第03讲 等腰三角形和等边三角形

1、第3讲 等腰三角形和等边三角形几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。 波利亚知识方法扫描有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一种轴对称图形，它的底角相等，它的底边上的高和中线，顶角的平分线重合。三边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形三个内角都是60。在出现等腰三角形的题目中，常用的辅助线作出等腰三角形底边上的高（对称轴）。这样可以得到一对全等的直角三角形。根据题目的条件与结论，选取合适的对称轴往往是解题的突破口。此外，在有一个角是60的情况下，构造等边三角形也是常用的方法。经典例题解析 例1（2

2、003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）在等边三角形ABC所在平面内确定一点P,使、都是等腰三角形。则满足条件的点P共有（）（A）1个 （B）4个 （C）7个 （D）10个解 除了等边三角形ABC的中心外，我们考察BC垂直平分线上的点：P1是A点上方的点，A P1等于等边三角形ABC的边长；P1是BC下方的点，A P2等于等边三角形ABC的边长；P3也是BC下方的点，三角形P3BC是等边三角形。在AB，AC的垂直平分线上也各有3个点，一共是3+3+3+1=10个点。选D。例2（2003年全国初中数学联赛试题）如图，AA，BB分别是EAB，DBC的平分线，若AABBAB，则BAC的度数为_。解 设B

3、AC的度数为x。因ABBB，所以BBD2x，CBD4x。又ABAA，故AABABACBD4x。因AAB（180x），所以（180x）4x4x180。解之得 x12。评注 本题的结果告诉我们：两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。例3（2002年河南省初中数学竞赛试题）如图，D为等边三角形ABC内一点，BF=AB，DBF=DBC，求BFD的度数。解 因ABC是等边三角形，故AC=BC=AB，ACB=60。连结CD。在ACD和BCD中，AC=BC，DA=DB，CD=CD，于是ACDBCD，ACD=BCD=ACB=30，BF=BC。所以BF=BC。 在BFD和BCD中，BF=BC，DBF=D

4、BC，BD=BD，于是BFDBCD，故BFD=BCD=30。例4（1999年重庆市初中数学竞赛试题）如图，等腰直角ABC中，BAC=90, AD=AE，AFBE交BC于F，过F作FGCD交BE延长线于点G，求证：BG=AF+FG证明 过C作AB的平行线交AF的延长线于P.在ABE和APC中，因AFBE，故ABE=CAP。又因CPAC,AB=AC，故ABEAPC. 则有BE=AP. 在ABE和ACD中，因AB=AC，AE=AD，BAC=CAB，所以，ABEACD，有ABE =ACD因AEB和CMF分别是ABE和ACD的余角，所以AEB=CMF，则CMF=P。因ACB=45，故FCP=90-45=

5、45，有MCF=FCP。又FC=FC，所以MCFPCF，则MF=PF。 又因AEB=CMF，知MGE为等腰三角形，所以EG=MG。 由知 BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG即 BG=AF+FG。例5（1997年荆州市初中数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，BDC为等腰三角形，顶角BDC=120，M,N分别是线段AB,AC上的点，且MDN=60，延长AC到T，使CT=BM. （1）求证：CTD=BMD;（2）求AMN的周长。解 (1)BDC是顶角BDC=120的等腰三角形。DBC=DCB=30.又ABC是等边三角形，ABC=ACB=60.MBD=NCD=

6、TCD=90.又DB=DC,MB=TC,MBDTCD.故CTD=BMD.(2) 由上 MBDTCD得 CDT=BDM,且DT=DM.而 BDC=BDM+MDN+NDC=120,MDN=60,BDM+NDC=60,NDT=CDT+NDC=60=NDM.NDTNDM. MN=NT=NC+CT=NC+MB.故 AMN的周长=AM+MN+AN =AM+NC+MB+AN =AB+AC=1+1=2.例6（第5届希望杯数学邀请赛试题）如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120，ABC+AED=180，连接AD求证：AD平分CDE证明 延长DE到F， 使得EF=BC，连结A

7、F，AC。因ABC+AED=180，而AEF+AED=180，所以ABC=AEF。在ABC与AEF中，AB=AE，ABC=AEF， BC = EF，所以ABCAEF，于是AC=AF。又CD=BC+DE=EF+DE=DF。在ACD与AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以ACDAFD，于是ADC=ADF，即AD平分CDE评注 由上面的证法可以看出：题目中的条件BAE=BCD=120是多余的。 例7（第6届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）在等腰ABC中，AB=AC，A20，顶角在AB上取一点D，使AD=BC，求BDC的度数解 因AD=BC，A20，故ABC=ACB=80。如图作EADA

8、BC，连结EC。则EAD=EDA=80，AED20 AE=DE=AB=AC。因EAC=EAD-CAB=60， 故AEC是等边三角形。AECACE60。DEC=CEA-AED=40，而ED=EA=EC，故EDC=ECD=70。 于是BDC=180 -EDC-ADE=180 -70-80=30。评注 构造等边三角形来解题，是一种重要的解题方法。例8等腰三角形ABC中，AB= AC,A=100，BE是ABC的平分线，求证：AE+ BE=BC证法1 由已知条件不难算出：1=2=20，5=60，7=40 延长BE到G，使BG=BC，连结CG，不难得到G=80，8=40,6=60。 在BC上截取BF=BA

9、，连结EF，易证ABEFBE,从而3=5=60，EF=AE在EFC与EGC中，4=180-（5+3）=60=6，CE=CE，7=8，故EFCEGC，EF=EG，从而EG=AEAE+BE=EG+BE=BG=BC. AE+BE=EG+BE=BG=BC.证法2 由已知条件可以算出：1=2=20，5=60,C=40，在BC上截取BG=BE，连结EG，计算后可知7 =BEG=80，4=7-C=40，于是4=C，EG=GC 又在BC上截取BF=BA，连结EF.显然ABEFBE，从而5=3，于是3=60，又AE=EF. 因6=3+1=60 +20= 80 =7，故EF=EG，从而AE= GC AE+BE=G

10、C+BG=BC.证法3 在BC上截取BG=BE，连结EG易求得4=40，7=80，从而5=100=A 过E作EFBC交AB干F，显然AEF也是等腰三角形，从而AF=AE，于是有FB=EC.又3=1=2，故有 EF=FB.又6=ABC= 40=4，所以AEFGEC，故有AE=GC AE+BE=GC+BG= BC.证法4 延长BE到G，使EG=EA.不难算出1=2=20，4=60。，从而G=5=300， 再过A作AMBC，M为垂足，由等腰三角形性质知M是BC的中点 连结GA，过B作BNGA，垂足为N，GBN=90-G=60，3= GBN-2=60-20=40 =ABC.又AB是公共边，故有RtAB

11、NRtABM，从而BN=BM.但BN=BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.同步训练一 选择题1（2002年河南省初二数学竞赛试题）如图，在RtABC中，ACB=900，D、E点在AB上，AC=AD，BE=BC，则DCE的大小是 ( )(A) 600 (B)450 (C) 300 (D) 随A的大小而变化2（1997年安徽省初中数学竞赛试题）如图，在ABC中，ABC= 60，ACB= 45，AD， CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形的个数是（ ）(A)2 (B) 3 (C)4 (D)53（2000年北京市初二数学

12、竞赛试题）已知是等边三角形的一个底角，是顶角为30的等腰三角形的一个底角，是等腰直角三角形的一个底角，则（A）（B）（C）（D） CDAD，O为AB中点，AOD=COB=60求证：CD+ADBC. 12（1992年“汉江杯”初中数学竞赛试题）如图，ABD=ACD=60 ADB=90-BDC，求证：AB=AC.13(1986年武汉市初中数学竞赛试题)P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连AP，以P为顶点作APQ=60 ，PQ交C的外角平分线于Q，那么APQ是什么三角形？证明你的结论。14如图，ABC中，C=90，CAB=30，AC=BC=AD求证：BD=CD15（江苏省第十七届初中数学竞赛试题

13、）在ABC中，已知C=600，ACBC，又ABC、BCA都是ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC（1） 证明CBDBDC；（2） 证明ACDDBA；（3） 对ABC、ABC、CAB，从面积大小关系上，你能得出什么结论？同步训练题参考答案1. B设 A=,B= ACD=90-,ECB=90-,DCE=90-+90-90=90-=452 A仅ADC，PSQ是等腰三角形。3B4D如图，当AC边上的高BD=AB时，A=30; 当AC边上的高BD=BC时，BAC=120;当AC边上的高BD=AB时，BAC=150;5C如图DAE=EAC， ADBC,DAE=B,EAC=C, B=C6 延

14、长BA、CD交于E由ABC=BCD=60,ADBC，知BCE、ADE都为等边三角形，AB=AD. BD 平分BCD， ED=CD=CE。 AD=ED,CE=BC,BC+BC=30, BC=20, CD=10,AD=10,AB=10 四边形ABCD的周长为50766 817如图 ，延长AB，CD，EF交于P，Q，R。显然PBC，AQF，DER，PQR都是等边三角形。设六边形ABCDEF的各边依次是a,b,c,d,e,f.由已知，a+f=5,f+e=6,a=c,因PQR是等边三角形，于是有a+b+f=b+c+d=e+d+f. 不难算出 a=5-f,b=1+f,c=5-f,d=f,e=6-f, 于是

15、a+b+c+d+e+f=17.9依题意易知，ABC为等腰直角三角形，直角边长为1。故面积为105如图，过C作CPAB交BO的延长线于P,连结AP. 则BCP=ACP=40,且CAP=20,PAO=20. 又 AOP=OAB+ABO=40,ACPAOP, AO=AC=511在OC上截取OE=OD，连结DE、BE由AOD=COB=60，有DOE=60，则DOE为等边三角形 DEO=60，DEC=120，DECEDC CD CE.OA = OB , AOD =BOE , OD= OE ,AOD BOE， AD = BE.CE + BE BC, CD + BE CE + BE,CD + AD BC.1

16、2延长CD到E，使CE=CA，连结AE，由ACD=60，则ACE为等边三角形。E=60，AE=ACADE=90-BDC，ADE+ADB+BDC=180，ADE=90-BDC=ADB AD=AD, ABD=60 =E,ABDAEDAB =AE=AC13 APQ是等边三角形，证明如下：因ABC是等边三角形，于是BA=BC，ACB=60，于是ACD=120 ，又CQ平分ACD，于是ACQ=DCQ=60 ，PCQ=120。过P作PECA交AB于E，显然PBE是等边三角形，于是PEB=EPB=60 ，BP=BE。所以AE=AB-BE=BC-BP=PC，PEA=120。 因APQ=60，故APE+QPC=180-EPB-APQ=60，APE=60-QPC=PQC。 在AEP和PCQ中，APE=PQC，AE= PC，PEA=PCQ=120，于是AEPPCQ，AP=AQ。 所以APQ是等边三角形。14如图，过C作CEAD于