线性代数期末复习题

1、线性代数B复习资料(2014)(一)单项选择题21.设A , B为n阶方阵，且 AB =E ,则下列各式中可能不成立的是(A )(A)A = B，(B)ABA = B，(C)BAB = A，(D)(BA)2 二 e2 .若由AB=AC必能推出B=C( A，B，C均为n阶矩阵)则A必须满足(C )(A)A 工O(B)A=O(C) A 式0(D) ABHO3. A为n阶方阵，若存在 n阶方阵B,使AB=BA=A，则(D )(A) B为单位矩阵(B) B为零方阵(C) B J = A (D)不一定4 .设A为n x n阶矩阵，如果r(A)2, 3,4线性无关则向量组 (C )(A) 冷 *2,2 *

2、3,3 ：1 线性无关(B) 1 -2,-3,3 -44 -1 线性无关(C) :j *2,* 3, 3 *4, 4 - ：j 线性无关(D) 1 *2,2 *3,3 一4,4一1 线性无关6.下列说法不正确的是 (A )(A)如果r个向量, a2,r线性无关，则加入 k个向量?1,?2,仍然线性无关(B)如果r个向量a 1,2:r线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关(C)如果r个向量口 1, a2r线性相关，则加入 k个向量后，仍然线性相关(D)如果r个向量J,-2,? r线性相关，则在每个向量中去掉 k个分量后所得向量组仍然线性相关7.设n阶方阵A的秩rn,则在A的

3、n个行向量中 A(A) 必有r个行向量线性无关(B) 任意r个行向量均可构成极大无关组(C) 任意r个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r个行向量线性表示&设方阵A的行列式A = 0，则A中C(A) 必有一行(列)元素为零(B) 必有两行(列)成比例(C) 必有一行向量是其余行(列)向量的线性组合(D) 任一行向量是其余行(列)向量的线性组合9设A是mx n矩阵，齐次线性方程组 AX=0仅有零解的充分必要条件是(A )(A) A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关11. n元线性方程组 AX=b , r (A, b) 1 ,

4、1=0)线性相关，则( C )由线性表出。(A)每个:i(i 1)都能(B)每个：i(i 1)都不能(C)有一个:i(i 1)能(D)某一个:i(i 1)不能13.设A为3阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(-1)倍加到第2列得到C,记Bi110、P =|010b01则：(A) C = P 4 AP(B) C 二 PAP(C) C =PT AP(D) C=PAP14.若向量组：,-,线性无关线性相关，则(C )(A)：必可由一：线性表示.(C)必可由：，线性表示.(B)-必不可由一，：线性表示(D)必不可由，：，线性表示.15. 下列命题正确的是(D )(A) 若向量组线性

5、相关,则其任意一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关，则整个向量组必线性无关(D) 向量组中部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关16. 设向量组的秩为r,则D(A) 必定r1 = 1,2,3 , ： 2二 3,-1,2 , ： 3=2, 3, x 则x= ( D )时1,2,线性相关。(A) 1(B)2(C) 4(D) 520.向量组：1=1,-1,2, 4,： 2 = 0,3,1,2,：3=3 0,7,14一 =4-1, 2, 0 的秩为 C(A ) 1( B) 2(C) 3( D) 421设A为n阶方阵，且 A = 0，则C(A) A中

6、任一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(B) A必有两行(列)对应元素乘比例(C) A中必存在一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D) A中至少有一行(列)向量为零向量 22.向量组12,is线性相关的充要条件是(C )(A)中有一零向量(B) 1 ,2 ,s中任意两个向量的分量成比例(C) 一:訂，：2,，二s中有一向量是其余向量的线性组合(D) 1 ,2 ,s中任意一个向量均是其余向量的线性组合23.若向量可由向量组 宀，：2,，： 线性表出，则(C)(A) 存在一组不全为零的数ki,k2,，ks,使等式2 kr i - k22亠k s成立(B) 存在一组全为零的数 ki

7、,k2/ ,ks,使等式1二k“i k2 ks s成立(C) 向量线性相关(D) 对一：的线性表示不唯一24 .对于n元方程组，正确的命题是(D )(A) 如AX=0只有零解，则AX=b有唯一解(B) AX=0有非零解，则AX=b有无穷解(C) AX=B有唯一解的充要条件是A = 0(D) 如AX=b有两个不同的解，则AX=b有无穷多解25 .设矩阵Am n的秩为r(A)=mn, I m为m阶单位矩阵，下述结论正确的是C(A) A的任意m个列向量必线性无关(B) A的任意个m阶子式不等于零(C) A通过初等变换，必可化为(I m ,0)的形式(D) 若矩阵B满足BA=0,则B=0.26. 非齐

8、次线性方程组 AX=b中未知数的个数为 n,方程个数为 m,系数矩阵A的秩为r, 则(A )(A) r=m时，方程组AX=b有解(B) r= n时，方程组AX=b有唯一解(C) m=n时，方程组AX=b有唯一解(D) r3,3 一2,28 向量组1,2,一，：线性无关，且可由向量组M ： 1, ： 2,r )必(A)大于等于(B)大于(C)小于(D)小于等于29 设n元齐次线性方程组 AX=0的通解为k (1,2,，n) T ,那么矩阵A的秩为(A) r(A)=1(B) r(A)=n-111入(C) r(A)=n30 设矩阵A=12 1的秩为2,则Z.=(23 k + 3JA.2B.1C.0(

9、D)以上都不是D )D.- 131 设n维向量组1,2，：(I )中每一个向量都可由向量组：2,，-s (D )线性表出，且有rs,则(D)(A) ( n熾性无关(B)( n)线性相关(C)(I熾性无关 (D)(I)线性相关32 设二比二辺,，鳥n是n个m维向量，且nm,则此向量组 ，二山必定(A )(A)线性相关(B)线性无关 (C)含有零向量(D)有两个向量相等33.矩阵A适合条件( D )时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关(B) A中任何r列线性相关(C) A中有r列线性无关(D) A中线性无关的列向量最多有r个34 .若mx n阶矩阵A中的n个列线性无关 则A的秩(C )(A

10、)大于m(B)大于n(C)等于n(D)等于m35 .若矩阵A中有一个r阶子式D丰0,且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有 R (A) ( A )(A) r(B) v r(C)=r(D) =r+136 要断言矩阵A的秩为r，只须条件( D )满足即可(A) A中有r阶子式不等于零(B) A中任何r+1阶子式等于零(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D) A中不等于零的子式的最高阶数等于r37.设mx n阶矩阵A , B的秩分别为几上,则分块矩阵(A , B)的秩适合关系式( A )(A) r - r1r2(B) r _ n r2(C) r = nr2(D) r = r1r238

11、 R(A)=n是n元线性方程组 AX=b有唯一解( C )(A)充分必要条件(B)充分条件(C)必要条件(D)无关的条件1 -1 39 矩阵A=的特征值为0,2,则3A的特征值为( B )-1 1 丿(A)2,2;(B) 0,6；(C) 0,0；(D) 2,6;-1冲240. A=,则21 2A + A的特征值为(B )厂11丿(A)2,2;(B) 2-2;(C) 0,0；(D) 4-4；41. B二PAP , 0是A,B的一个特征值，：是A的关于 0的特征向量，则B的关于 0的特征向量是(C)1(A):(C) P42. A满足关系式2A - 2A E = O，则A的特征值是(A) =2(B)

12、(C) = 1-2-243 .已知一2是A=-2的特征值，其中b丰0的任意常数，则x=(V2(A) 2(B) 4(C) - 2(D) - 4-144.已知矩阵A=-1=3, 3 = 12，则 x=(1一4-4(A) 2(提示：用 特征值的和等于迹(B)(C) 2的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题(D) 417)45设A为三阶矩阵，已知 A + E=0, A + 2E=0,A + 4E = A(A) 6(B) - 4(C) - 2(D)446.设A为三阶矩阵，有特征值为(A) E-A(B) E+A1,-1, 2,则下列矩阵中可逆矩阵是(C) 2E-A(D) 2E+A(-1/2)40 =

13、(1 -t 3 $,2=(0 t(二)计算题与填空题3_11. A -5A+6I = 0 ,贝U A =()*02-r2.设A是3汉4矩阵,R(A)=2, B =112,则 Rba )=_1_1一1(一*aF )2_3.设A为3阶矩阵，且| A|= 2,则行列式| A - 3A，| =TT.)03=(1 0 t),当t丰0,2时，向量组G 1203线性无关5 .设：=1 k 5 ，/s= 13 22 = 2-1 1$, k=(）时1可被向量6.(-8)组1,2线性表出。13、答案：1103 4 9 |卫1 2丿7设 0 =(1 22几码=(1 11川2=(1 1 -1川3=(1-1 1几则B是

14、否为向量组宀，：,:/的线性组合?(是)& 确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解Xr _x2 2x3 +3x4 = 0X1 - 3x2 - 5X3 2X4 = -1x1 x2 - ax3 4x4 = 1x1 7x2 10x3 7x4 二 b答：当a = 1,b = 4时，解为f 1、7 -3|十C21200丿C1，其中g ,C2为任意非零常数当a -1, b =4时，解为，其中k为任意常数；方程组不存在唯一解9 .已知A -111-1-111*d*，矩阵X满足AX =A 2X，其中A是A的伴随矩阵，求矩阵10广10-23-12(1)010(2)20-2-201 1, 2

15、, 4为一个极大无关组，3二M ：2 O 4,_：吒-021=4,14.设向量组宀=1,k,-1 ,： 2 二 k 1,2,1 ,： 3 二 1, 1,k ，(1) k为何值时，:1/2线性相关？线性无关？(2) k为何值时，：线性相关？线性无关？(3) 当1,2 ,3线性相关时，将：3表示为：1/2的线性组合.答案：(1) k=2时线性相关，k - -2时线性无关；(2)k=-1,-2或2时线性相关；k=-1且k = -2且k = 2时线性无关;当k - -1时，3=r0Y2 ;当k =2时,*1215 设 A= 01么-12 使得方程组AX =b总有解的b是().2*31栋32 )1L1一

16、12(k1 0 +k22j11的逆矩阵A，的特征向量，求常数22 116.已知向量匕=(1, k,1)T是矩阵A= 12J 1答案：k =1,-2勺2 1 。( 7)17.矩阵A =3 15的迹为 B(三)证明题：1. 设A为m n矩阵，B为n s矩阵，且AB = 0，证明r A r B n.证 设 B=1, 2 川s)，则 AB =(Ai,A2|, As)，由 AB=0 得A -i =0, i =1,2, |山s，所以矩阵B的列向量都是方程组 Ax=0的解.设r A =r，如r=0，则结论显然成立.如r = n，则方程组 Ax二0仅有零解，故B = 0，从而有 r A r B 二 n.如0 ： r : n ,则方程组