一般的一元二次方程的解法—知识讲解

1、。一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法知识讲解（提高）【学习目标】1了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程；2掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤；3通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力 . 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】要点一、一元二次方程的解法- 配方法1配方法解一元二次方程：(1) 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2) 配方法解一元二次方程

2、的理论依据是公式：.(3) 用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解 .要点诠释：（ 1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（ 2）配方法关键的一步是“配方” ，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（ 3）配方法的理论依据是完全平方公式a22abb2(ab)2 要点二、配方法的应用1用于比较大小：在比较大小中的应用

3、，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小 .2用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用要点诠释：精选资料，欢迎下载。“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好要点三、

4、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2. 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：当时，原方程有两个不等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定 a、 b、 c 的值（要注意符号）；求出的值；若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（ 1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用 .（ 2）一元二次方程 ax2bx c 0 ( a 0) ，用配方法将其变形为：

5、 ( xb ) 2b24ac2a4a2当b24ac0 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：x1,2bb24ac2a 当b24ac0时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：x1,2b2a 当b24ac0时，右端是负数因此，方程没有实根.精选资料，欢迎下载。【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：(1) x24x10 ；(2)2 x27 x30 【答案与解析】(1) 移项，得 x2 4x 1配方，得 x24x221 4 即 (x2) 25 直接开平方，得 x25 ，x1 2 5 ， x22 5 (2) 移项，得 2x2 7 x 3，方程两边同除以2，得 x2 7x3

6、，22配方，得 x2 7 x273724242，x 7225 ，即416直接开平方，得x75414x13 ， x22【总结升华】方程 (1) 的二次项系数是1，方程 (2) 的二次项系数不是1，必须先化成 1，才能配方，这是关键的一步配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为(mxn)2P( P0)的形式，然后用直接开平方法求解同时要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方举一反三：【变式 】 用配方法解方程（ 1）（ 2） x2pxq0【答案】（ 1） 2x235x精选资料，欢迎下载。2x25x3x25x322x25 x ( 5)23(

7、5)22424( x5 ) 21416x5144x13, x21.2（ 2） x2pxq0x2px ( p )2q ( p) 222( xp)2p24q24当 p24q0 时，此方程有实数解，x1pp24qpp24q2, x22；当 p24q0 时，此方程无实数解 .类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明10x27 x 4 的值小于 0【答案与解析】10 x27 x4 (10x27x)410x2 7 x 41010x27 x494941040040024910x7420400249 42111 10x710 x720402040精选资料，欢迎下载。2210 x70 ，10x7111 0

8、，202040即 10x27 x 40 故10x27x4 的值恒小于 0【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致举一反三：【变式 】试用配方法证明：代数式2x2x3 的值不小于23 8【答案】 2 x2x32x21 x32222x21x1132441212x34161212x3481223 2x480 ， 2 x 122 x123 234488即代数式 2x2x3的值不小于23 83. 若实数 x，y 满足 x2y24x2 y 50 ，则xy的

9、值是（）3y2x 1 323223222【答案】 C；220， x2， y1【解析】对已知等式配方，得（ x2） （ y1）精选资料，欢迎下载。x y2 12 121故选23 2 23y 2 x322 （212 1）【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值举一反三：【变式 】（ 1）的最小值是；（ 2）的最大值是.【答案】（ 1） 2x26x 3 2( x23x) 3 2 x23x ( 3) 2( 3)23 2( x3)215 ；2222所以的最小值是152（ 2） x24x 5( x24x) 5( x24x 2222 ) 5(

10、 x 2) 29所以的最大值是 9.4. 分解因式： x4x22ax1a2 【答案与解析】x4x22ax1a2x42 x2x22ax1 a2（ x42x21）（ x22ax2222a ）（ x1） （ xa）( x21 xa)( x21 xa) 【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式类型三、公式法解一元二次方程5解关于 x 的方程 (mn) x2(4 m2n)xn5m0 【答案与解析】(1) 当 m+n 0 且 m 0， n0 时，原方程可化为(4m2m) xm5m0 m 0，解得 x 1(2) 当 m+n 0 时，amn ， b4m2n

11、 ， cn5m，b24ac(4 m2n)24( mn)(n5m) 36m20 ，x2n4m36m22n4m| 6m | ，2(mn)2(m n)精选资料，欢迎下载。 x1 1 ， x2n5m mn【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论举一反三：【变式 】解关于 x 的方程 x 2mx2mx 23 x(m1) ；【答案】原方程可化为(1m)x2(m3) x20, a1m, bm3, c2,b24ac(m3)28(1m)(m 1)20，3m(m1)23m (m1)x2(1m)2(1m),x1121.m , x26用公式法解下列方程：(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5) 4m；【答案与解析】方程整理为 m24m21m24m54m0 ，m22m 13 0 ， a 1，b -2 ，c -13 ，b24ac( 2)241 (13)56 ，mbb24ac(2)5622142a2121 14