第10章 含有耦合电感的电路总结

1、第第十十章章 含含有有耦耦合合电电感感的的电电路路 重点：重点： 1 互感的概念及意义互感的概念及意义 2 具有耦合电感的正弦交流电路计算具有耦合电感的正弦交流电路计算 3 理想变压器的变量关系理想变压器的变量关系 10.1 互互感感 10.1.1 有关物理知识的复习有关物理知识的复习 1电感与楞次定理 对于单个无限长（磁通均匀）密绕（各 匝均与相同磁通交链）线圈来说，线圈的磁 通仅与其本身交链，与电流的方向关系满足 右手螺旋定则。如果线圈周围的媒质为非铁 磁物质，磁链（= 线圈匝数磁通）与电流 的大小关系为线性关系，在理想情况下（线圈无损耗 R、无电场 C 作用时） ，可以将这种 线圈用电感

2、元件模型来描述： Li 。此时的 L 也称为“自感” 。 2楞次定理 当电感中的电流随着时间变化时，在电感两端会产生感应电压。自感电压的参考 方向选定为与电流方向关联，因此， 其方向也就与磁通方向满足右手螺 旋定则，其大小为：dt di L dt d u 10.1.2 互感的引入互感的引入 互感的物理意义 1111 iL 11 11 1 i变化时 dt di L dt d u 1 1 11 11 1111 iL （ 111 N） 22 2222222 iLN 1 i 2 i 2 i变化时 dt di L dt d u 2 2 22 22 （ 212 N） 12 21212112 iMN 21

3、21 12121 iM 2 i变化时 dt di M dt d u 2 12 12 12 1 i变化时 dt di M dt d u 1 21 21 21 当线 圈 2 形成 闭合 回路 11 21 i2 i1 1 1 2 + u21 - 2 i 图图 10-1 密密绕绕线线圈圈的的磁磁通通与与电电流流 dt di M dt d u dt di M dt d u 2 12 12 12 1 21 21 21 10.1.3 互感互感 1定义 由线圈一中的电流1 i 在线圈二中引起的磁链 21 之间的关系呈线性时，它们之间的比 值为常数，定义它为互感 1 21 21 i M ；同理由线圈二中的电流2

4、 i 在线圈一中引起的磁链 12 之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感 2 12 12 i M 。 2符号及单位 符号M，单位亨利 H。 由于互感具有互易性质，即 1221 MM ，当只有两个线圈耦合时，略去下标，统一使 用 M。 3同名端 1）由于施感电流与互感电压具有一定的一一对应的方向关系，因此在工程上用同名端 （“”或“” ）标注上述对应关系。如下图（a）中，1、2 为同名端，图（b）中， 1、2为同名端。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (a) (b) (a) (b) 2）实验判定 用增大的施感电流注入线圈，则与之耦合的线圈上电位升高

5、的一端为其同名端。 4互感符号的判定 根据同名端即两个电感电流的参考方向来判定。原则判断是当两个电感元件的电流参 考方向均由互感的同名端流入（或流出）时， 0M ；当两个电感元件的电流参考方向一 个由同名端流入，另一个由同名端流出时， 0M 。 如下图中， 0 1 M ， 0 2 M ， 0 3 M ， 0 4 M 1 M1 2 i1 i2 L1 L2 1 2 1 M2 2 i1 i2 L1 L2 1 2 1 M3 2 i1 i2 L1 L2 1 2 1 M4 2 i1 i2 L1 L2 1 2 4耦合系数 k 工程上定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义两个线圈的互感磁通链与自 感磁通量比

6、值的几何平均值为耦合系数，记为 k： 1 | 21 22 1 11 2 22 21 11 12 LL M iL Mi iL Mi k 10.2 具具有有耦耦合合电电感感的的电电路路计计算算 10.2.1 方法一方法一 直接列写方程直接列写方程 1 jM1 2 + + jL1 jL2 _ _ 1 2 1 I 2 I 1 U 2 U 1 jM13 3 + + jL1 jL3 _ jM12 _ jM23 1 3 jL2 2 + - 2 1 I 1 U 2 I 2 U 3 I 3 U 2121 IIU 11 MjLj 3132121 IIIU 11 MjMjLj 121222 IIU MjLj 323

7、121222 IIIU MjMjLj 332231333 IIIU MjMjLj 其中： 1221 MM0 1221 MM ， 0 3113 MM ， 0 3223 MM 10.2.2 方法二方法二 互感消去法互感消去法 如图所示的电路部分可以用相应的消去了互感的电路来取代。 L1 M L2 L1| M | L2| M | | M | L1 L2 L1+| M | L2+| M | M -| M | 10.2.3 例题例题 1互感元件串联后，其等效电感值与两线圈的连接方式有关。下图(a)所示的情况为 顺接串联，图(b)为反接串联，分别求其等效电感。 M + L1 L2 - M + - L1 L

8、2 顺接时 IIIIIIU )2()2()()( 212121 MLLjMjLjLjMjLjMjLj ， 所以等效电感为： MLLL2 21 反接时 IIIIIIU )2()2()()( 212121 MLLjMjLjLjMjLjMjLj ，所以等效电感为： MLLL2 21 因为 0L ，所以 02 21 MLL ，即： )( 2 1 21 LLM 2互感元件并联后，其等效电感值也与两线圈的连接方式有关。分别求下图的等效电 感。 M + L1 L2 _ (a) M + L1 L2 _ (b) (a)中， III IIIIU 21 122211 MjLjMjLj ，所以： )( )( )( )

9、( 21 2 1 2 21 2 2 1 LLM MLj LLM MLj U I U I ，这样： UI )( )2( 21 2 21 LLM MLLj ， MLL MLL j MLLj LLM Z 2)2( )( 21 2 21 21 21 2 I U ，等效电感为： MLL MLL L 2 21 2 21 (b)中， III IIIIU 21 122211 MjLjMjLj ，所以： )( )( )( )( 21 2 1 2 21 2 2 1 LLM MLj LLM MLj U I U I ，这 样： UI )( )2( 21 2 21 LLM MLLj ， MLL MLL j MLLj L

10、LM Z 2)2( )( 21 2 21 21 21 2 I U ，等效电感为： MLL MLL L 2 21 2 21 因为 0L ，而 02 21 MLL ，所以 0 2 21 MLL ，即： 21L LM 。 3已知：电路如图所示， tVucos230 1 1 j10 2 + + j30 j20 _ _ 1 2 1 I 2 I 1 U 2 U 求： （1）付边开路时的电压 （2）付边短路时的电流 解：（1）付边开路，2 I 为零， 102010 301030 22 2 jjj jjj 11 111 IIIU IIIU ，即： 10 3030 2 j j 1 1 IU I ，所以： 10

11、2 U I1 j 即 tVucos210 2 （2）付边短路， 2 U 为零， 02010 0301030 22 2 jj jj IIU IIU 1 11 ，所以 906 . 06 . 0 2 . 1 2 j j I I1 即 Ati)90cos(26 . 0 2 4 已知：电路如图所示，其中电源 Vtu o s ）301000sin(20 求：L1 I ， 2L I iL1 10 20mH + i3 10mH 10mH 20 _ iL2 IL1 10 j20 + I3 j10 j10 20 _ IL2 IL1 10 j20+j10 -j10 + I3 j10 j10+j10 20 _ IL2

12、 方法一 方法二 解：方法一：直接列写方程方法一：直接列写方程 23LL1 III )( 2211LL1L1L1L1 IIIIIU RjXjXR MLS )( 22222LL1LL IIII RjXjX ML 即： o 2 302020)3030( LL1 II j 12 20)2020( LL II j 解得： o 24.28404. 0 L1 I ， o 2 37.81404 . 0 L I 方法二：去耦法方法二：去耦法 去耦电路如图所示。所以可以直接得出结论： )(24.28404 . 0 12163010 3020 )1020/(203010 o o A jjjjj S U IL1 )

13、(37.81404 . 0 4226 24.28404 . 0 201020 1020 o o 12 A jjj j LL II 10.3 空空心心变变压压器器和和理理想想变变压压器器 10.3.1 空心变压器空心变压器 空心变压器即为能够用自感与互感模型抽象的一种实际器件。其模型为 1 2 + R1 R2 + L1 L2 _ _ M 1 2 1 I 2 I 1 U 2 U 1 2 + R1 R2 + RL jL1 jL2 _ _ jXL jM 1 2 1 I 2 I 1 U 2 U 在理解原边、副边、原边回路阻抗、副边回路阻抗，反映（引入）阻抗，原副边等效 电路等基本概念的基础上，用前面有关

14、互感的计算方法来解决其分析。 本节着重介绍有关理想变压器的知识。 10.3.2 理想变压器理想变压器 一、理想变压器的符号 定义变压器的原副线圈的匝数比为变比： 21/ N Nn 二、理想变压器的条件 理想变压器是空心变压器在一定理想条件下的 抽象。 从理论上来说条件有三： 1变压器无损耗 2全耦合耦合系数 1 21 LL M k 31 L 、 2 L 、M为无穷大，但是 21/ L L 为常数且等于变比，即 nLL 21/ 从实际上讲，采用高导磁率的铁磁材料作为铁心，尽量增加线圈匝数，且线圈尽量紧 密耦合的变压器可以使用理想变压器模型。 三、理想变压器的变量关系 1电压关系： n u u 2 1 2电流关系 ni i1 2 1 3阻抗关系 2 2 1 | | n Z Z i1 i2 + + u1 u2 _ _ n ：1 四、理想变压器的应用 1应用变压关系供