与圆有关的定点定值值与范围问题

1、抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 第第6讲讲 与圆有关的定点、定值、最值与与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题范围问题 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 考点梳理考点梳理 1直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 _0 _0 _0 几何观点 d_r d_r d_r 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2半径r1、r1，dO1O2) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量 化 几何 观点 d _ d _ |r1r2| dr1 r2 d _ d _ 方程 观点 _0 _0 _0 _0

2、 _0 r1r2 r1r2 |r1r2| |r1r2| 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【助学微博】微博】 一个考情分析 与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 1已知两圆C1：x2y 22x10y240，C2：x2y22x 2y80，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 _ 考点自测考点自测 解析 即求两圆公共弦为直径的圆的方程两圆的公共弦所 在直线的方程 l：x2y40.圆 C1的半径 r15 2，圆心 (1，5)到 l 的距离d|1

3、104| 5 3 5，则公共弦长为 l 2 r 2 1d 22 50452 5，连心线的方程 l 1：2xy3 0，与 l 的交点为(2,1) 答案 (x2)2(y1)25 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 2若直线 yxb 与曲线 y 1x2有两个公共点，则 b 的取值 范围是_ 解析 如图，当直线介于 l1与 l2之间时满 足题意，即圆心到直线 yxb 的距离 2 2 |b| 21，解得 1b 2. 答案 1， 2) 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 3已知圆x2y 22x4y10关于直线2axby20(a， bR)对称，则ab的取值范围是_ 解析 由题意知，圆的方程为 (

4、x1)2(y2)24，圆心坐标 为(1,2)，将圆心坐标代入直线方程得 2a2b2，即 ab 12 ab，所以 ab1 4. 答案 ? ? ? ? ? ? ， 1 4 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 4(2012盐城模拟)与直线x3相切，且与圆(x1)2(y1)2 1相内切的半径最小的圆的方程为_ 解析 要使圆的半径最小，则所求圆的圆心为 ? ? ? ? ? ? 1 2，1 ，此时 r 3?2? 2 5 2，故所求圆的方程为? ? ? ? ? ? x 1 2 2(y1)225 4 . 答案 ? ? ? ? ? ? x 1 2 2(y1)225 4 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年

5、高考 5(2013连云港模拟)一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x2)2(y3)21上一点的最短路程是_ 解析 因为点 A(1,1)关于 x 轴的对称点为 B(1，1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为?12? 2?13?214. 答案 4 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 考向一考向一 与圆有关的定点问题与圆有关的定点问题 【例 1】 已知 M：x2(y2) 21，Q 是 x 轴上的动点， QA， QB 分别切 M 于 A，B 两点 (1)若|AB| 4 2 3 ，求 |MQ|、Q 点的坐标以及直线MQ

6、 的方程； (2)求证：直线 AB 恒过定点 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP| 2 3 2， 又|AM|1，APMQ，AMAQ， 得|MP| 12 8 9 1 3， 又|MQ| |MA|2 |MP| ，|MQ|3. 设 Q(x,0)，而点 M(0,2)， 由 x2223，得 x 5， 则 Q 点的坐标为( 5，0)或( 5，0) 从而直线 MQ 的方程为 2x 5y2 50 或 2x 5y2 50. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (2)证明证明 设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上

7、，此圆的方程为 x(xq)y(y2)0， 而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx2y3 0，所以直线 AB 恒过定点 ? ? ? ? ? ? 0， 3 2 . 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 方法总结 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动 直线或动圆过定点解这类问题关键是引入参数求出动直 线或动圆的方程 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【训练训练1】 已知圆x2y21与x轴交于A、B两 点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线 分别交直线l：x2于M、N两点 (1)求MN的最小值； (2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求 出该定点的坐标 (1)解 设 M

8、(2，t1)，N(2，t2)，则由 A(1,0)，B(1,0)，且 AM BN，得AM BN 0，即(3，t1)(1，t2)0，所以 3t1t20，即 t1t2 3. 所以 MNt1t2t1(t2)2 t1t22 3. 当且仅当 t1 3，t2 3时等号成立 故 MN 的最小值为 2 3. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (2)证明证明 由(1)得 t1t23.以 MN 为直径的圆的方程为 (x2)2 (yt1)(yt2)0， 即(x2)2y 2(t 1t2)yt1t20， 也即(x2)2y 2(t 1t2)y30. 由 ? ? ? ? ? y0， ?x2? 230， 得 ? ? ?

9、 ? ? x2 3， y0 或 ? ? ? ? ? x2 3， y0. 故以 MN 为直径的圆恒过定点 (2 3，0)和(2 3，0) 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【例2】 (2013扬州调研)已知圆C：x2 y29，点A(5,0)，直线l：x2y 0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； 考向二 与圆有关的定值问题 (2)在直线 OA上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有 PB PA 为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 解解 (1)设所求直线方程为 y2xb，即

10、 2xyb0. 因为直线与圆相切， 所以 |b| 22123，得 b 3 5. 所以所求直线方程为 y2x 3 5. (2)法一法一 假设存在这样的点 B(t,0) 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(3,0)时，PB PA |t3| 2 ； 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 当点 P 为圆 C与 x 轴的右交点(3,0)时， PB PA |t3| 8 . 依题意， |t3| 2 |t3| 8 ，解得 t5(舍去)或 t 9 5. 下面证明点 B? ? ? ? ? 9 5，0 对于圆 C上任一点 P，都有 PB PA 为一常数 设 P(x，y)，则 y 29x2， 所以 PB 2

11、PA 2 ? ? ? ? ? ? x 9 5 2y2 ?x5? 2y2 x218 5 x9x281 25 x210 x259x2 18 25?5x17? 2?5x17? 9 25 . 从而 PB PA 3 5为常数 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 法二 假设存在这样的点B(t,0)，使得 PB PA 为常数 ，则 PB2 2PA 2，所以(xt)2y22 ( x5)2y 2，将 y29x2 代入，得 x22xtt 29x22(x210 x259x2)， 即 2(5 2t)x342t290 对 x 3,3恒成立， 所以 ? ? ? ? ? 52t0， 342t 290. 解得 ? ?

12、? ? ? 3 5， t 9 5 或 ? ? ? ? ? 1， t5 (舍去) 故存在点 B ? ? ? ? ? ? 9 5，0 对于圆 C上任一点 P，都有 PB PA 为常数 3 5. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 方法总结 解与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或 证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明这里 是采用的另外一种方法，即先设出定值，再通过比较系数 法求得 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【训练【训练 2】 (2012徐州市调研徐州市调研(一一)在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 xy10 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为6. (1)求圆 O 的

13、方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、 E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 解解 (1)因为 O 到直线 xy10 的距离为 1 2， 所以圆 O 的半径 r ? ? ? ? ? ? 1 2 2 ? ? ? ? ? ? 6 2 2 2， 故圆 O 的方程为 x2y 22. (2)设直线 l 的方程为 x a y

14、 b1(a0，b0)， 即 bxayab0. 由直线 l 与圆 O 相切，得 |ab| a 2b2 2， 即 1 a 2 1 b2 1 2. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 所以所以 DE 2 a 2 b22(a 2 b2)? ? ? ? ? 1 a 2 1 b2 2? ? ? ? ? 2 b2 a 2b 2 a 22 ? ? ? ? ? ? 22 b2 a 2 a 2 b2 8， 当且仅当 ab2 时等号成立，时等号成立， 此时直线 l 的方程为的方程为 xy20. (3)设设 M(x1，y1)，P(x2，y 2)，则 N(x1，y1)， ，x2 1 y 2 1 2，x2 2 y

15、2 2 2.直线直线 MP 与与 x 轴交点为轴交点为 ? ? ? ? ? ? ? ? x1y2x2y1 y2y1 ，0 ， 即即 mx1y 2 x2y1 y2y1 . 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 直线直线 NP 与与 x 轴交点为轴交点为 ? ? ? ? ? ? ? ? x1y2x2y1 y2y1 ，0 ， 即即 nx1y 2 x2y1 y2y1 . 所所以以mn x1y2x2y1 y2y1 x1y2x2y1 y2y 1 x2 1y 2 2 x 2 2y 2 1 y 2 2 y 2 1 ?2y 2 1 ?y 2 2 ?2y 2 2 ?y 2 1 y 2 2 y 2 1 2?y

16、2 2 y 2 1? y 2 2 y 2 1 2， 故故 mn2 为定值为定值 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【例3】 (2012扬州中学质检(三)已知C：x2 (y1)21和直线l：y1，由C外一点P(a， b)向C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ等于P 到直线l的距离 考向三 与圆有关的最值与范围问题 (1)求实数a，b满足的关系式； (2)设M为C上一点，求线段PM长的最小值； (3)当P在x轴上时，在l上求一点R，使得|CRPR|最大 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 解解 (1)过 P 作 PHl 于 H， 则由题意可得 PQ PC 21，PH|b1|. 因为 P

17、QPH，所以a 2?b1?21|b1|， 即 a 2(b1)21(b1)2， 整理，得 a，b 满足的关系式是 a 24b1. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (2)由平面几何可知，当 PC 最小时线段 PC 与C 交于 M，此时 PM 的值最小 因为 PC a 2?b1?2 4b1?b1?2 b22b2 ?b1? 21，且 b1 4a 21 4 1 4， 所以当 b 1 4时，PC min5 4，此时 PM minPCmin11 4. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (3)因为 a24b1，令 b0，得 a 1. 由题意知 P1(1,0)，P2(1,0)由平面几何可知，当

18、 R 为直 线 CP 与直线 l 的交点时，|CRPR|取最大值 因为直线 CP1方程为 yx1，直线 CP2方程为 yx 1.所以由 ? ? ? ? ? yx1， y1， 解得 ? ? ? ? ? x2， y1. 由 ? ? ? ? ? yx1， y1， 解得 ? ? ? ? ? x2， y1. 故当点P的坐标为(1,0)时，点R的坐标为(2，1)；当点 P 的坐标为(1,0)时，点 R 的坐标为(2，1) 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 方法总结方法总结 解与圆有关的最值与范围问题，可以通过建立解与圆有关的最值与范围问题，可以通过建立 目标函数求得，还可以用基本不等式和圆的几何意

19、义求 解 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【训练【训练 3】 (2012南通、泰州、扬州三市调研南通、泰州、扬州三市调研 (二二)若动点 P 在 直线 l1：xy20 上，动点 Q 在直线在直线 l2：xy60 上， 设线段 PQ 的中点为 M(x0，y0)，且(x02)2(y02)28，则 x2 0y 2 0的取值范围是_ 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 答案答案 8,16 解析解析 因为 l1l2，所以点 M(x0，y0)在直线 x y26 2 0，即 xy40 上运动，此直 线在圆面(x2)2(y2)28 内为线段 AB， 原点 O 到线段 AB 上任一点距离的范围是

20、 |OC|，|OA|或|OB|，即为22 2，4，所以 x 2 0 y 2 0的取值范围是 8,16 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 与圆有关的最值与范围问题是江苏高考考查解析几何的 重点，解这类问题的主要方法是建立目标函数，利用基本不 等式以及圆的几何意义，特别是几何法，是解与圆有关的问 题的特有的典型方法 热点突破热点突破25 最值与范围问题求解方法最值与范围问题求解方法 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 【示例】 (2012广东)在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： x2 a2 y 2 b 21(ab0)的离心率 e 2 3， 且椭圆 C上的点到点 Q(0,2)

21、的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C的方程； (2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m，n)，使得直线 l：mxny 1 与圆 O：x2y 21 相交于不同的两点 A，B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面 积；若不存在，请说明理由 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 审题与转化 第一步：(1)利用椭圆的几何性质求方程(2)先 假设点存在，将面积用点的坐标表示，再用均值不等式求解 规范解答 第二步：(1)由 e 2 3得 a 23b2，椭圆方程为 x23y 23b2. 椭 圆 上 的 点 到 点Q的 距 离d x2?y2? 2 3b23y 2?y2

22、?2 2?y1?23b26(byb)， 当b1，即 b1 时，dmax 63b23，得 b1； 当b1，即b1 时，dmax b24b43，得b1(舍去) b1，椭圆方程为 x2 3 y 21. 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (2)SAOB1 2|OA|OB|sinAOB 1 2sinAOB， 当AOB90 时，SAOB取最大值 1 2， 点 O 到直线 l 的距离 d 1 m2n 2 2 2 ， m2n 22.又m 2 3 n 21，m23 2，n 21 2， 点 M 的坐标为 ? ? ? ? ? ? 6 2 ， 2 2 或 ? ? ? ? ? ? 6 2 ， 2 2 或? ?

23、? ? ? ? 6 2 ， 2 2 或? ? ? ? ? ? 6 2 ， 2 2 . 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 反思与回顾 第三步：本题考查椭圆方程、几何性质等知 识，考查解析几何的基本思想方法及转化与化归思想题 目中转化条件是解题关键 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 高考经典题组训练高考经典题组训练 1 (2010江西卷改编)直线 ykx3 与圆(x3)2(y2)24 相 交于 M、 N 两点， 若 MN2 3， 则 k 的取值范围是 _ 解析 圆心到直线kxy30 的距离为d |3k23| k21 |3k1| k21 .又 MN2 r 2d22 4d22 3，则

24、d21， 所以(3k1)2k21，解得 3 4k0. 答案 ? ? ? ? ? ? 3 4，0 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 2(2012天津卷改编)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y2 0与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是 _ 解析 由直线与圆相切，得 |?m1?n1?2| ?m1? 2?n1?2 1，平方整理， 得 mn1mn ? ? ? ? ? ? ? ? mn 2 2， 解得 mn22 2或 mn2 2 2. 答案 (，22 2222，) 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 3(2010四川卷四川卷)已知定点 A(1,0)，F(2,0)，定直线 l：x1 2，不 在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到定直线 l 的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直 线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N. (1)求 E 的方程； (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由 解 (1)设 P(x，y)(y0)，则?x2? 2y22 ? ? ? ? ? ? x1 2 ，整理， 得 x2y 2 3 1(y0) 抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 (2)当 BCx 轴时，将 x2 代入 x2y 2 3 1 得 B(2,3)， C(2，3)直线 AB 的方程为 y