积分形式的基本方程2流体力学[文字可编辑]

1、固定不变形的控制体CV,控制面为CS 设=v, 流体系统动量 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 由牛顿第二定律 F为作用在流体系统上的所有外力之合力 sys d d d dd sys tt ? ? p vF B4.4.1 固定的控制体 由输运公式可得系统动量在控制体上的随体导数 B4.4.1 固定的控制体(4-1) ? s ys d D ddd dD s ys CVCS A ttt ? ? ? ? p vvv v n sys sys d? ? pv 对固定控制体的流体动量方程为 v为绝对速度。定常流动时 上式表明:定常流动时,作用在固定控制体上的合外力 从控制面上净流出的动量流量 ? ?

2、CS d)(FnvvA? CVCS ()d)d(A t ? ? ? ? ? vv v n ? ?F B4.4.1 固定的控制体(4-2) 1. 沿流管的定常流动 通常取1=2=1 。由一维定常流动连续性方程 可得一维定常流动动量方程 CS = 流管侧面 + A1 + A2 21 ()m? ? VVF 21 mmm? Ad)( CS nvv? ? ? A AA d)()( 12 nvv? ? ? m AA ?d( 12 )v ? ? 222111 mm?VV B4.4.1 固定的控制体固定的控制体(4-3) 2. 具有多个一维出入口的控制体 注意:(1) 控制体的选取 outin ()() ii

3、 mm? ? ii VVF (3) 或 代表流出平均速度矢量 2 V out V 或 代表流入平均速度矢量 1 V i n V (4) 动量方程中的负号是方程本身具有的, 和 在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关 out V in V (5) 包含所有外力(大气压强见例B4.4.1). ? F B4.4.1 固定的控制体固定的控制体(4-4) i m(2) 为各出入口质量流量大小 例B4.4.1收缩喷管受力分析：关于大气压强合力(3-1) 已知: 下图示喷管流 求：固定喷管的力F 解： 1.大气压强作用 取右上图示控制体(1) (喷管水流) 取右图示控制体(2) (喷管) 0d CS atm

4、atm ? ?ApF ? ? 内外 AAdd atmatm ppRFF RF? R为扣除大气压作用的水流对喷管的作用力 例B4.4.1收缩喷管受力分析：关于大气压强合力(3-2) 取图示控制体(3) (水流) 作用在控制体(3)上的作用力为 R?与 大小相等,方向相反。 R-? 2.用控制体(1)求解本例 忽略重力,运用连续性方程 0033 QV AV A? 03 3. 144m/s28. 294m/sVV?，用伯努利方程,取 1= 2= 1。已知 ? ? ? A Ad atm pR- 0 以上均可不考虑大气压强作用, 为表压强。 0 p 例例B4.4.1B4.4.1收缩喷管受力分析：关于大气

5、压强合力(3-3) (3-3) 因p3 = 0 22322 030 11 ()10(28.2943.144 )395332.85Pa 22 pVV? 由动量方程及 , ,可得 Qm? ? 300033 Q VVFp Ap A? ? 0030 ()FA Q VV? 2514.3-(565.88-62.88) 2514.3-503 2011.3N ? 3.144)(28.2940.02100.00636395332.85 3 ? ? 3 2 30 2 0 22 pV pV ? 例例B4.4.1AB4.4.1A主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程(2-1) 已知: : 图示人主动脉弓,条件及所取控制

6、体CV均与例B4.2.1相同,设血液 的密度为=1055 kg/m3 解： 建立坐标系oxy 如图所示 求： 从控制体净流出的动量流量 )Vm( ? ? ? inioutiiouti mmm)()()( i VVV? 1155443322 )(VVVVVmmmmm? 223 344551 1 (QVQVQVQV )- QV? 123451 ( 0. 110. 070. 0 40. 7 8)QVVVVV? 例B4.4.1A主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程(2-2) 讨论： 计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主 动脉弓壁的冲击力很小。 (mV)y=Q1 (0.11V 2 c

7、os16+ 0.07V3 cos6+ 0.04 V4 cos230.78V5 V1 ) = 0.1055(0.1111.60.9613+0.0718.20.9945 +0.0480.9205 0.7824.820.4)10 - 2 = 0.039 N (mV) x =Q1 (0.11V 2 sin16+ 0.07V3 sin6+ 0.04V4 sin23) =0.1055(0.1111.60.2756+0.0718.20.1045 +0.0480.3907)10-2 净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为 = 110 4 N 例B4.4.1B弯曲喷管受力分析：压强合力的影响(3-1) 已知:

8、 设固定的收缩管的前半部向下弯曲设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为, A 0=0.00636m 2, Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用， 求： (1)水流对喷管的作用力F 的表达式 (2)若=30,求水流对喷管的作用力 解：1. 取只包含水流的控制体CV， 2.建立如图所示坐标系Oxy。 3.由一维不可压缩流体连续性方程 3 0 22 00 44(0. 02m /s) 3. 14m/s 3. 14(0. 09m) QQ V Ad? ? 2 0 30 2 3 81 (3. 144m/s)28. 29m/s 4 d VV d ? Qm? 4.由

9、伯努利方程 22 0033 22 VpVp ? ? 因p3=0, p0=395332.85Pa(与例B4.4.1相同) 5.由一维定常流动动量方程 ? ?FVV)( inout m ? 设水对喷管的作用力F 如图所示。对控制体的合外力包括喷管对水流的 反作用力F 和压强合力。入口截面压强为p0 (表压强,方向沿x轴向）， 出口截面压强为零： iFF 00 Ap? ? (1)F 的表达式为 )( 0300 VViF?QAp? (2)设=30,F在x ,y 方向的分量式为 例例B4.4.1B弯曲喷管受力分析：压强合力的影响(3-2) ? 33 sinsin y FQVQV? ? 3 100 02

10、28 29 sin30282 9N .? ? 0030 cos x Fp AQ VV? ? 3 3952323 0 00636 100 02 28 29cos303 14.? 25143 4272220871N . ? 压强合力 动量变化 例例B4.4.1B弯曲喷管受力分析：压强合力的影响(3-3) 讨论： (1) 一般可不必考虑大气压强作用，压强用表压强即可。 (2)F的方向可任意设定，计算值为正说明设定正确。固定喷管的 力通过喷管直接作用在水流上，与本例F大小相等，方向相反。 (3) 结果表明喷管受力中压强占主要成分,流体动量变化引起的力 占次要成分.当角改变时,压强合力保持不变,仅动量变

11、化引起力 的改变,且占的比例较小.如在F x中动量变化占的比例在= 83.62 时为零,在=180时为最大值,占25% . 已知: 水流截面积A 1=40cm2,速度V1=45m/s.设水流沿导流片偏转一角度 后流出,忽略质量力和摩擦力. 求： 射流对固定导流片的作用力F与角的关系 因p1=p2=0,故V 1=V2=V.由不可压缩条件可得A1=A2=A.质流量为 例B4.4.1C自由射流冲击固定导流片：偏射角的影响(3-1) 12 34 1045 40 10180m/sm mmQVA ? ? 22 1122 22 VpVp ? 解：建立坐标系oxy ，取控制体CV为沿导流片内壁面上的区域，如图

12、所 示。射流按一维 流动处理,设出口速度为V 2,由伯努利方程可得 CV ? F 设F F 如图所示,控制体所受的合外力为-F ,由动量方程式可得 例例B4.4.1C自由射流冲击固定导流片：偏射角的影响(3-2) 11 tg() tgsin (1 cos )F /F yx ? ? ? 22 81002(1 cos) FFF xy ? =18045(1 cos)= 8100 (1 cos) 21 ()m?VVF F =VA（V1V2） 2 (cos )(1-cos )FVA V-VV A x ? 2 sinsin8100sinFVAVV A y ? CV ? F 例B4.4.1C自由射流冲击固定

13、导流片：偏射角的影响(3-3) 讨论： 本例中水流对导流片的作用力完全由出入口的动量变化决定. F x , Fy及与的关系如图所示,随着角的增大,力F 逐渐增大, 方向从y轴负向(=0)逐渐转到x轴正向(=180)。 求：圆管入口段上的压强损失系数Cp 解： 取控制面CS如图示，动量方程为 例例B4.4.1D 圆管入口段受力分析：速度分布的影响(3-1) 已知: 半径为R的圆管内,在x=0处 ,在x=L 处速度分布发展为抛物 , 0 ppUu?, )1 (2 2 2 R r Uu? 压强为 。设壁管上的粘性应力为(x). L p p ? 0 2 1 2 L p pp C U ? ? 2 00

14、0 AA ()d()2d L L L v v nAppR Rx? ? ? (a) ? 222 0 00 2d()2()2d RL LLL uUrrpp R RL Rx? ? (b) L 为 x=L 处的切应力.将( b )式整理为 例B4.4.1D 圆管入口段受力分析：速度分布的影响(3-2) R U r u Rr ? ? 4 d d L ? ? 第三项可用数值积分法算得为0.643。将以上结果代入(c )式整理得 第一项为 d L Red L Ud R L UR R L U d 2 L 6464282 2 1 ? 第二项为 2 2 2 22 00 442 1d11d 3 RR ur rrrr

15、 RURR ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 22 o0 22 244 1dd 11 22 RL LLL p ppLu Cr rx RRURU UU ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c) 例例B4.4.1D 圆管入口段受力分析：速度分布的影响(3-3) 第三项可用数值积分法算得为0.643。将以上结果代入(c )式整理得 6 4 1. 3 1, pd d LUd CRe Re d ? 讨论： 设x = L处的速度分布为任意函数 u (r) , (c )式总可表为 0 2 1 2 L p ppL CK d U ? ? ? ? 上式中L / d为xL段中的压强损失，

16、K为入口段中附加的压 强损失。 定常时 B4.4.2 匀速运动控制体 坐标系固定在匀速运动的控制体上 ( rr v v?是相对速度),输运公式为 有多个一维出入口时 Fnvvv rrr ? ? ? ? A( t d )d CSCV ? ()() rroutrrin ? ? ?m vm vF 为作用在控制体上的合外力 ? F Fnvv rr ? ? A(d ) CS ? B4.4.2 匀速运动控制体 求： 射流对运动导流片的冲击力F 例例B4.4.2自由射流冲击运动导流片：相对运动的影响(2-1)(2-1) 1122 22 22 rr VpVp ? 由伯努利方程: 解： 取固结于车厢的运动控制体

17、和 运动坐标系如图示，冲击力如图。 因 ,故 ，由连续性条件， 0 21 ? ? p p r1r21e 45 153 0m sVVVV? ,质流量为 AAA? 21 4 rr1r2rr 10 30 40 10120kg smmmQVA? ? ? 已知: 车厢以 运动。一股射流沿车厢前进方向喷入固结于车厢上 的导流片，转角度 后流出。 ， 忽略质量力和粘性影响。 e 15m sV ? 2 1 4 0cmA ? 1 4 5m s V ? ? y ? 作用在控制体上的外力为-F ，由动量方程 1 tg()sin(1 cos )F /F yx ? ? ? 1- tg 21 m(VV )F? 2 (co

18、s )(1-cos ) x rrrr FV AV -VV A? 例例B4.4.2自由射流冲击运动导流片：相对运动的影响(2-2) 或或 12 () rrr FV AVV? 讨论： 计算结果表明与例B4.4.1C相比，除了冲击力减小外，其余结果 相似，相当于用绝对速度 ,冲击固定导流片情况一样。 30m s V ? 120 30(1 cos )3600(1 cos )? 2 sin3600sin y rrr FV AVV A? B4.5 动量矩方程及其应用 由动量矩定理 ? d d d dd sys tt ? ? sys L rvM 系统动量矩对固定控制体CV的随体导数 B4.5.1 固定的控制

19、体 D ()d()()d CVCS A Dtt ? ? ? ? ? sys L r vr v v n 设 , 系统动量矩为 ? r v ?d sys sys r? ? Lv B4.5 动量矩方程及其应用(5-1) 对固定控制体CV的动量矩方程为 1定轴定常旋转流场，取 定常流动动量矩方程 与定常流动动量方程比较 (d()d CVCS (A t ? ? ? ? ? rv)rv) v nM s ? ? MT ()d CS (A? ? s rv) v nT )d CS (A? ? v v nF 表示转轴对控制体内流体产生的力矩 泵类 涡轮机类 0? s T 0? s T 轴矩 B4.5.1 固定的控

20、制体固定的控制体(5-2) 2. 欧拉涡轮机方程 对匀速旋转的转子，取控制体： 由动量矩方程得欧拉涡轮机方程 2211 () s m rVrVT? 内圆为入口 外圆为出口 与牵连速度 方向一致时取，否则取- ; ? V ?rU ? 与转子旋转方向一致时取，否则取- 。 s T 11 rV ?dm?质流量元 ,单位质量流体动量矩 B4.5.1 固定的控制体(5-3) 22 rV ?dm质流量元 ,单位质量流体动量矩 与定常流动动量方程比较 2211 () s m r VrVT? 与r或U方向一致时取，否则取- ; V ? 21 ()m?VVF 定义轴功率 ，可得 ss WT? mVrVrW 2

21、? ? )( 212s? ? 2221 ()U VU Vm ? ? B4.5.1 固定的控制体固定的控制体(5-4) 求： (1)输入轴矩T s 例例B4.5.1 混流式离心泵：固定控制体动量矩方程(2-1) 已知: 一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2= 100 mm，b = 10 mm, n = 4000转/分， = 3 m/s。 r2 v (2)输入轴功率 s(W) W 解： 取包围整个叶轮的固定控制 体CV，忽略体积力和表面力。 设流动是定常的，由连续性方程可得 3 1222 100.01 39.425(kg/s) r mmd bV? CV 例B4.5.1 B4.5.1 混流式离

22、心泵：固定控制体动量矩方程(2-2) V 1= 0,由欧拉涡轮机方程 1 212 0.1 ()20.94 9.4259.86(N-m) 22 s21 d Tr VrVmV m ? ? 输入功率为 2212 ()418.88 9.864.13(kw) ss WrVrVmT ? ? 叶轮旋转角速度为 = 2n / 60 = 24000 / 60 = 418.88 (1/s ) 出口切向速度为 V 2 = R 2 =d 2 /2= 418.880.1/ 2= 20.94 (m / s) 有多个一维出口时 ()() outoutini ns r Vmr VmT? ? V 为出入口绝对速度的切向分量,当

23、与叶片速度U 或r同向时取 +,异向时取 -。 ()() soutouti ni n Wr Vmr Vm ? ? ? ()() outoutini n UVmUVm ? ? ? B4.5.1 固定的控制体固定的控制体(5-5) 已知: 洒水器示意图。R = 0.15m ,喷口A = 40mm2,=30,Q =1200 ml / s ， 不计阻力。 求： (1) Ts= 0时，旋转角速度(1/s）； 例例B4.5.1A 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(3-1) (3-1) (2) n=400转/分的轴矩Ts 和轴功率 s(W) W 解： 取包围整个洒水器的控制体CV，就整个 控制体而言，从

24、平均的意义上可认为是定常的 对圆心取动量矩，当地变化率为零 不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出 口的定常流动处理。 k Lv)(rdd? ? ? ? ? CV 0v)(r t d 设喷口流体的绝对速度为设喷口流体的绝对速度为V，牵连速度为，牵连速度为U 及相对速度为及相对速度为V r cos r VUV? (1)设设Ts0 , V 1 = 0 , 由多出口动量矩方程 多出口动量矩方程: 例例B4.5.1A 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(3-2) RU? 12 15m/s 2 rrr Q VVV A ? 3-6 12 1 0. 5 101200 100. 6

25、kg/s 2 mmQ? ? cos0 r R UVQ? coscos0 rr UVR V? 15 coscos3086.6(1/s) 0.15 r V R ? (2)当n=400转/分时 例例B4.5.1A 洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(3-3) =4002/60 = 41.89 (1/s) QVRR)(rVT routs ? ? )cos(? ? = 0.15(41.890.15-15cos30)1.2 = -1.21 (N m ) (W)50.541.891.21?TW ss ? 15 c osco s3 086. 6(1 /s) 0. 15 r V R ? 讨论： 无摩擦轴矩时洒

26、水器的转速是有限值， 与喷管内相对速度成正比，与臂长成反比。 角速度与喷口偏转角-的关系如图示。 向心加速度 )(ra? c B4.5.2 旋转的控制体 对定轴旋转机械，控制体可固结于转子上(非惯性系)，动量矩 方程为 ( 为相对速度) r v ()d()()d CVC S A t ? ? ? ? rrr r vr vvn ? ()()2()d s C V ? ? ? r rFTrrvr rc Va? ? 2 柯氏加速度 惯性力 定常流动时 A CS d)(? ? nvvr rr ? ()2()d CV ? ? sr Trr v B4.5.2 旋转的控制体旋转的控制体 例B4.5.2 洒水器：

27、旋转控制体动量矩方程(2-1) 试用与洒水器喷管一起旋转的控制体重新求解例B4.5.1A。 解： 取与洒水器一起旋转的控制体 V r=15m/s .在喷管内矢径为r处向心 加速度为 方向指向转轴，力矩为零。柯氏加速度为 ac= ( r ) = U (r) a k= 2 Vr ak 的方向与矢径垂直，大小沿喷管不变。 kkVrARVrArV CV R rr ? ? 2 r 0 d2d)(2? 例例B4.5.2 洒水器：旋转控制体动量矩方程(2-2) (1) 设Ts=0 22 cos rr VR ARV ()A? ? ?kk cos r V R ? (2) ()()d(2)d srr CSCV A

28、? ? r Tr VV nrV k)(cos( 22 ARVARV rr ? (cos)(cos ) srrr TRV A VRRQR V? 与例B4.5.2的结果一致。 动量矩流量项为 ()()dsin(90)(cos ) 2 rrrrr C S ARVV ARV A ? ? ? ? ? r VV nkk B4.6 能量方程 热力学第一定律为更一般的能量方程 伯努利方程是机械能守恒方程，条件苛刻，适用范围有限。 WQE? 系统能量改变 外界传入热能 系统对外做功 对单位质量流体 gz 2 v ee 2 s ? 储存能 动能 令 , 流体系统能量为 s e? d syss sys Ee? ?

29、势能 内能 B4.6 能量方程 由一般能量方程对时间求导 传热率 取控制面CV（控制面CS），由输运公式 WQE ? ? sys 2 d ()d d2 CV v egzQ W t ? ? 功率 B4.6.1 B4.6.1 固定控制体 ? ? ? ? CVCS d)(dWQAee t ss ? nv? CS ()d sv WpA WW? ? v n 功率 压强功率 轴功率 粘性力功率 B4.6.1 B4.6.1 固定控制体固定控制体 (3-1) (3-1) B4.6.1 B4.6.1 固定控制体固定控制体 (3-2) (3-2) 固定控制体内流体能量方程 有多个一维出入口时 定常流时 ? ? ?

30、 ? CVCS 2 d)( 2 (d vss WWQA p gz v ee t ? nv ? ? ? ? CS 2 d)( 2 ( vs WWQA p gz v e ? nv ? ? 22 outoutinin ()() 22 sv VpVp egzmegzmQ WW ? ? ? ? e ,V ,z , 均为平均值, 常取 。 p ? 1 ? e ,V ,z , p , 均取平均值。 ? vsinout wwq p gz V e p gz V e?) 2 () 2 ( 22 ? 为单位时间内外界传给单位质量流体的热能 m/Qq? ? ? 为单位时间内单位质量流体对外所做的轴功 mWw ss ?

31、 ? ?/? 为单位时间内单位质量流体对外所做的摩擦功 mWw vv ? ? ?/? 只有一对一维出入口时，由连续性方程 ， mmm inout ? ? 可得单位质量流体的能量方程为 B4.6.1 固定控制体 (3-3) 求： (1) 出口平均速度V 2 ； 解： 涡轮机质量流量 例例B4.6.1 涡轮机传热(2-1) (2) 涡轮机传热率 。 Q ? 已知: 图为一涡轮机示意图，A 1 = A2 = 0.0182 m 2。V1 = 30.48 m / s，1= 8.556 kg / m 3, T1 = 760 K; 2= 3.5 kg / m 3, T2 = 495 K。 700 马力。 cp558J/kg K ? S W ? 11 1222 m AV AV? 1 111 1 222 8.556 30.48 74.5m/s 3.5 2 VA VV A ? ? 30.480.01828.556? 4.75kg/s? 例例B4.6.1 B4.6.1 涡轮机传热(2-2) (2-2) 设 ，z 1= z 2 , e + p / = cp T ，可得 0? v W ? spp WQTc V Tc V m ? ?) 22 ( 1 2 1 2 2 2 ) 22 ( 1 2 1 2 2 2 Tc V Tc