矩阵的秩与其求法

1、1 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 第四节 矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵 2 1. k阶子式 定义1 设 ? ? nm ij aA ? ? 在A中任取k 行k 列交叉 ? ),min1 (nmkk? 称为A的一个k 阶子式。阶行列式， 处元素按原相对位置组成的 一、矩阵的秩的概念 3 设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1101 4564 1321 A ， 例如 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为 10 12 2 ? ? ?D 而 101 564 321 3 ? ?D 为 A 的一个三阶子式。 显然， nm? 矩阵 A 共有

2、k n k m cc 个 k阶子式。 4 2. 矩阵的秩 ? ? nm ij aA ? ?设 ，有r阶子式不为0，任何r+1 阶 记作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 , 定义2 称r为矩阵A的秩， 5 规定： 零矩阵的秩为 0. 注意：(1)如R ( A ) = r，则A 中至少有一个 r阶子 式0, r D ?所有r + 1阶子式为0，且更高阶 子式均为 0 ，r 是 A中非零的子式的最高阶数 . (2)由行列式的性质，( )(). T RARA? (3)R(A ) m , R(A) n, 0 R(A) min m , n . (4) 如果 A nn , 且 0,A ? 则

3、 R ( A ) = n. 反之，如 R ( A) = n,则0.A ? 因此，方阵 A可逆的充分必要条件是R ( A ) = n. 6 二、矩阵秩的求法 1 、子式判别法(定义)。 例1 设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0000 0720 4321 B为阶梯形矩阵，求R(B)。 解0 20 21 ? ， 由于 存在一个二阶子式不为 0 ，而 任何三阶子式全为0 ， 则R(B) = 2 . 结论：阶梯形矩阵的秩 =台阶数。 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0100 1010 0321 A ? ? 3?AR ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 10

4、21 B ? ? 2?BR 例如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 011 C ? ? 3?CR 125 034 000 D ? ? ? ? ? ? ? ?2R D ? 21235 08153 00072 00000 E ? ? ? ? ? ? ? ? ?3R E ? 一般地， 行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数” 非零行的行数。 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a A 11 11 11 ? ? ,3?AR如果 1?a 求 a . 解 ? ? 3?AR? a a a A 11 11 11 ?0) 1)(2( 2 ?aa 或 2?a 例2 设 9 ?

5、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K K K K A 111 111 111 111 ? ? 3?AR 则?K3 ? 例3 ? 3 1 111 111 3(1)(3) 1 11 1 11 K AKKK K K ? 10 2、用初等变换法求矩阵的秩 定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩 。 即 BA? 则)()( BRAR? 说明： ji rr ?. 1 只改变子行列式的符号。 i rk. 2 是 A 中对应子式的 k 倍。 ji krr ?. 3 是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 nm A ? 都等价 于行阶梯矩阵。 其秩等于它的非零行的行数，即为

6、? ?.AR 所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。 11 例4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2111 6312 4201 A 解 R(A) = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0000 2110 4201 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2110 2110 4201 13 rr ? ? ? 12 2r r A 求? ?.AR 12 ? ? ?,2, 635 213 2111 ，求）（且设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ARA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4

7、580 4430 2111 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 635 213 2111 ? ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0150 4430 2111 ? ? , 2)(?AR? 1, 5? 01, 05? ? 例5 13 三、满秩矩阵 ? ? , n AR? 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） ? ? , n AR? 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：? ?0?AnAR A 为 n 阶方阵时， 定义3 14 定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵 ., 21s PPP?使得 EAPPPP ss ? ?121 ,? 对于满秩方阵A施行初

8、等行变换可以化为单位阵 E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘 A, 由此得到下面的 定理 15 例如 它的行最简形是 n 阶单位阵 E . ? ?EAnAR ? ? ? n EAnAR? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 213 212 321 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 320 430 321 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 320 110 001 E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 ? ? 3?AR 对于满秩矩阵A， A为满秩方阵。 16 定理5 R(AB ) ? R(A), ? R(AB ) R(B),即 R(AB ) ?minR(A)，R(B)。 关于矩阵的秩的一些重要结论： 性质1 设A是 nm ? 矩阵， ).()()(ABRnBRAR? B是 tn? 矩阵， 性质2 如果 A B= 0 则.)()(nBRAR? 性质3如果 R(A)= n, 如果 A B= 0 则 B = 0 。 性质4设A,B 均为nm ? 矩阵，则 )