专题复习证明线段相等角相等的基本方法

1、专题复习 证明线段相等角相等的基本方法 （一）、教学目标：知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两 个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法 .过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的 方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰 富学生的学习经验；培养学生推理论证能力 .情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的 习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得 不同的发展 .二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法 .

2、 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法 .三、教学用具：三角板、学案等四、教学过程：（一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主 要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等， 常出现在中考 15 题左右的位置， 是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图 形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中 .（二）例题：例 1 已知：如图 1， ABC中， AB=AC， BC为最大边，点 D、 E分别在 BC、 AC上，BD=CE，F为 BA延长线上一点， BF=CD.求证： DEF=DFE .

3、分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对 等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证 线段相等证明： AB=AC B=C图1在 BDF和 CED中，BD CE,B C,BF CD,DF ED.DEF DFE.BDF CED.点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法例2 已知：如图 1，在 ABC中，ACB=， CD AB于点 D,点E 在 AC上，CE=BC过, E 点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F 求证 AB=FC. 分析：观察 AB 与 FC在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三

4、角 形中，考虑用三角形全等来证明准备三角形全等的条件时，已知一对角一对 边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角 相等来证 .图1证明： FE AC于点 E， ACB 90， FEC ACB 90， 易证 A F ABC FCE . AB FC 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两 个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等 来证，但较复杂1-1 所示放置，图 1-2 是由它抽象例 3 两个大小不同的等腰直角三角板如图 出的几何图形， B，C，E 在同一条直线上， 连结 DC 求证： A

5、BE=ACD分析：图 1-2 是由两个大小不同的等腰 直角三角板构成的旋转图形， 分别从一个等 腰三角形取一条腰， 夹角为等角加同角， 就可构成边角边对应相等的 ABE 与 ACD全等，从而可证全等三角形的对应角 相等证明： Q ABC与 AED 均为等腰直角三角形 ,AB AC， AE AD ， BAC EAD 90o 易证 BAE CAD . ABE ACD ABE=ACD点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一 个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角 加同角的和相等此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角 形、

6、正方形等例 4点 A、B、C在同一直线上，在直线 AC的同侧作 ABE和 BCF ，连接 AF，CE取 AF、CE的中点 M、N，连接 BM， BN， MN（1）如图 1，若 ABE 和 FBC是等腰直角三角形， 且 ABE FBC 900， 则 MBN 是三角形（2）如图 1-2，在 ABE和 BCF中，若 BA=BE,BC=B且F, ABE FBC ， 则 MBN 是三角形，且 MBN .（3）如图 1-3，若将（ 2）中的 ABE 绕点 B旋转一定角度，其他条件不变，那 么（2）中的结论是否成立 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论 并给出证明 .CC如图 1）分析：（1）判断

7、三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知1122BM AF EC BN ，又可证得 MBN=90 ，所以 MBN 为等腰直角三角 形（2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三 角形取一腰，构成两个边角边全等三角形解：（1）等腰直角（2）等腰（3）结论仍然成立证明：如图 1-3，易证ABF EBC. AF=CE， AFB= ECB.M,N 分别是 AF、CE的中点 ,FM=CN.MFBNCB.BM=BN. MBF= NBC.MBN=MBF+FBN=FBN+ NBC=FBC= .点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果 没有变，则结论不变；如

8、主要条件变，则结论变在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变 化前）的证法类比得到（三）练习：1 如图 1，四边形 ABCD是矩形， PBC和 QCD都是等边三角形，点 P在矩形上方，点 Q 在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQBCG图12如图 1，正方形 ABCD的边 CD在正方形 ECGF图1的边 CE上，连接 BE、DG（1）求证： BEDG；（2）图中是否存在通过旋转能够互 相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由3.如图 1，在 ABE中， AB AE,AD AC,BAD EAC, BC、DE交于点 O.求证： (1)

9、 ABC AED；(2) OBOE .E图14. 如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形 ABCD上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC上滑动，直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 DC相交于 Q. 当点 Q在边 CD上时，线段 PQ与 PB之间有怎样的数量关系试证明你的猜想BC（点 C、5如图 1-1，在 ABC 中， ACB为锐角，点为射线上一点，连结，以为 一边且在的右侧作正方形 ADEF 1）如果 AB AC ，BAC 90o， 当点在线段上时（与点不重合） ，如图 1-2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ； 当点在线段的延长线上时，如图 1-3

10、， 中的结 论是否仍然成立，并说明理由；2）如果 AB AC ，BAC 是锐角，点在线段上，当 ACB 满足什么条件时， CF 重合），并说明理由B D EC 图EB D E C（四）总结：通过本节课的学习，使学生在对例题、习题分析、证明、总结反思的过程 中，体验根据线段和角的位置关系证明角等和线段相等的方法，即当两角或两 边在一个三角形中时，利用等边对等角或等角对等边，当两角或两边在两个三 角形中时证明他们所在的两个三角形全等；体验由有公共顶点的两个等腰直角 三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边 全等三角形通过练习拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等

11、的等腰三角 形、正方形等，结论仍然成立老师在用时可将例习题变为学案使用，也可根据自己的习惯和学生情况增 减习题使用教案设计程序简单，易于使用者直接使用或改变欢迎提宝贵意见！谢谢！（五）反思：本节课例习题编排按照由易到难、有简单到复杂的顺序，符合学生的认知 规律，学生通过课上的体验、总结、交流再通过练习进行巩固，希望达到教学 目标附练习参考答案：1 证明： (1) 四边形 ABCD是矩形，DC ABC= BCD=90 PBC和 QCD是等边三角形， PBC= PCB= QCD=60， PBA= ABCPBC=30，PCD= BCD PCB=30图1 PCQ= QCD PCD=30PBA=PCQ=

12、30（2） AB=DC=QC， PBA=PCQ，PB=PC， PAB PQC， PA=PQ2（1）证明：如图 1，正方形 ABCD 和正方形 ECGFBC CD， CE CG， BCE 在 BCE 和 DCG 中，BC CDBCE DCGCE CGBCE DCG (SAS) BE DG DCG 90图12）存在 BCE绕点顺时针旋转得到 DCG （或将 DCG 逆时针旋转得到 BCE )3证明： (1) 如图 1， BADEAC， BAC=EAD在 ABC和 AED中AB AEBAC EADAC ADE图1ABC AED(SAS) (2)由(1)知ABC=AEDAB=AE ， ABE= AEB OBE=OEBOB=OE4解： PQ=PB证明： 过 P 点作 MNBC分别交 AB、 在正方形 ABCD中， AC为对角线，AM=PM又 AB=MN ， MB=PN BPQ=900 ， BPM NPQ=900 又 MBP BPM =900 ， MBP= NPQ RtMBPRt NPQ, PB=PQ5（1）垂直，相等；如图 1-2，当点 D在 BC的延长线上时的结论仍成立由正方形 ADEF得 ADAF ， DAF90o DAB FAC， BAC90o， DAF BAC ， 又 ABAC ， DAB FAC ， CFB