解三角形大题与答案

1、 1 （ 2013 大纲） 设 ABC 的角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ( a b c)(a b c) ac . (I)求 B (II) 若 sin Asin C 3 1 ,求C. 4 2 （ 2013 ） 在 ABC 中 , 角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c , 且 2cos 2 A B cos B sin( A B)sin B cos( A C ) 3 . 2 5 ( )求 cosA 的值 ; uuur uuur ( )若 a 4 2 , b 5 , 求向量 BA 在 BC 方向上的投影 . 3 （ 2013 ）设 ABC 的角 A, B, C 所对的边

2、分别为 a,b, c ,且 a c 6 , b 2 7 , cos B. 9 ( )求 a, c 的值 ; ( )求 sin( A B) 的值 . 4（2013 ）在 ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知 cos2A 3cos B C 1 . (I)求角 A 的大小 ; (II) 若 ABC 的面积 S 5 3 , b 5 ,求 sin B sinC 的值 . 5 （ 2013 新课标） ABC 在角 A, B,C 的对边分别为 a, b,c ,已知 a b cosC csin B . ()求 B ; ( )若 b2 , 求 ABC

3、 面积的最大值 . 6 （ 2013 新课标 1 ） 如图 ,在 ABC 中 , ABC=90,AB=3 ,BC=1,P为 ABC 一 点, BPC=90 1 (1) 若 PB=,求 PA;(2) 若 APB=150 ,求 tan PBA 2 7（2013）在 ABC中, 角A,B,C所对 的边分 别为a,b,c,已知 cosC+(conA-sinA)cosB=0. (1) 求角 B 的大小 ; (2) 若 a+c=1, 求 b 的取值围 33 （ 2013大纲） 设ABC 的角 A, B, C 的对边分别为a,b,c , (abc)(abc)ac . (I)求 B (II) 若 sin As

4、in C 31 ,求C. 4 【答案】 4（2013 年高考卷（理）在 ABC 中 ,角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b, c , 且 2cos 2 A B cos B sin( A B)sin B cos( A C ) 3 . 2 5 ( )求 cosA 的值 ; uuur uuur ( )若 a 4 2 , b 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影 . 【答案】 解 : 由 2cos2 A B cos B sin A B sin B cos A C 3 ,得 2 5 cos A B 1 cos B sin A B sin B cosB 3 , 5 即 cos A B

5、cos B sin A B sin B 3 , 5 则 cos A B B 3 ,即 cosA 3 5 5 由 cos A 3 ,得 sin A 4 ,0 A , 5 5 由正弦定理 ,有 a b ,所以 , sin B b sin A 2 sin A sin B a . 2 由题知 a b ,则 A B,故B. 4 根据余弦定理 , 有 4 2 52 c2 2 5c 3 2 , 5 解得 c 1 或 c 7 (舍去 ). uuur uuur uuur 2 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B 2 35 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（含答案） ）

6、设 ABC 的角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a c 6 , b 2 7 , cos B. 9 ( )求 a, c 的值 ; ( )求 sin( A B)的值 . b2 a 2 2ac(1 cos B) 【答案】 解 :( )由余弦定理 b 2 a 2 c 2 c 2ac cos B , 得 , cosB 7 又 a c 6 , b 2 , 9 ,所以 ac 9 ,解得 a 3 , c 3 . sin B 1 cos2 B 4 2 ()在 ABC 中,9, sin A a sin B 2 2 b 3 , 由正弦定理得 因为 a cos A 1 sin 2 A 1 c ,

7、所以 A 为锐角 ,所以 3 sin( A B) sin A cosB cos Asin B 10 2 27 . 因此 36 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（纯 WORD 版）已知函数 f ( x) 4cos x sin x ( 0) 的最小正周期为. 4 ( )求 的值 ; ( )讨论 f ( x) 在区间 0,2 上的单调性 . 【 答 案 】 解 : ( ) 2 2 cos x(sin x cos x) 2(sin 2 x cos 2 x 1) 2sin( 2 x )2 4 2 1 .所以 f (x) 2 sin(2 x ) 2, 1 2 4 ( ) 当 x 0,

8、 时， ) , ，令 2x 解得 x ； (2x 4 2 2 4 4 4 8 所以 y f (x)在 0, 上单调递增；在 ， 上单调递减 . 8 8 2 37 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（纯 WORD 版）已知函数 f ( x) sin( x )( 0,0 ) 的周期为 ,图像的一个对称中心为 ( ,0) ,将函数 4 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍 (纵坐标不变 ), 在将所得图像向右平移 2 个单位长度后得到函数g (x) 的图像 . (1) 求函数 f ( x) 与 g( x) 的解析式 ; (2) 是否存在x0(,) ,使得 f (x

9、0 ), g( x0 ), f (x0 ) g(x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在 , 64 请确定 x0 的个数 ;若不存在 ,说明理由 (3) 数 a 与正整数n , 使得 F (x)f (x)ag (x) 在 (0, n ) 恰有 2013 个零点 . 【答案】 解 :( )由函数f (x)sin(x) 的周期为,0 , 得2 又曲线 y f (x) 的一个对称中心为 ( ,0), (0, ) 4 故 f ( ) sin(2 ) 0 , 得 , 所以 f ( x) cos2x 4 4 2 将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )后可得 y c

10、os x 的图 象 ,再将 y cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g (x) sin x 2 ( )当 x ( , 1 sin x 2 1 ) 时 , , 0 cos2x 2 6 4 2 2 所以 sin x cos2x sin x cos2x 问题转化为方程 2cos2 x sin x sin x cos2x 在 ( , ) 是否有解 6 4 设 G (x) sin x sin x cos2x 2cos 2x , x ( , ) 6 4 则 G (x) cos x cos xcos2 x 2sin 2x(2 sin x) 因为 x ( , ) , 所以 G (x) 0 , G

11、 ( x) 在 ( , ) 单调递增 6 4 6 4 又 G ( ) 1 0,G( ) 2 0 4 6 4 2 且函数 G (x) 的图象连续不断,故可知函数G ( x) 在 (,) 存在唯一零点x0 , 64 即存在唯一的 x0 ( , ) 满足题意 6 4 ( )依题意 , F ( x) a sin x cos2x ,令 F (x) asin x cos 2x 0 当 sin x 0 , 即 x k (k Z ) 时 , cos2x 1 , 从而 x k ( k Z) 不是方程 F ( x) 0的解, 所以方程 F ( x) 0 等价于关于 x 的方程 a cos 2x , x k (k

12、Z ) sin x 现研究 x (0, )U( ,2 ) 时方程解的情况 令 h( x) cos 2x , x (0, ) U ( ,2 ) sin x 则问题转化为研究直线 y a 与曲线 y h(x) 在 x (0, ) U ( ,2 ) 的交点情况 h ( x) cos x(2sin 2 x 1) ,令 h ( x) 0 , 得 x 或 x 3 sin 2 x 2 2 当 x 变化时 , h( x) 和 h (x) 变化情况如下表 x , 3 ) 3 (3,2) (0, ) 2 ( , ) ( 2 2 2 2 2 h (x) 0 0 h( x) Z 1 Z 当 x 0 且 x 趋近于 0

13、 时 , h(x) 趋向于 当 x 且 x 趋近于 时 , h( x) 趋向于 当 x 且 x 趋近于 时 , h( x) 趋向于 当 x 2 且 x 趋近于 2 时 , h(x) 趋向于 故当 a 1 时 ,直线 y a 与曲线 y h( x) 在 (0, ) 有无交点 ,在 ( ,2 )有2个交点; 当 a 1 时 , 直线 y a 与曲线 y h(x) 在 (0, )有2个交点,在( ,2 )无交点; 当 1 a 1 时 ,直线 y a 与曲线 y h( x) 在 (0, ) 有 2 个交点 ,在 ( ,2 )有2个交点 由函数 h(x) 的周期性 , 可知当 a 1 时 , 直线 y

14、a 与曲线 y h( x) 在 (0, n ) 总有偶数个 交点 ,从而不存在正整数 n , 使得直线 y a 与曲线 y h( x) 在 (0, n ) 恰有 2013 个交点 ; 当 a 1 时 , 直 线 y a 与 曲 线 y h( x) 在 (0, )U( ,2 ) 有 3个交点,由周期 性, 2013 3 671 ,所以 n 671 2 1342 综上 ,当 a 1 , n 1342 时 , 函数 F ( x) f ( x) ag( x) 在 (0, n ) 恰有 2013个零点 38 （ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题） ） r

15、r 本小题满分 ， . 14 分 . 已知 a (cos ,sin ) b (cos ,sin ) , 0 r r r r r r r r , (1) 若 | a b | 2 , 求证 : a b ;(2) 设 c (0,1) , 若 a b c ,求 的值 . 【答案】 解 :(1) | a b | 2 | a b |2 2 即 a 2 2 2ab 2 2 , b a b 又 a 2 | a |2 cos2 sin 2 1 , 2 | b |2 cos2 sin 2 1 2 2ab 2 b ab 0 a b (2) a b (cos cos , sin sin ) (0,1) cos cos

16、 0 即 sinsin1 cos cos sin 1 sin 两边分别平方再相加得:1 2 2sin 1 1 sin sin 2 2 0 5 , 1 6 6 39 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试省数学（理）卷（纯 WORD 版）已知函数 f ( x) 2 cos x , x R . 12 ( ) 求 f 的值 ; () 若 cos 3 , 3 , 2 , 求 f 2 . 6 5 2 3 【答案】 ( ) f 6 2 cos 6 12 2 cos 4 2 cos 1 ; 4 ( ) f 2 3 2 cos 2 3 12 2 cos 2 cos2 sin 2 4 因为 cos 3 , 3

17、 , 2 ,所以 sin 4 , 5 2 5 所以 sin 2 2sin cos 24 , cos 2 cos2 sin 2 7 25 25 所以 f 2 cos2 sin 2 7 24 17 25 25 . 3 25 40 （ 2013 年高考卷（理） ） 已知函数 f ( x) sin( x ) cos( x ).g( x) 2sin 2 x . 6 3 2 (I)若 是第一象限角 ,且 f ( 3 3 ) 的值; ) . 求 g( 5 (II) 求使 f ( x) g(x) 成立的 x 的取值集合 . 【 答 案 】 解 : (I) f (x) 3 1 1 cos x 3 3 sin x

18、 f ( ) 3 sin 3 3 sin x cos x 2 sin x . 2 2 2 5 sin 3,(0, ) cos 4 ,且g( ) 2sin2 1 cos 1 5 2 5 2 5 (II) f ( x) g( x) 3 sin x 1 cos x 3 sin x 1 cos x sin( x ) 1 2 2 6 2 x 2k ,2k 5 x 2k ,2k 2 , k Z 6 6 6 3 41 （ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ） 本小题满分 16 分 . 如图 ,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 .

19、 一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲 .乙 两位游客从 A 处下山 , 甲沿 AC 匀速步行 ,速度为 50m / min .在甲出发 2 min 后 , 乙从 A 乘 缆车到 B , 在 B 处停留 1min 后 , 再从匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/ min , 山路 AC 长为 1260m ,经测量 , cos A 12 , cosC 3 . 13 5 (1) 求索道 AB 的长 ; (2) 问乙出发多少分钟后 ,乙在缆车上与甲的距离最短 ? (3) 为使两位游客在 C 处互相等待

20、的时间不超过 3 分钟 ,乙步行的速度应控制在什么围 ? A B C 【答案】 解 :(1) cos A 12 , cosC 3 13 5 A、C （0， ） sinA 5 sinC 4 , 5 2 13 sinB sin （ A C） sin（ A C） sinAcosC cosAsinC 63 65 根据 AB AC AC sinC 1040m sinC 得 AB sinB sinB (2) 设 乙 出 发 t 分 钟 后 , 甲 . 乙 距 离 为 d, 则 d 2 (130t) 2 (100 50t ) 2 2 130t (100 50t) 12 13 d 2 200(37 t 2 7

21、0 50) t 0 t 1040 即 0 t 8 130 t 35 时 , 即乙出发 35 分钟后 ,乙在缆车上与甲的距离最短 . 37 37 (3) 由正弦定理 BC AC 得 BC AC sin A 1260 5 500 (m) sinA sinB sinB 63 13 65 乙从 B 出发时 , 甲已经走了 50(2+8+1)=550(m), 还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min , 则 500 710 3 v 50 3 500 710 3 1250 v 625 v 50 43 14 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制

22、在 1250 , 625围 4314 法二 :解 :(1) 如图作 BD CA 于点 D , 设 BD =20 k , 则 DC =25 k ,AD =48 k , AB =52 k ,由 AC =63 k =1260m, 知: AB =52 k =1040m. (2) 设乙出发 x 分钟后到达点 M , 此时甲到达N 点 ,如图所示 . 则: AM =130 x ,AN =50( x+2), 由余弦定理得 : MN 2 = AM 2 +AN 2 -2 AM AN cos A=7400 x 2 -14000 x +10000, 35 其中 0 x 8, 当 x=(min) 时, MN 最小 ,

23、 此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 (3) 由 (1) 知 : BC =500m, 1260 126 (min). 甲到 C用时: 50 = 5 126 +3= 141 86 (min) . 若甲等乙 3 分钟 ,则乙到 C 用时 : 5 5 (min), 在 BC 上用时 : 5 ,且为 :500 86 1250 m/min. 此时乙的速度最小 5 = 43 126 -3= 111 56 (min) . 若乙等甲 3 分钟 ,则乙到 C 用时 : 5 5 (min), 在 BC 上用时 : 5 56 625 此时乙的速度最大 ,且为 :500 5 = 14 m/min. 1250 625

24、 故乙步行的速度应控制在 43 , 14 围 . M A B N D C 42 （ 2013 年高考卷（理） ） 在 ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知 cos2A 3cos B C 1 . (I)求角 A 的大小 ; (II) 若 ABC 的面积 S 5 3 , b 5 ,求 sin B sinC 的值 . 【答案】 解 :(I) 由已知条件得 : cos2A 3cos A 1 2cos 2 A 3cos A 2 0 ,解得 cos A 1 ,角 A 60 2 1 bc sin A 5 2 a 2 (II) S 3 28 c 4 ,由余弦定理得

25、: a 2 21 , 2R 2 sin2 A bc 5 sin B sin C 7 4R2 43 （ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学（理）（ 纯 WORD 版含答案） ABC 在角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 a b cosC csin B . ()求 B ; ( )若 b2 , 求 ABC 面积的最大值 . 【答案】 44 （ 2013 年高考新课标1（理）如图 ,在 ABC 中 , ABC=90 ,AB=3 ,BC=1,P 为 ABC 一点 , BPC=90 1 (1) 若 PB= 2 ,求 PA;(2) 若 APB=150 ,求 tan PBA

26、【答案】()由已知得,PBC= 60o , PBA=30 o , 在 PBA 中,由余弦定理得 PA2 = 3 1 2 3 1 cos30o = 7 , PA= 7 ; 4 2 4 2 ( ) 设 PBA= ,由已知得,PB= sin , 在 PBA 中,由正弦定理 得, 3 sin ,化简得 , 3 cos 4sin , sin(30o sin150o ) tan = 3 , tan 3 4 PBA=. 4 45 （ 2013 年市春季高考数学试卷 (含答案 )）本题共有 2 个小题 ,第一小题满分 4 分 ,第二小题 满分9分. 在平面直角坐标系 xOy 中 ,点 A 在 y 轴正半轴上

27、, 点 Pn 在 x 轴上 , 其横坐标为 xn , 且 xn 是首项为 1 、公比为 2 的等比数列 ,记 Pn APn 1 n , n N . (1) 若 3 arctan 1 ,求点 A 的坐标 ; 3 (2) 若点 A 的坐标为 (0，8 2) ,求 n 的最大值及相应 n 的值 . y A 0 P1P2 P3 P4 x 解 (1) (2) 【答案】 解 (1) 设 A(0，t) ,根据题意 , xn 2n 1 . 由 3 arctan 1 ,知 tan 3 1 , 3 3 x4 x3 t (x4 x3 ) 4t 而 tan 3 tan( OAP4 OAP3 ) t t x4 x3 t

28、 2 x4 x3 t 2 , 1 32 t t 4t 1 4 或 t 8 . 所以 2 32 ,解得 t t 3 故点 A 的坐标为 (0，4) 或 (0，8) . (2) 由题意 ,点 Pn 的坐标为 (2 n 1 , tan OAPn 2n 1 . ，0) 8 2 2n 2n 1 2n 1 1 tan n tan( OAPn 1 OAPn ) 8 2 8 2 . 2n 2n 1 22 n 1 16 2 2n 1 8 8 2 8 2 2 2 2n 8 2 8 16 2 2n 2 , 所以 tan 1 2 , 因为 2n 2 n 2 2 4 8 2 16 2 2n 4 时等号成立 . 当且仅当 , 即 n 2n 8 2 易知 0 n