平面直角坐标系中的距离公式课件北师大版必修二

1、 在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公 式|AB|xBxA|.在平面直角坐标系中，怎么求任意 两点间的距离呢？ 问题1：若两点A(5,1) ，B(6,1) ，它们的距 离是多少呢？ 提示：因为A、B两点所在直线与x轴平行，故 |AB|6(5)|11. 问题问题2：若：若A(x1，y1)，C(x2，y1)， B(x2，y2)，能否求出，能否求出|AC|，|BC|，|AB|? 提示：能，|AC|x2x1|，|BC|y2y1|. 由勾股定理得|AB| |AC|2|BC|2 ?x 2x1? 2?y 2y1? 2. 两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x

2、2，y2)，则有两点A，B的距离公式 |AB| . ?x 2x1? 2?y 2y1? 2 在平面几何中，求点P到直线l的距离的方法是：先 过点P作l的垂线PH，垂足为H，再求PH的长度即可那么， 在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点P(x0，y0)到直 线AxByC0的距离呢？ 问题1：点(x0，y0)到x轴，y轴的距离怎样用坐标表 示？ 提示：点(x0，y0)到x轴的距离是|y0|，点(x0，y0) 到y轴的距离是|x0|. 提示：点(x0，y0)到x轴的距离是|y0|，点(x0，y0)到y轴的距 离是|x0|. 问题2：点(x0，y0)到直线xa，yb的距离是多少？ 提示：|x0a|，|

3、y0b|. 问题3：如何求点到直线的距离呢？ 提示：转化为点点距，即过点作直线的垂线，点与垂足 的距离 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离记为d， 则d . |Ax0By0C| A 2B2 1两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也 可写成|P1P2| ?x 1x2? 2?y 1y2? 2. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|y2y1|. 2应用点到直线的距离公式的注意事项 (1)特别地，当点P0在直线上时，点P0到该直线 的距离为0. (2)在应用此公式时，若给出的

4、直线方程不是一 般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距 离 例1 (1)求直线2xmy20(m0)与两坐标轴 的交点之间的距离；的交点之间的距离； (2)已知点A(a，5)与B(0,10) 间的距离是17，求a 的值； (3)求直线l：yx被两条平行直线xy20和x y40所截得的线段的长度 思路点拨 利用条件确定点的坐标，再代入两点 精解详析精解详析 (1)直线2xmy20与x轴的交点为 (1,0)，与y轴的交点为 (0， 2 m )， 两交点之间的距离为d ?10? 2?0 2 m ? 2 1 4 m 2. (2)由两点间的距离公式可得d 2a2152172， a 8. (3)先求两

5、直线的交点，由 ? ? ? ? ? yx， xy20， 解得交点 为(1,1)，由 ? ? ? ? ? yx， xy40， 解得交点为(2,2) 所求线段的长度为 d ?21? 2?21?2 2. 一点通一点通 两点间的距离公式是利用代数法研 究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何 中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决 1已知点A(1,2)，B(2，7 )，在x轴上求一点 P，使得|PA|PB|，并求|PA|的值 解：设所求的点为P(x,0)，于是有 |PA| ?x1? 2?02?2 x22x5， |PB| ?x2? 2?0 7?2 x24

6、x11， 由|PA|PB|得x1，所以所求点为 P(1,0)，且 |PA| ?11? 2?02?22 2. 2已知ABC中，A(2,1)，B(3，3)，C(2,6)，试判断 ABC的形状 解：解：法一：法一： |AB| ?32? 2?31?2 41， |AC| ?22? 2?61?2 41， 又|BC| ?32? 2?36?2 82， 即AB2AC2BC2，且|AB|AC|， 因此ABC是等腰直角三角形 法二：kAC 61 2?2? 5 4， ， kAB 31 3?2? 4 5， ， kACkAB1，即ABAC. |AB| ?32? 2 ?31? 2 41， |AC| ?22? 2 ?61?

7、2 41， |AB|AC|， 因此ABC是等腰直角三角形 例2 用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一 点求证：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2. 思路点拨 建立坐标系，设出点的坐标，代入已 知化简得 精解详析 分别以AB、AD所在直线 为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x， y)，B(a,0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0) 则|AM|2|CM|2x2y 2(xa)2(yb)2， |BM|2|DM|2(xa)2y2x2(yb)2. |AM|2|CM|2|BM|2|DM|2. 一点通 (1)解析法证明几何问题的步骤： 建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； 进行有

8、关的代数运算； 把代数运算结果“ 翻译” 成几何关系 (2)重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中 没有坐标系，则需要先建立坐标系建立坐标系的原则 是：尽量利用图形中的对称关系 3用解析法证明：等腰梯形的对角线相等 解：已知等腰梯形ABCD，ABDC，AD BC，求证：ACBD. 证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中 点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 设A(a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知 B(a,0)，C(b，c)， 则|AC| ?ba? 2?c0?2 ?ab? 2c2， |BD| ?ba? 2?c0?2 ?ab? 2c2. |AC|BD|. 即等腰梯形的对角线相等 4

9、已知AO是ABC边BC的中线 求证：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2) 证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴 建立直角坐标系，建立直角坐标系， 设B(a,0)，C(a,0)，A(x，y)， 由两点间距离公式得 |AB|2(xa)2y2， |AC|2(xa)2y2， |AB|2|AC|22x22y22a2， |AO|2x2y2， |OC|2a2， |AO|2|OC|2x2y2a2， |AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2). 例3 求点P0(1,2) 到下列直线的距离 (1)2xy100；(2)x2；(3)y10. 思路点拨 解答本题可先将直线方程化为一 般式，然后直接利用点

10、到直线的距离公式求解，对于 (2)(3)题中的特殊直线，也可以借助图像求解 精解详析 (1)由点到直线的距离公式知 d |2?1?210| 221 10 52 5. (2)法一：直线方程化为一般式x20. 由点到直线的距离公式知 d|1022| 1202 3. 法二：直线x2与y轴平行， 由图(1)知d|12|3. (3)法一：由点到直线的距离公式，得 d|1021| 01 1. 法二：直线y10与x轴平行 由图(2)知d|21|1. 一点通一点通 使用点到直线的距离公式时应注意以 下几点 (1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方 程化为一般式，再利用公式求距离 (2)若点P在直线上，点P

11、到直线的距离为零，此 公式仍然适用 (3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而 直接求出，如： 点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|； 点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|； 点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离d|y0 a|； 点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离d|x0 b|. 5求点P(3，2)到下列直线的距离d. (1)3x4y10；(2)y4；(3)x0. 解：(1)根据点到直线的距离公式得 d |334?2?1| 32?4? 2 18 5 . (2)直线y4平行于x轴， d|4(2)|6. (3)d|30|3. 6已知点(a,2)(a0) 到直线

12、xy3的距离为1，求a的 值 解：由点到直线的距离公式得 d|a23| 2 1. 即|a1| 2. 解得a 21或a 21. a0， a 21. 例例4 已知直线l1与l2的方程分别为7x8y90,7x 8y30，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的 距离为d2，且d1 d2 1 2，求直线l的方程 思路点拨思路点拨 设P为l上任一点，根据点到直线的距离 公式求出d1，d2，代入d22d1，化简求解 精解详析精解详析 设P(x，y)为l上任一点 则d1|7x8y9| 7282 ，d2 |7x8y3| 7282 . 由d1 d2 1 2，即d22d1，得 |7x8y3|2|7x8

13、y9| 7x8y32(7x8y9)或7x8y3 2(7x8y9) 化简得l的方程为7x8y210或7x8y50. 一点通一点通 求两条平行直线间的距离有两种思路： (1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的 距离； (2)利用公式d |C1C2| A 2B2 求解，但需注意两直线方程 都化为一般式，且 x，y的系数对应相等 7两条平行直线3x4y0与3x4y50间的距离等 于 _ 解：由两平行线间的距离公式 d|0?5?| 3242 1. 答案：1 8已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离 为 2，求l1的方程 解：法一：因为l1l2， 所以可设l1的方程为xyc0. 在直线l2上取一个点，如(1,0)， 则(1,0)到直线l1的距离为2，从而 |1c| 11 2，