第十八讲：二元一次不等式(组)与简单的线性规划

1、第十八讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划一、引言：本讲主要学习掌握二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：直线定界，代点定 域；了解线性规划问题的图解法及其应用；领悟观察、画图及探索问题的能力，渗透数形 结合思想本讲重点是：图解法求解线性规划问题的步骤；本讲难点是：准确求得线性规 划问题的最优解.本讲考纲要求为：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的 几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元 线性规划问题，并能加以解决.本讲命题方向为：本讲主要考查二元一次不等式表示平面区域，线性规划的意义及简 单的应用，考查数形结合的数学思想从题型

2、上来看以选择、填空居多除考查图解法求 解线性规划问题的方法外，线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数 取值的问题经常出现.二、考点梳理1二元一次不等式表示平面区域.（1 ） 一般地，二元一次不等式A By C 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax By 0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式所表示的 平面区域（半平面）包括边界线.（2）判定不等式 Ax亠By亠C 0 （或Ax亠By亠C : 0）所表示的平面区域时，只要 在直线Ax By C 0的一侧任意取一点（X。，yo），将它的的坐标代入不等式 ，如果该点的 坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区

3、域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域.（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分.2 线性规划问题的图解法：（1）基本概念名称意义线性约束条件由x, y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x, y的约束条件目标函数关于x, y的解读式线性目标函数关于x, y的一次解读式可行解满足线性约束条件的解（x, y ）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题（2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤 根据题意，设出变量 x、

4、y ； 找出线性约束条件； 确定线性目标函数 z = f （x, y）； 画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； 利用线性目标函数作平行直线系f （x, y） t （t为参数）；观察图形，找到直线f(x, y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.二、典型例题选讲题型1 :二元一次不等式组表示的平面区域例1画出下列不等式(或不等式组)表示的平面区域.X - y + 5 王 0(1 ) 2x + y6c0 ;( 2 )x + yZ0;(3) (x- y)(x y 1)兰 0 ；x兰3x兰y兰2x .解： 先画出直线2xy-6=0 (画线虚线)，代入原点坐标(0,

5、0)得 20 0 - 6 ： 0,原点在不等式2x y -6 ： 0表示的平面区域内，不等式2x y -6 ：0表示的平面区域如图中阴影部分.(2)不等式x - y 5丄0表示直线x - y 5 = 0上及右下方的平面区域，x y亠0表示直线x y 0上及右上方的平面区域，x _3表示直线x =3上及左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.(3)不等式(x-y)(x - y-1) 一0等价于不等式组x - y 乞 0x -y -1_0矛盾，故点(x, y)在一带形区域内(含边界).所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.x v 兰 0 由x W2x，得x兰0 ；当y =

6、 0时，有丿，点(x, y)在一条形区域内(边2x _ y 启 0界)；当y乞0，由对称性得出原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.(3) 题中转化为等价的不等式组,(4) 题中注意到不等式的传递性, x轴对称.归纳小结：第(2)题中不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交 集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分第 把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解；第由x乞2x，得X _0 ,又用- y代y，不等式仍成立，区域关于例2 (2008湖北文)在平面直角坐标系解：在坐标系里画出图象， C为正确答案也可取点坐标检验判断. 归纳小结：画平面区域时作图要尽量准确，要注

7、意边界.题型2:线性规划问题X4y _ -3 I 例3设z =2x y，式中变量 X、y满足条件 3x 5y乞25，求z的最大值和最小x _1值.解：由题意，变量x, y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点(0, 0)不在公共区域内，当x =0,y = 0时， z =2x y = 0 ,即点(0,0)在直线lo : 2x y = 0上，作一组平行于I。的直线丨： 2x y =t , r R，可知：当I在I。的右上方时，直线I上的点(x,y)满足2 y 0 ,即 t 0，而且，直线I往右平移时，t随之增大.由图可知，当直线I经过点A(5,2)时，

8、对应的t最大，当直线I经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zma2 5 2=12 , zmin - 21 * 1 = 3.归纳小结：图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一 般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线 性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准 确通常最优解在可行域的顶点(即边界线的交点)处取得，但最优整数解不一定是顶点 坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点 的坐标.|2x -y -30例4求不等式组 2x 3y -6 ： 0的整数解.3x

9、-5y T5 ： 0解：设 h：2x-y-3=0 , l2:2x 3y-6 = 0 , l3 :3x - 5y-15 = 0 :IiC|I2=A , l2p|I3=C，贝V A( , ) , B(0, - 3) , C(- ,12) 于是看出8 4191975区域内点的横坐标在(0,)内，取 x = 1 , 2 , 3，当x = 1时，代入原不等式组有19：_1412y ： -1，得y =- 2,区域内有整点(1,-2)同理可求得另外三个 ?-一 -5整点(2,0) , (2,-1),(3,-1).归纳小结：求不等式的整数解即求区域内的整点是教案中的难点，它为线性规划中求 最优整数解作铺垫常有

10、两种处理方法，一种是通过打出网格求整点；另一种是本题解答 中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定 y的所有整数值，即先固定 x，再用x制约y2x - y 2 0例5 ( 1 )( 2007安徽)如果点 P在平面区域x _2y 1 0,2x + v W 2（3）（ 2007北京理）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a|y 0，x y a的取值范围是（）A4A. a3b. 0 . a 34解：约束条件的可行域是如图所示的阴影区域，观察得0 ： a岂1或a .故选D.3v/3x - y - 6 乞 0（4） （2009山

11、东理）设x, y满足约束条件 x-y 2 _0，若目标函数 z=ax by（a0, b 0）的值是最大值为12,x _ 0, y _ 011258A.B . - C63解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分的最小值为（）,当直线 z = ax by ( a 0, b 0)过直 线x- y+2=0与直线3x- y-6=0的交点(4,6 )时，目标函数z=ax+by (a0, b0)取得最大12,23Q 3 2a 3b 13 zb a、1325即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, _ + = (_ +)= +(_+_)启一+ 2 =a b a b 66 a b 66 故选Az=ax+by归

12、纳小结：线性规划的应用也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经 常出现在解题时要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值 要注意基本不等式的综合使用.题型3 :线性规划应用问题例6(2009山东文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为 300元，现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件，所需租赁费最少为 元.解：设甲种设备需要生产 x天，乙种设备需要生产 y天，该公司所需租赁费为 z元,则z=20

13、0x，300y，甲、乙两种设备生产 A, B两类产品的情况为下表所示A类产品(件)( 50)56B类产品租赁费(件)(元)140)1020020300则满足的关系为”5x+6y 3 5010x+20y釘40即 x_0y-6x+ y 兰 10 5x 2y _14xXO,y-x y = 10作出不等式表示的平面区域 ，当z =200x 300y对应的直线过两直线5的x 2y =14 交点(4,5)时，目标函数z = 200x 300y取得最低为2300元.归纳小结：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系,最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数

14、形结合解答问题.例7某人上午7时，乘摩托艇以匀速 vkm/h (4 v 20)从A港出发到距50km的B 港去，然后乘汽车以匀速 wkm/h (30 w 100)自B港向距300km的C市驶去，应该在 同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 xh、yh(1)作图表示满足上述条件的x、y范围；(2)如果已知所需的经费 p=1003 (5_x)2 (8_y)(元)，那么 v w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？分析：由p 100 3 (5 _x) 2 (8 - y)可知影响花费的是3x 2y的取值范围解：(1)依题意得 v= 50 , w=300 , 4W v 2

15、0, 30 w 100y x525 38yK360x_4,x Ny7,y Nz 252x 160 y作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示.作出直线lo: 252x 160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点， 且使在y轴上的截距最小观察图形，可知当直线252x 160y=t经过点（2, 5）时，满足上述要求.此时，z=252x+ 160y 取得最小值，即 x=2 , y = 5 时，Zm i n =252 x 2+160 x 5=1304答：每天派出甲型车 2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.归纳小结：要完成一项确定的任务，如何统筹安排，尽量做到用最少的资源去完成它，这是线性规划中最常见的问题之一用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对 作图精度要求较高，平行直线系f（x, y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.四、本专题总结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制 下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配