1二 m2 2am0即g(a) 一稣皿。在一1,1】上恒成立。

19、；：! 12 X丄215.分析：该题就转化为被开方数mx2+6mx+m+830在R上恒成立问题，并且 注意对二次项系数的讨论。略解：要使y = Jmx2 + 6mx + m + 8在R上恒成立，即 恒成立。mx2 +6mx + m+ 80 在 R上1 m = 0 时，8 0 ”m = 0 成立2=0 时，!m02A =36m2 -4(m+8)=32m(m-1 )0由 1: 2可知，0m116.分析：y = f(x)的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。略解：A =a2 -4(3-a)=a2 +4a-120.一6a217. f(X)=2I 2丿2-生-a中3，令f(X)在-2,2 上的最小值为g(a)。4当一a 4时，g(a) = f (-2) =7-3a X0 二 a 兰 又寫 aA423二a不存在。aa a2当_2_2兰2，即-4兰泊4时，g(a) = f(m 一匸-*+3二0 _6兰2又打 4a 4 二一4a 2，即 ac4 时，g( a)= f ( 2 #a 二 a -7 又寫 a 42:.-l a -4 总上所述，7aa在2,2 上恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-2,2 时恒大于等于0的问题。略解：f(X)=x2+ax+3-a-2 0，即 f (x) = x2+ax