全国通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理新人教A版

1、第1讲 导数的概念及运算 最新考纲最新考纲 1.了解导数概念的实际背景； 2.通过函数图象直观 理解导数的几何意义； 3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常 数)，yx，y1 x，yx 2，yx3，y x的导数；4.能利用基本 初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单复合函数 (仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的 导数. 知 识 梳 理 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数 (1) 定 义 ： 称 函 数 y f(x) 在 x x0处 的 瞬 时 变 化 率 0 lim x? ? f（x0 x）f（x0） x 0 lim x? ? y x为函数 yf(x)

2、在 xx 0 处的导数，记作 f(x0)或 y|x x0 ，即 f(x0) 0 lim x? ? y x _. 0 lim x? ? f（x0 x）f（x0） x (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲 线yf(x)上点(x0，f(x0)处的_.相应地，切线方程 为_. 切线的斜率 yy0f(x0)(xx0) 2.函数yf(x)的导函数 如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其 导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 y f(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c

3、(c为常数) f(x)0 f(x)x (Q*) f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ x1 cos x sin x f(x)ex f(x)_ f(x)a x(a0) f(x)_ f(x)ln x f(x)_ f(x)logax (a0，a1) f(x)_ ex a xln a 1 x 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x) g(x)_； (2)f(x)g(x)_ ； (3) ? ? ? ? ? ? ? ? f（x） g（x） _ ( g(x)0). f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) f（x）

4、g（x）f（x）g（x） g（x）2 5.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数 间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与 _的导数的乘积. u对x 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“ ” 或“ ” ) 精彩PPT展示 (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x)x2x1.( ) (4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.( ) 解析 (1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0)是常数f(x0)的 导数即(f(x 0)0；(3)(2x)2xl

5、n 2； (4)(e2x)2e2x. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.函数yxcos xsin x的导数为( ) A.xsin x B.xsin x C.xcos x D.xcos x 解析 y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos x xsin x. 答案 B 3.(选修 22P18A7 改编)曲线 ysin x x 在 x 2 处的切线方程为 ( ) A.y0 B.y 2 C.y 4 2 x 4 D.y 4 2 x 解析 yxcos xsin x x 2，y|x 2 4 2，当 x 2 时，y 2 ，切线方程为 y 2 4 2? ? ? ? ? ? ? ? x

6、 2 ，即y 4 2 x 4 . 答案 C 4.(2016天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导 函数，则f(0)的值为_. 解析 因为f(x)(2x1)ex， 所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以f(0)3e03. 答案 3 5.(2017西安月考)设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方 程为y2x，则a_. 解析 ya 1 x1 ，由题意得 y|x02，即 a12，所 以 a3. 答案 3 考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数： (1)yexln x；(2)yx ? ? ? ? ? ? x 21 x 1 x 3； (3)y

7、xsin x 2cos x 2；(4)yln 12x. 解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1 xe x ? ? ? ? ? ? ln x1 x . (2)yx 31 1 x 2，y3x 2 2 x 3. (3)yx1 2sin x，y1 1 2cos x. (4)yln 12x1 2ln(12x)， y1 2 1 12x (12x) 1 12x . 规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较 为简单的分

8、式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练 1】 求下列函数的导数： (1)yx 2sin x； (2)ycos x ex ； (3)yxsin ? ? ? ? ? ? ? ? 2x 2 cos ? ? ? ? ? ? ? ? 2x 2 ； (4)yln(2x5). 解 (1)y(x 2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)y? ? ? ? ? ? cos x ex （cos x）ex

9、cos x（ex） （ex）2 sin xcos x ex . (3)yxsin ? ? ? ? ? ? ? ? 2x 2 cos ? ? ? ? ? ? ? ? 2x 2 1 2xsin(4x ) 1 2xsin 4x. y 1 2sin 4x 1 2x4cos 4x 1 2sin 4x2xcos 4x. (4)令 u2x5，yln u. 则 y(ln u)u 1 2x52 2 2x5，即 y 2 2x5. 考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线的方程 【例21】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时， f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切

10、线方程是 _. (2)(2017威海质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0， 1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为( ) A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10 解析 (1)设x0，则x0时，f(x)ex1x. 因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012. 则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以 切线方程为y22(x1)，即2xy0. (2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0). 又f(x)1ln x， ? ? ? ? ?y0 x0ln x0， y01（1ln x0）x0， 解得 x01，

11、y00. 切点为(1，0)，f(1)1ln 11. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 答案 (1)2xy0 (2)B 命题角度二 求参数的值 【例 22】 (1)已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 D.2 (2)(2017大连调研)若函数 f(x)1 2x 2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_. 解析 (1)设切点为(x0， y0)， y 1 xa ， 所以有 ? ? ? ? ? ? ?y 0 x01， 1 x0a1， y0ln（x0a）， 解得 ? ? ? ? ?x 01， y00， a2. (

12、2)f(x)1 2x 2axln x，f(x)xa1 x. f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点，x1 xa 0 有解，ax1 x2(x0). 答案 (1)B (2)2，) 命题角度三 公切线问题 【例23】 (2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1) 处的切线与曲线 yax2(a 2)x1相切，则a _. 解析 法一 yxln x，y1 1 x，y|x 12. 曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)， 即 y2x1. y2x1 与曲线 yax 2(a2)x1 相切， a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行 ). 由 ? ? ? ?

13、 ?y2x1， yax2（a2）x1消去 y，得 ax 2ax20. 由 a 28a0，解得 a8. 法二 同法一得切线方程为 y2x1. 设 y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax2 0(a 2)x01). y2ax(a2)，y|xx 02ax0(a2). 由 ? ? ? ? ?2ax0（a2）2， ax2 0（a2）x012x01，解得 ? ? ? ? ? x01 2， a8. 答案 8 规律方法 (1)求切线方程的方法： 求曲线在点P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函 数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； 求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先

14、设出切 点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写 出切线方程. (2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切 点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导 数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上. 【训练 2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx 3 和 yax2 15 4 x9(a0)都相切，则 a 的值为( ) A.1 或 25 64 B.1 或21 4 C.7 4或 25 64 D.7 4或 7 解析 由 yx 3 得 y3x 2，设曲线 yx3 上任意一点(x0，x 3 0) 处的切线方程为 yx 3 03x 2 0(xx0)，将(1，0)代入得 x00

15、 或 x03 2. 当 x00 时，切线方程为 y0，由 ? ? ? ? ?y0， yax215 4 x9得 ax 215 4 x 90，? ? ? ? ? 15 4 24a90 得 a25 64. 当 x03 2时，切线方程为 y 27 4 x27 4 ， 由 ? ? ? ? ? y27 4 x27 4 ， yax215 4 x9 得 ax23x9 40， 324a 9 40 得 a1.综上知，a1 或 a 25 64. 答案 A 思想方法 1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则 .求 导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求 导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必

16、须注 意变换的等价性，避免不必要的运算失误 .对于复合函数 求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然 后“ 由外及内” 逐层求导. 2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点 .若已知 点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是 切点，则需设出切点. 3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、 切点的三个关系列方程求解. 易错防范 1.求导常见易错点：公式(x n)nxn1 与(a x)axln a 相互混淆； 公式中“”“”号记混，如出现如下错误： ? ? ? ? ? ? ? ? f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 ，(cos x)s

17、in x；复合函 数求导分不清内、外层函数 . 2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问 题. 编后语 ? 老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。 ? 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。 ? 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。 ? 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网 ? 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论