《振动力学》习题集(附答案解析)

1、振动力学习题集（含答案）1.1 质量为的质点由长度为l、质量为m的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如m1图 E1.1 所示。求系统的固有频率。lxm1m图 E1.1解：系统的动能为：T1 m xl 21 Ix2其中 I22为杆关于铰点的转动惯量：Il m1dxx2lm1x2dx12llm1l003则有：T1 ml 2 x21 m1l 2 x21 3m m1 l 2 x2266系统的势能为：Umgl 1cosxm1gl1 cosx21mglx21m1glx 212mm1glx2244利用 xn x 和 TU 可得：n3 2mm1g2 3mm1l1.2 质量为、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑

2、动的微幅滚动，在的A点mCA=a系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2 所示。求系统的固有频率。kAkaCR图 E1.2解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：1212122322T2I B2mR2mR4mRU 2 1 k R a2k R a 222利用n和 TU 可得：4k Ra 2Ra4kn3mR2R3m1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1 ， k2 和 k3 的轴约束，如图E1.3 所示。求系统的固有频率。Jkk21k3图 E1.3解：系统的动能为：T 1 J 22k2 和 k3 相当于串联，则有：23 ,k22k33以上两式联立可得：k3,k223

3、k2 k3k2k3系统的势能为：U1 k121 k2 221 k3 321 k1 k2k3k2k3 22222k2k3利用n 和 TU 可得：nk2k3k1k2k3J k2k31.4在图 E1.4 所示的系统中，已知kii1,2,3 , m, a 和 b ，横杆质量不计。求固有频率。x1k1k2ax0 bx2F1babmga bk3xmgaF2mga bm图 E1.4答案图 E1.4解：对 m进行受力分析可得：mg k3 x3mg，即 x3k3如图可得：x1F1mgb,x2F2mgak1a b k1k2a b k2x0x1x x1a x2x1a2k1b2 k2 mgabab 2 k1k2xx0

4、x3a2k1b2 k21mg1mgab2k1k2k3k0则等效弹簧刚度为：2k1k2k3kea b2k1k3 b2k2k3a b 2 k1k2a则固有频率为：kek1k2k3 a b 2nm k1k2 a b 2k3 k1a2k2b2m1.7质量 m1 在倾角为的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量m2 ，如图 E1.7 所示。确定系统由此产生的自由振动。m1x12m2hx2kx0x图 E1.7答案图 E1.7解：对 m1 由能量守恒可得（其中v1 的方向为沿斜面向下） ：m1 gh1 m1v12 ，即 v12 gh2对整个系统由动量守恒可得：m1v1m1m2 v0 ，即 v0m12ghm1

5、m2令 m2 引起的静变形为 x2 ，则有：m2 g sinkx2 ，即 x2m2 g sink令 m1 + m2 引起的静变形为x12 ，同理有：m1m2 g sinx12k得：x0x12m1 g sinx2k则系统的自由振动可表示为：xx0 cosn tx0 sin ntn其中系统的固有频率为：nkm1m2注意到 v0 与 x 方向相反，得系统的自由振动为：xx0 cosn tv0 sin ntn1.9质量为 m、长为 l 的均质杆和弹簧k 及阻尼器c 构成振动系统，如图E1.9 所示。以杆偏角为广义坐标， 建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手， 问杆的最大

6、振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？aOkck acl图 E1.9答案图 E1.9解：利用动量矩定理得：Ik a a c l l ， I1 ml 23ml 23cl 23ka 20 ，n3ka2ml 23cl22n ，3c11c2amkml 22ml3nmg lk 0 a a ，0mgl22ka21.12 面积为、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12 所S示。作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv， 2S 为薄板总面积， v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0 ，在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 。图 E1.12解

7、：平面在液体中上下振动时：mx2 Sxkx0nk2，dn122mT0Td2 S2 nS ，22S2mm nk12k2 S2k22 k2 S22 mTd2T02TdT0kST0Td2.1图 E2.2 所示系统中，已知m，c， k1 ， k2 ， F0 和。求系统动力学方程和稳态响应。2c2mxkk2 xc2 xmmx1kx2c1k112kmk1 x x1c1 x x1c1c2x1图 E2.1答案图 E2.1(a)答案图 E2.1(b)解：等价于分别为x1 和 x2 的响应之和。先考虑x1 ，此时右端固结，系统等价为图（力为图（ b），故：mx k1k2 x c1c2 x k1x c1xmxcxk

8、xk1 A1 sin1c1A11 cos1tc c1c2 ， k k1k2 ，nk1k2m（ 1）的解可参照释义（2.56 ），为：Y tk1 A1sin1t1c1A11cos1t1k222k2221s2 s12 ss其中：s1 ， 1tg1 2 sn1s2c 12k12c1c22212 s21k21k1 k2k1k212m2c1c2 121s2 22 s21k1k2k1k2k1k22c1222m 1c21k1k2故（ 2）为：x tk1A1 sin1t1c1 A11 cos1t1k1k2m22c1c22211222A1k1c11sin1t12k2m2 2c1c222k111a），受（ 1）（

9、 2）1tg 1 2 stg 1 c 1 k1k2tg 1c1 c211 s2112mkk22 m11k1k22 tg1 c1 1k1考虑到 x2 t 的影响，则叠加后的x t为：2Ai222c1c21 ci ix tkiciisinit tg1itg22k1k22mkii 1k1k22c1c22im ii2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1 所示。已知，30 ， m= 1kg， k =49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。kmx0xmg图 T 2-1答案图 T 2-1解：mgsin19.81mg sinkx0 ， x020.1cmk49nk4

10、9 10270 rad/sm1xx0 cosnt0.1cos70t cm2.2如图 T 2-2 所示，重物 W1 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物 W2从高度为 h 处自由下落到 W1 上而无弹跳。求 W2 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。kx1x12W2x0h平衡位置xW1图 T 2-2答案图 T 2-2解：W2h1 W22 gv22 ， v22gh动量守恒：W2 v2W1 W2 v12 ， v12W22ghggW1 W2平衡位置：W1kx1， x1W1kW1 W2kx12 ， x12W1W2k故：x0x12x1W2knkkgW2gW1W2W1故：xx0cosntx

11、0sinntnx0cosntv12sinn tn2.4 在图 E2.4 所示系统中，已知，k1 ， k2 ， F0 和，初始时物块静止且两弹簧均m为原长。求物块运动规律。x1x2k1k2mF0 sintk1x1k2 x2x1k2 x2x1mF0 sin tmx2图 E2.4答案图 E2.4解：取坐标轴 x1 和 x2 ，对连接点A 列平衡方程：k1x1k2 x2x1F0 sint0即：k1 k2 x1 k2 x2 F0 sin t（ 1）对 m列运动微分方程：mx2k2 x2x1即：mx2 k2 x2 k2x1（ 2）由（ 1），（ 2）消去 x1 得：mx2k1k2 x2F0 k2 sin

12、t（ 3）k1 k2k1 k2故：2 k1k2nm k1k2由（ 3）得：x2tF0k22 sin tsin nt2m k1k2nn2.5 在图 E2.3 所示系统中，已知， ，F0 和 ，且 t =0 时， xx0 ， xv0 ，求m ck系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。kF0 costmc图 E2.3解：x te0tC cosd tD sind tAcostAF012，tg 12 sk221s21 s2 sx 0x0CA cosCx0 Acosx t0e0 t C cosd tD sind te0tCd sindtD d cos d t Asintx 0

13、v00CDAsinv00CA sindDdd求出 C， D后，代入上面第一个方程即可得。2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图 E2.7 所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为me2sin t。已知偏心重= 125.5 ，偏心距e= 15.0，支承弹簧总刚度系数k= 967.7WNcmN/ cm，测得垂直方向共振振幅X m1.07cm ，远离共振时垂直振幅趋近常值 X 00.32cm 。求支承阻尼器的阻尼比及在300 r min 运行时机器的垂直振幅。me2 sint1 me 21me 222图 E2.7解：x tmes2

14、sin t，tg1 2 sM222212 s1 sss=1 时共振，振幅为：me1（ 1）X11.07cmM2远离共振点时，振幅为：X 2me（ 2）0.32cmMme由（2）MX 2由（ 1）me 1me1X 20.15M 2X1me X 2 2 X12 X1300 rmin ，0k， sM故：01Xmes23.8 10 3 mM2221s2 s2.7求图 T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1 及 k3 ，悬臂梁的质量忽略不计。k1k2k3k4mk1k3k2无质量k4m图 T 2-7答案图 T 2-7解：k1k2k1 和 k2 为串联，等效刚度为：k12。（因为总变形为求和

15、）k1k2k12 和 k3 为并联（因为k12的变形等于 k3 的变形），则：k123k12k1k2k3k1k2k1k3k2 k3k3k2k1 k2k1k123 和 k4 为串联（因为总变形为求和），故：kek123k4k1k2k4k1k3k4k2 k3 k4k123k4 k1k2 k1 k3k2 k3k1k4k2 k4故：nkem2.9 如图 T 2-9 所示，一质量 m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（ 1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（ 2）杆可以在铅锤平面微幅转动；（ 3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。k1k2ml 1l

16、2x1l 1xl 2x2l 2F1mgl1l2xmgF2l1mgl1l 2图 T 2-9答案图 T 2-9解：（ 1）保持水平位置：k1k2nm（ 2）微幅转动：x x1xF1x2x1 l1k1l1l2l2mgl1l1l 2mgl1l2 k1l1l 2l1l2 k2l1l2 k1l1l2mgl1l1l1k1l2k2 mgl2 k1l 2l1l2 k1k2l2k2 l1l2l12k1l1l2 k2 mgl1l22 k1k2l12k1l 22k2 mgl1l22 k1k2故：kel1 l 22 k1k2l12 k1l22 k2nkem2.10 求图 T 2-10 所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽

17、略不计。k1ak2lmF1mgx1xA图 T 2-10答案图 T 2-10解：m的位置： x x2 xAmgxAk2mgl F1a ， F1mgl ， x1mglaak1x1a，xAax1mgl2xAlla 2k1x x2xAmgmgl 21l2k2a 2k1k2mga2k1a2 k1l 2 k2 mga2 k1k2kea2 k1k2，nkea2 k1ml 2 k22.11图 T 2-11 所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 k 。2（ 1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（ ）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率fn为 1.5 Hz ， m为 1.8 kg时，测

18、得频率为20.75 Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？mk/2k/2la零平衡位置l cos零平衡位置图 T 2-1答案图 T 2-11(1)答案图 T 2-11(2)解：（ 1）T1I 21ml 2222U2 11 ka 2mgl 1cos221 ka221 mgl21 ka 2mgl2222利用 TmaxU max ， maxnmaxka2mglka2ggka2nml2ml2ll1mgl-（ 2）若取下面为平衡位置，求解如下：T1 I21 ml 2222U 2 11 ka 2mgl cos1 ka22mgl1 2 sin 222221 ka 22mgl1 mgl21

19、 ka2mgl2mgl222dTU0 ， 2ml 22 ka2mgl0dtml 2ka 2mgl0ka2mgln ml 22.17图 T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k 2= k 3= k 4= k ，试问：（ 1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（ 2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？k1k2k3mk4图 T 2-17解：k23k2k32kk123k1k232 kk1k233k1234k123k41 kk123k42（ 1） mgk1234 x0， x02mgk4mg（ 2） x tx0 cosnt ， xmax2x0k2.19 如图 T 2-19 所示

20、，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为 I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。IxR2R1rk2m1m2k1图 T 2-19解：系统动能为：22T1 m1 x21 Ix1 m2 x211 m2 r 2x22R2222r1m1I 23 m2x22R22系统动能为：1 me x222V 1 k2 x221 k221 ke x221 k1 R1 x2 R2R122k1 R22x根据：TmaxVmax ， xmaxn xmaxk2k1R122R22nI3m1m2R2222.20如图 T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I 0，求系

21、统的固有频率。m2k2k3lbam1k1图 T 2-20解：系统动能为：T1 I 02221 m1 a1 m2 l2221 I 0m1a2m2l 222系统动能为：V1 k1 a 2 1 k2 l 21 k3 b 22221 k1a2k2l 2k3b222根据：TmaxVmax ， maxnmax2k1a2k2l 2k3b2nI 0 m1a2m2 l 22.24 一长度为 l 、质量为 m的均匀刚性杆铰接于 O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图 T 2-24 所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。kcOalk ac l图 T 2-24答案图 T 2-24解：利用动量矩

22、方程，有：Jk a a c l l ， J1 ml 23ml 23cl 23ka20n3ka2ml 23cl22n ，1ml 2c2m n2m3ka22amk33ml2l32.25 图 T 2-25 所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。cmakblac abk bm ll图 T 2-25答案图 T 2-25解：mll c a akbb 0ml 2ca2kb20nkb2bkml 2lmca22n ，ca2ca2mml 22ml 2n2mlbkdn 12b k1c2 a4m14kml2b22a4lm4m2 l 2 b2k2ml 2c由1c2blmka22.

23、26图 T 2-26所示的系统中，= 1 kg ，k= 144 N / m ，c= 48 N ? s / m，1 =l=ml0.49 m ， l2= 0.5 l， l3= 0.25 l ，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n 及阻尼。ml 1l 2l 3ckmml1Ocl 3kl 2图 T 2-26答案图 T 2-25解：受力如答案图T 2-26 。对 O点取力矩平衡，有：m l1 l1c l3 l 3k l 2 l 20ml12cl32kl220m1 c1 k016421k36n4mn6 rad / s1 c16 2mc 116m 2n0.25n4.7两质量均为m的质点系于具有力F 的弦上，如图

24、E4.7 所示。忽略振动过程中弦力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。mmlllFFFFy12y2F13图 E4.7答案图 E4.7(1)解：sin 11y1 ， sin22y2y1 ， sin33y2lll根据 m1 和 m2 的自由体动力平衡关系，有：m1 y1F sinm2 y2F sin12F sin F sin2F y1F y2y1F y22y1lll3F y2y1F y2F y12 y2lll故：m10y1F21y100m2y2l12y2当 m1 = m2 时，令：y1 Y1 sin t ， y2Y22mlsin t ，F代入矩阵方程，有：21 Y101 2Y221221130121,21,32FF，21ml 1ml2根据 2Y1Y20得：F 3F ml 2 mlY11211， Y12211Y21Y221.01.0-1.01.0第一振型第二振型答案图 E4.7(2)4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K 均为正定。对于模态xi 和 x j 及自然数 n 证明：xTi MK 1 Mx j0 ， x Ti KM 1 Kx j0解：Kx j2j Mx j，等号两边左乘 KM 1KM 1Kx jj2 KM 1Mx j2j Kx j，等号两边左乘 xiTxi