线性代数答案人大出版社第四版赵树嫄主编

1、 线性代数习题 ）A 习题一（22t1?t222(1?t)?4t22t1t?1? （1，6）1? 22)t(1?2t1?t?222t?t1?1 1logab （7）0?logb1a2，（3）7 （4）0 4k3，或者4 21kk?0?0?k?1k0k0k1 x31， 522?0且x2x?4x?0,x4x0?10x8,（1）4 （2）7 （3）13 n(n?1) （n-1）+(n-2)+2+1=（4） N( n(n-1)21 ) 210, 列号为3k42l,故k、l可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5. 12，（1）不等于零的项为 1?aaaa4113

2、2234N(234.n1)n?1 ！2 （）n1)a?(.aaaa?!n1)?(?1nn1,?n342312 342153521534215100061230 ）（313，6123000r?cr?c?21212809229092280921000280921000 （4）将各列加到第一列， 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到 11111111?11102122?.?8. 10?111022?0002?1?1?11r?r,r?r,r?r（2 ）132432 （3）各列之和相等，各行加到第一行 18，（3） 20，第一行加到各行得到上三角形行列式， 21，各行之和相等，将各列加到第一列并

3、且提出公因式 x1)(n?Lxxxx1 Lxx0x1LLLLLL从第二行开始各行减去第一行得到 x(1)n?L0xx1xLx1x0x?a,?a,.?a再分别加到第122，最后一列分别乘以，2，n-1列得到上三角形行列式 1?21n23，按第一列展开 最后按第一行展开。列，n-1列加第n第.然后第三列加第二列，将第二列加第一列，24n .a.?1)a?(?1)a(nn12 312123112202x200112?x?r?r?垐垐220x?x?(1?)(4? ）（125，21?垐噲51532123r?r3422x004?19x2?30 ）各行之和相等（2 题类似3）与22（时，代入行列式都会使行列

4、式有两行相同，所以它们都是方）当（420,1,2,3,.n?x? 程的根。0410 014140 212?1?18?306)12?AA?A?(?06)?(?2?A 28，4441424300?0611111111111111 dbcb?A?A?A?A 两行对应成比例，所以为零.其中29,1，314121311bbbbddac 1）加到上一行然后按第一列展开32，从第二行开始每一行乘以（ ，按第一列展开33 ，原方程化为34 1211 1x2312x22?4)x?(?x2)( .x2x002x1x200 1?x111xx00111?x11?x111r?r?21 35,?y1?y1y0110rr?

5、43yy111?1?1111 011011000?1x111?x0022yxxy?xy?0 11001001y00y11?011?解得或者 0y?0x? 111113?12（范德蒙行列式），36 481)?2)(3?1)(32)(3?(2?1)(1?1)(1141918?12737，解 40，（3）D=63，D=63，D=126， D=189 312（6）D=20，D=60，D=-80， D=-20，D=20 4132 9106?22? 3?322?4?221?4?1 42，30?3?3?5018?222058?18?22 原方程仅有零解。 01k?22k120?31?1?k1k?3k?k4?

6、0?，令43 61)?k?(?2)(k?2?21111 得 或；故当或 时原齐次方程组有非零解。4?k4k1?k1?k44，原齐次方程组的系数行列式 即当且时原齐次方程组仅有零解。 1?k2?k ）A习题二（1315?BA?28238）（12 ，?13937?141387?3B52A252） （ 2?2651?311?1?Ax?B?40?40） （3?53?3?1? （4）由(2AY)+2(BY)=0得 3Y=2（A+B） 1010?22? 333553?2442?2020 )?B(Y?A0?0? ?3333?3311?22?22 ?33?x?2u?32v?4?得方程组3，因为 0?BA?2?

7、C?y?vy?7?4?x2?x?2u?3?0?x?2y?7?解得x5，y6，u4，v2 ?2v?4?0?0?4?v?y?1104?5，（2） ?143?123?642）3 14 （?963?10?5117629?15 （7 ）?161532?20?ac25ac4?6?11，（1）设，则 X?bd13bd21?2a?5b2c?5d4?6?，得到方程组 ?1bd2c?3a?3?a?22a?5b?4?解得， ?b?0a?3b?2?2c?5d?6c?23?与解得. ?c?3d?1d?8?223?. X?80?542?X524）（2 ?497?x11?1x2?Xy3?y1?21）设， ，3 （?z611

8、1z?x?y?z?2x?11?3Xy3?3?2x?y?z于是. ，解得 ?2z?26y?z?x?ab11abab11?13设所有可交换的矩阵为则， ?X?c0cd011dcd?a?ba?cb?daa?bab?解得从而. ?X?c?0dc?dcca0?d?a?n1111111111? .3）因为，所以16，（?0000000000?221111111? ）因为用数学归纳法可以推得 （4?10110010?nn111? .?1010?21211111112?2? ）因为故可以推出 （5?1111111221?n11111111?1n? . 2?.?11111111?334m?m)?A?mm?mA?

9、(? ，20 TTnTnn?1 . 21，mA2?(2m)2AA?2mATTTTTTTA(AA)(AA)?A?为对称矩阵.，因为 ，所以28AATTTTTTTAA?AAA()?()A .因为，所以为对称矩阵AA?21?AB?AAABABBB?411122122121?，其中 31, (1)，原矩阵为?AAB?AABABB0?414432334?23?1?20?21?210101?； ?B?A?BA?1AB?114122?11112101?111?0?； 3?03?AB?131?1?； 2?012AB?AB?30?2?43420?aI0IcI?，则有 （3），记原矩阵为?bII0dI?00aac

10、?ac00a? ?0?1bd0c?c100?bd?33， A?2AA?4AAA4A?2A?33112233?1abd?bab ?1 （2，所以.）因为34，?0?bc?ad? dcca?dcbc?ad?1431?4?3?*?1?535?3AA?11?1A?.，故可逆，）因为（. 4 ?41?46?1?6?A?aa.a?0,故可逆.）因为（6 n12A?aa.aaa(i?12.n) , n1?i1?i21ii1?0? ?0aaa.a?1n23?*1?. ,OO ?A?A?01aa.a0?12n1? ?a?n?123?4?6254?63?52? .40, (1)?X?321121?1208?11?

11、01?54?11311?11132 ?22? (2)435?02?11?1?2X?243?421?145312?971251?11?1? 22?11?0? 331?2111?12?111?. (3)333?X?1?21? ?632?266111?11?0? ?22?22,得到 42, 由I?X?AX?IAA?X?AX)?I?I)(AA(?I)X?(A20?1?140A?I?X? .?202?12k?1k?AI?)?A?A?.A?IIII(?A)(?A)I?(?A)(. 44, 两边同乘以2?2A?4IA?0得到,于是可逆并且由45, I?3I)?)(A?IAI?A?1?A?)(A?I3I. ?

12、1 51, ,因为2?A 12216 ?1?13?1*?11 . ?A?A?A?(A?2AA?(3A)?2 333271 T?1?1?1T3?1. 52, 12?3?(2B(A?8)?(?2(A2)B?)BA? 2 53, (3),初等行变换得到00113113?10?003?1?00 . (6),?00?501210? 54, (1) 3?11100410102?rr?rr?43?0?10?5011011?1 ,3224?r?r31r?4?1?6?416001100?3?1?3?2231?4?3?110?1?5? .所以?121164?0311201013?57100100?01203000

13、12301010? (4), ?0102020010010010?1100000000010010?201311?0001?1?2000101? ,?210?01000?10000100?1?2011?7?13513?122103?10? .?20210010?10010000?4154415420041002?,55, (1), ?4?15026158004015?4?02?1?. ?B?AX?45?11?1111?111013?6?10?02?52002?52 (2), ?212010130?122?10091009?14?1?000?160?, ?6?0001?0141?9?1?14BX

14、?A?. ?6?1013011013011005?2?2?2?3012?1?1?10?4?11?01100?1, 56, ?34201012?01?22302001?22?5?1?2?I)4?A?3AB?(?2 .?32?2?43431212?1?1?2454?10 2.57, (1) ,秩为?002100110? (3)1?1?11110?21021011?12021?00000000000022?240103秩为 ?0400?1300000?4?41?036100?00003030010013000010?3. (4)秩为3. 111111?01?1012初等行变换得到58, 2必有 ,因

15、为秩为?110?230?. , 1?01?111111101?， 59112a?100?00?1?00?1231001aa? 当当 3A)?a?1,r(a?1,r(A)?2;211?1211?1?A421a2?10a?1?60, , ?0131b4b?6?4?因为,所以第二第三两行成比例从而得到 2A)?r(4b?6?4?解得, 2?b?a?1 a?142 ）A习题三（1， 用消元法解下列线性方程组 2x?x?3x?3?312?3x?x?5x?0?123（1） ?4x?x?x?3?312?x?3x?13x?6?312 解313?13?613?132?13?613?13?6?3158341?50

16、031?50?180?3?A,b)(?2713027?1353534?113014?13?150?372915729013?13?6?2?13?1?631?13?613?13?63?13?301?1?5?3501?5?3?0? ，回代， ?000101?12?121100?0000?006?61100?1130013?610213?x?1?12010?015?015?3?3?x?2? ，方程组有唯一解：?2?010011100101?x?1?3000000000000?1x?x2x?x?4213?1?x?x?x?2x （2）?4321?5x?xx?2?x?5?41231221?1111?211

17、11?11?200?000?222?1)(A,b?21110 ，解：?100600?400001?12?55? 系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解?1?xx?xx?4132? 3 （）0x?xxx?4312?1?2?x?2x?xx? 41232? ，）A（ 解： 1?001?1? 112?x?x?x?x? 11221?22?，得到同解方程组 101?0? ?112?x?xx?x? 4343?000002?2?设x?c，x?c，则得到一般解为 2124x?x?3x?x?0?5142?x?x?2x?x?0?3412 6） （?4x?2x?6x?3x?4x?0?52143?2x?4x?

18、2x?4x?7x?0?51432解：A 7?30?11?10?011? 6?1?5?0?11?1? ?00?112? ? ，得到同解的方程组6?1?1?0001? ?10003? ?3?00000?00000?77?x?x?x?0x?x?x? 13553166?55?x?cx?c， ， ， 令x?xx?x?0xx? 231525532366?11?x?x?0x?x? 545433?7?x?c?c? 1126?5?c?cx ?2126?得到 c?x?13?1?x?c 243?x?c25?2， 确定a,b的值使下列线性方程组有解，并求其解 ?ax?x?x?1321?（2） ax?ax?x?312?

19、2x?x?ax?a?312a11 2(a1)?2)a1?(a?1 方程的系数行列式D=解： 11a当且时，,方程有唯一解, ?a0Da?2? 1a1111221)D?1?(a?Da1)(aa?1?(a1)a1?， ，2122a1aa1a1?a?x? 1a?2 11a?1?221)a?1)?(D?1aa?a，于是得 ?x? 322?a?2a11?2a+2a1x? 32?a?x?x?x?1xxx1 当，方程组有无穷多解，方程组为,时1a?321321x?c?c+1?211?x?c ；?12?x?c?32?2x?x?x?1?312?x?2x?x?2，其增广矩阵为当时，方程组为 2a?312?x?x?

20、2x?4?123?2111?2111?2?21?211?1?2） b（A，r(A)=2,r(A，b)=3,方程组无 ，?30?240011?解 ax?bx?2x?1?312?(b?1)x?x?0 补充，?32?ax?bx?(1?b)x?3?2b?132b21ab21a?b)0(A,0b?110?0b11解： ?0a?2b0?1?bbb1?b3?22?当a?0,b?1时有唯一解，此时，增广矩阵为 5?b5?3b5?b?x?a00ab0? 1 )a(?22b22? ；，解为0?1?x10b? ?2b1b1b1?b22b22b22?x0000? 3?b1b1b1?c?x? 1a?时b=10,且?ax

21、?c 当有无穷多解，,?2?x?0?3?x?c?1?x?1 当有无穷多解，1a?0,且b=?2?x?0?3x?c?1?1?有无穷多解， ?x1-0,且b=a? 23?x?0?3? 3, (1) (23,18,17)4?5?3?24213?(12,12,11)?2?5? (2) 4321?， ，（1）49)?4,0,?5,?(?1,5,2,0)?(3,5,7,9)=?-(1351127? （2）)5,?(7,?)?(3,5,7,9)?(=(3?51,5,2,0) 22222?kk?k， 16，（）（a）设312132k(1,0,1)?k(1,1,1)?k(0,?1,?1)?(3,5,?6) 得3

22、21110k3?1?11?5k0化为方程组 ， ?2?6k11?1?3?914?11? 312TTTT?进行初等行变换： b）对矩阵 （?32100?1111310?101451?001 可得?091?11?016?5?2） （242319，由题设得到 11?0? 221?1?11111?1111111?1?1?1?111? ，0? 2222?222?1?111?11?1133333?0 ?22?111111? 即 ，? 32321311222222210?2?1?231?23?5?，可知 （1）矩阵为 10，?0?02?5?102?5? 2?1020?25?000?5? ；线性相关 ?2?

23、2312233312121?31?0020?12?11? （，线性无关2）矩阵为?12037?20000?0?101010?43?11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于 aaLa?0，线性无关 nn2211?0?12?11?0?11，由对应向量构成的矩阵12 ，?22?01?3?33 1?21?013?1 线性相关, ，312000?,令 13, 证明:0)?.)?.?kk(?k(?)?k(s111222311s23?.整理得到 0?.?k?(k?.?k)?(k?.?k)s12ss1s2?,.,线性无关, 所以有 因为s12k?.?k?0k?0?s11?k?00?k?k?.?s22?,.,?,

24、?.线性无关., 解得, 从而向量组 ?s11122.?k?0k?0?ss 12k?k?6?2k0?k0k=3,-2 14，令1?11k?3且k?-2k=3或-2时，线性相关当时，线性无关；当 TTTT?施以初等行变换，得到16，（1）对矩阵 ?A?432120010021?01?10110?0? ，?00130130?1?0001?100?2?3,? 是极大线性无关组，1432321TTTT?施以初等行变换，得到 （2）对矩阵?A?4321?4?, , 是极大线性无关组3214321TTTT?施以初等行变换，得到 17，对?A?4312?11?15?1?15?11?15?1?7?470211

25、?23?012? ）1（ ?2?4?7013?182?0000?13?9704?148?0000?3?101? 2?773?21?0?，,是极大线性无关组；并且， ? ? 21213222?0000?0000? 2?214111?31114?3141?202?1?2?1310?22?62?1?1103? 2）（?1?3210?135?5100000?2316056?7?22?00000?,?23?2 是极大线性无关组；并且 ，2121112532420，（1）对系数矩阵进行变换得 1?24?71?24?71000?21?2A1510?101?2?005? 得方程组?10012?400002?3

26、?x?00?1x?0x?0?112x?2?2x?2x?0?x?2x?Vx?1, 即为基础解系 得 令?32323?1x?1?30x?x?0?4400x?41211112111?5340521123? (2) ?)(Ab?5440421123?0251220110?17?100? 8211112?51?00101010? 得方程组 ?82?05084?51?01000000? ?82?00000?171?x?x?xx? 5411822?1x?151?4 令 ：得到 x?x?xx? 2524x?0282?5115?x?x?x?x? 3345282?71? 872?x? 1518? 0?x?825?

27、4 于是基础解系为 再令得到?x?,? 125211x?8?5 ?285?x? 1308?01?1?11211?1121?333?051211?1? (3) ?Ab)(?6?695?556071?5?2231?21?105?10?1?1110000?0111?100010?得到方程组 ?01?00101001?1?01?1?002001?0?x?0?10?0?x?2令得，得到基础解系为 ?1x?x?10?45x?0?31?x?x?451?23，对系数或增广矩阵进行变换得 2?11?1204?7200?15?12?210000?2?10?31?得方程组（1） ?213?6100?60310?00

28、52?2?2000000?x?15c?12x?15x?02x?15x?4411x?24c?2x12x?x?0?x?12c2x? ，令得到 ?44242x?4c?3xx?x?02x?2?3443x?2c?415?24?c?v，其中c基础解系为为任意常数 ?4?2?111171110117?0001?3?3221000? （2）?23612223260010?010005?433?1120?100?1?5?16?000000?得方程组 ?2361002?010000?x?x?5x?16x?x?5x?16?541415?x?2x?6x?23?x?2x?6x?23， ?542245?x?00x?33x

29、?x?5x?514?x?2x?6x 对应的齐次线性方程组为?542?x?0?3x?16?1?x?23?2x?0?4x?0，令，得特解 ?3x?0?5x?0?4?x?0?5x?1?1?x?2?21?x?4x?0，得 再令?3x?0?5x?1?4?x?0?5x?515?1?6x?6?2?2x?0?4?0x? , ，得基础解系为,00?3x?1?5100x?4?10?x?1?5?1615?6?232?cc为任意常数，其中原方程组的通解为 ， cU?c?0001221?010?100?135401135401?212200131132?rr?,?rr (3)， ?）?Ab（21105123131412

30、31r?r,?rr?1541450311174112?212111114013? 得到方程组1?1? x?x2?0? 51?21?1?1? ?xx1?2? 52，基础解系，特解 ?02?0?0?x?1?3?1?1?0? 1xx2? 542?1?1? 20?1?1? 2 于是全部解是?)?Rc(c0?0?1?1?0? 2?1?2111?112?31?01?A,b)?21?121?1?10( 24, ?2?3?13111?13?201?21?111?2?001?01110 如论讨 ?2?）?）（300（1）（100223（）?1? 下：? 当时，方程组无解；1） （2?1且?2 时有唯一解；（2）

31、 当 当时有无穷多解：此时方程组为） （32?xxx 基础解系为321211?01，0 ，特解为，全部解为?001?211?(c,0cc1为任意实数?c0) ?1212?100?25，将增广矩阵化为T阵，得 1?1000a?11?1a000?1a?11000?200?a110?2?a?010103? ，可知0?001a1?3a1?0001?4?0a0011?4?5i?10a000?0a0010?i5?1i?i?5?a 当且仅当0时方程组有解；一般解为i1i?x?a?a?a?a?c?42113x?a?a?a?a?x?514132x?a?a?a?c?4232x?a?a?ax?22345x?a?a?c 即（为任