数学与应用数学毕业论文关于对合矩阵的一些秩等式

1、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目 关于对合矩阵的一些秩等式 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 数学051 指导教师 二00九年五月十日目 录0引言（1）1对合矩阵的秩等式（2）2幂等矩阵的秩等式（7）结束语（8）致 谢（9）参考文献（9）关于对合矩阵的一些秩等式（数学与应用数学专业 指导教师：）摘 要：在矩阵理论中，幂等矩阵和对合矩阵起着很重要的作用.田永革对它们进了深刻的研究，并得到一些有意义的秩等式.通过这些秩等式，本文推出一些新的有关对合矩阵的秩等式.关键词：幂等矩阵 对合矩阵 秩等式abstract: it is known that the idempotent a

2、nd involutory matrices play very important role in matrix theory. yongge tian has do the futher study in them,and obtain a lot of useful rank inequalities.through these rank inequalities,this paper derive a variety of new rank inequality for involutory matrices.keywords: idempotent matrix involutory

3、 matrix rank inequality0. 引言下面介绍一些必要符号与预备定理：用表示复数域上的所有矩阵组成的集合，表示上所有列向量组成的集合，表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩，表示的广义逆.若，称为幂等矩阵；若，称为对合矩阵.引理 设，且都是幂等矩阵，即,则满足下面两个秩等式： （1） （2）引理 设，且都是幂等矩阵，即,则满足秩等式， （3） 引理 ，且都是对合矩阵，即,则 引理 设，且都是幂等矩阵，即,则满足下面两个秩等式： （4） （5） （6）1. 对合矩阵的秩等式当矩阵是对合矩阵时，由高代知识知，对合矩阵的特征值为，故对合矩阵是一个可逆矩阵.对合矩阵和幂等矩阵有着非常紧密的联系

4、，事实，对任意矩阵，矩阵是幂等矩阵.另外，对任意的幂等矩阵，矩阵是对合矩阵.对合矩阵是满秩矩阵.因此幂等矩阵的有关结果可以推广到对合矩阵，有下面的定理.定理1.1 设，且都是对合矩阵，即,则满足下面两个秩等式： （7） （8）证明 因为，所以由引理1、2知：是幂等矩阵.又，因此.将代入引理3的（1），（2）式，即由（1）式得： .同理由（2）式得：.证毕.我们注意到，在定理1.1中，令，很容易就可以得到的两个秩等式，即文献2定理3.1中的两个秩等式，如下：设是对合矩阵，的秩满足下面两个等式： （9）观察比较会发现，文献2定理3.1中的两个秩等式是定理1.1的一个特例，定理1.1更具有一般性，当

5、取不同的值时，可以得到不同的秩等式.推论1.2 设，且都是对合矩阵，即,则 （10） （11）证明 因为，所以.定理1.1中的秩等式对任意都成立，故对也成立，即由（7）式得 由于， , 因此.同理由（8）式得（11）式.证毕.我们知道对合矩阵是可逆矩阵，由高代知识知，对任意的矩阵，存在可逆矩阵，使得.因此，,且，有,即.推论1.3 设，,则满足下面两个秩等式： （12） （13）特别地，当时，有 （14） （15）证明 在定理1中，且,成立的秩等式.则对，且,成立的秩等式，即定理1中（7）、（8）式令，即可得（12）、（13）式.当时，则.又 ，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，.又是对合矩阵，

6、则是对合矩阵可逆矩阵，故.因此，由（12）式可得（14）式.由（13）式，因为,而、，则 ,故.同理可得，.所以，.代入（13）式即可得（15）式.证毕.推论1.4 设，且,则. （16）证明 由推论2，当取时，且,由于都是对合矩阵，故都是可逆矩阵，从而也是可逆矩阵，所以.由（15）式,而，则可得（16）式.证毕. 注意到，由于初等变换不改变矩阵的秩，因此秩等式可以通过高斯块进行初等变换，并结合对合矩阵的性质得到.而在推论3直接利用推论2，也结合对合矩阵的性质，很快就得到，这种方法比通过高斯块方法更简便，其中省了矩阵的计算，避免了不必要的错误.定理1.5 ，且，则 (17) (18)证明 因为

7、是对合矩阵，则是幂等矩阵，则满足引理5，即，即可得（17）式.又是对合矩阵，则是幂等矩阵，由引理5，同理可得（18）式. 证毕.定理1.6 ，且，则 （19）特别地，当时，有 （20）证明 定理1.1中是对任意的，成立的秩等式，则对，也成立的秩等式.令定理1.1中的，则由（7）式即得（19）式.当时，由（19）式即得（20）式.证毕.在已有文献及本文有关对合矩阵的秩等式的定理及推论，很容易可以推广到更一般的矩阵，只要矩阵是数量对合矩阵，即满足，,其中.事实上，.这样，应用已有的有关对合矩阵秩等式的定理及结论，我们可以建立更多的满足这样性质的矩阵的秩等式.例如， 2.幂等矩阵的秩等式 定理2.1

8、 ，且都是幂等矩阵，即,则 （21） （22）对任意的成立.特别地，时， （23）证明 我们注意到对任意的，有则，应用引理6的（4）式，如下， 由于初等变换不改变矩阵的秩，结合幂等矩阵的性质对矩阵进行化简： 因此 所以 对成立，即得（21）式.将对换即可得（22）式.在（21）（22）式中令可得（23）式. 证毕. 推论2.2 设，且都是幂等矩阵，即,则 （24）对所有的成立.特别地，当时，有 （25）证明 因为是幂等矩阵， 而,则也是幂等矩阵.故在（21）式中用替代，即得（24）式. 在（24）式中令可得（25）式.证毕.推论2.3 设，则，成立 (26)证明 因为是对合矩阵，则是幂等矩阵，

9、则满足(21)式，由(21)式得到(26).结束语幂等矩阵和对合矩阵在矩阵理论中有着重要的重用，田永革对此做了深刻的研究，研究了幂等矩阵和、差、积、换位子的秩等式.本文着重讨论了对合矩阵的秩等式，得到了有关对合矩阵的秩等式和更一般的系数的秩等式.致谢在这里我要感谢指导我论文的指导老师杨忠鹏教授，论文从选题到论文的构思，论文开题，论文撰写，论文的修改等过程中都得到杨老师的悉心指导.这几个月来杨老师不仅对我的论文给予精心指导，对我的生活也给予无微不至的关怀. 他严谨的教学态度，精益求精的工作作风，对我受益匪浅，使我大受裨益，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！另外我还要感谢大学所有的老师，为

10、我打下数学专业知识的基础；感谢学校和数学系领导们四年来对我的培养；同时还要感谢我的同学，他们帮助我，鼓励我，我才能克服一个又一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢我的父母，感谢他们对我的培养！参考文献1yongge tian,george p.h.styan.rank equalities for idempotent and involutory matricesj.linear algebra and its applications 335(2001):101-117.2yongge tian.rank equalities related to

11、generalized inverses of matrices and their applicationsj .arxiv:math/000324v1 math.ra 30 mar 2000:9-25.3yongge tian,george p.h.styan.rank equalities for idempotent matrices with applications j.journal of computational and applications mathematics 191(2006):77-97.4徐兆亮,王国荣.关于幂等矩阵和对合矩阵的几个结果j.上海海运学院学报.2003,24（2）:171-174.5左