导数的应用(1)

1、第二讲导数的应用(一) 7内部资料，请勿外传 【考纲要求】 1.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式 函数一般不超过三次)。 (2) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式 函数一般不超过三次)；会求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题 【知识清单】 函数的单调性 1禾U用导数的符号判断函数的单调性: 般地，设函数y f(x)在某个区间可导，如果 f(X) 0，则f(X)为增函数；如果 f(X)

2、为减函数；如果在某区间内恒有 f(X)0,则f (X)为常数; 2、对于可导函数y f(X)来说，f(X)0是f(X)在某个区间上为增函数的充分非必要条件, f(X)0 是f(X)在某个区间上为减函数的充分非必要条件。 3、利用导数判断函数单调性的步骤: 求函数f(x)的导数fx). 令fx)0解不等式，得X的范围就是递增区间. 令fx)v 0解不等式，得X的范围，就是递减区间. 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即 若函数单 调递增，则f(X) 0 ；若函数单调递减，则f (X) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则 漏解. 二函数

3、极大值、极小值 1、极大值：如果 X c是函数f(x)在某个开区间(u,v)上的最大值点，即不等式f(c) f(x) X (u,v)成立，就说函数f(x)在X c处取到极大值f(c)，并称c为函数f(x)的一个极大值点， 对一切 f(c)为 f(x)的一个极大值。 2、极小值：如果 X c是函数f(x)在某个开区间(u,v)上的最小值点，即不等式f(c) f(x) X (u,v)成立，就说函数f(x)在X c处取到极小值f(c)，并称c为函数f(x)的一个极小值点， 对一切 f (c)为 f(X)的一个极小值。 ,极大值点与极小值点统称为极值点；若f(C) 0 ,则X C叫做函数f(x) 可导

4、函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。 3、极大值与极小值统称为极值 的驻点; 4、判别 f(C)是极大、极小值的方法 若Xo满足f(C)0，且在C的两侧f(x)的导数异号，则C是f(x)的 极值点, f(C)是极值，并且如果f(X)在c两侧满足 左正右负”，则c是f(X)的极大值点，f(C)是极大 值；如果f(X)在C两侧满足 左负右正”，则C是f(X)的极小值点, f(X0)是极小值 5、求可导函数f(X)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数fx) 求方程f X)=0的根 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 的值的符号，如果左正右负，那么f(x)

5、在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处无极值 小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 【小题训练】 1.函数 y=x+cosx 在(- +)内是( A增函数 B减函数 有增有减 2.函数 f(X) X3 2x a的单调减区间是 2) B.( 2,) C，( |,0) 3.函数f(X) A. f(a) 1 4. 如果函数y=- 2 X (a e f(b) B. f(a) f(b) C. f(a) f(b) 2 X +lnx-ax在定义域为增函数，则a的取值范围是 5、函数 y=1+3x-x 有 ( A .极大值1，极小值-1， B.极小值-2,极大值 C.极大值3，

6、极小值-2, 6、函数y=3+mx+x 3有极值的充要条件是 D.极小值-1，极大值 A m0 B m0 7、如右图是函数 y f(x)的导数f(X)的图象，贝U f (X)有( A,唯一极值点x=1 B x=0极大值点，x=2是极小值点 C x=0极小值点，x=2是极大值点 D无极值 2 8、若函数f(x)= x(x- C)在X 2处有极大值，则常数 C的值为 并列成表格.检查fx)在方程根左右 f(x)在这个根处取得极 D不能确定 D.以上都不对。 D. f (a), f (b)大小关系不能确定 D, m 0 【典例精讲】 例1已知函数y=x+1，试讨论出此函数的单调区间 X 例2.若函数

7、f(X) 1 3 -X 3 1ax2 (a 1)x 1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)上为增函数，试求 实数a的取值范围. 例3已知f(x) x3 2 ax bx c在x 1与x 2时，都取得极值. 3 (1)求a,b的值； 3 若f( 1)，求f (X)的单调区间和极值; 2 例4设函数f(x) x3 ax2 bx c的图象如图所示，且与y 0在原点相切，若函数的极小值为4,(1) 求a,b,c的值；(2)求函数的递减区间. K x 2 k 例5(2011北京)已知函数f(x) (x k) e (1)求f(X)的单调区间; (2)若对x ( 1 )，都有f(x) e，求 k的取值范围。 【家庭作业】 2、函数f(X) X A x= 是极小值点， 3 B x=是极小值点 6 C x=是极大