2014年辽宁文

1、一、选择题（共 12小题；共60分） 1.已知全集 A. C. 2.设复数 A. 满足 ，则 B. 3.已知 A. B. 2014年辽宁文 -，则 ，则集合 B. D. C. D. C. D. 4.已知 A.若 表示两条不同直线， ， ，则 表示平面，下列说法正确的是 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 5.设 是非零向量，已知命题 ，则下列命题中的真命题是 ，则 ；命题：若 A. B. C. D. 6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 为直径的半圆内的概率是 中，其中 ，则质点落在以 C 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 C.- D.- 第3页（共9页） 王视图 左视

2、 佣视團 A. B. C. D. 8.已知点 在抛物线 的准线上，记 的焦点为 ，则直线 的斜率为 A. 一 B. C. D. 9.设等差数列 的公差为，若数列 为递减数列，则 A. B. C. D. 10.已知 为偶函数，当 时, 则不等式 -的解 集为 A. B. C. D. 11.将函数 的图象向右平移 -个单位长度，所得图象对应的函数 A.在区间 上单调递减 B.在区间一一上单调递增 C.在区间 -上单调递减 D.在区间-上单调递增 12.当 时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共 4小题；共20分） 13.执行如图的程序框图，若输入 ，则输出

3、开蜡 zzrrL /镐入M / * 1 14.已知 满足条件 则目标函数 的最大值为 15.已知椭圆 的焦点不重合，若 关于的焦点的对称点分别为 线段 的中点在 上，则 16.对于 ，当非零实数 满足 且使 最大时， 第3页(共9页) 最小值为 三、解答题(共 8小题；共104分) 17.在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，已知 求: (1) 和的值； 的值. (2) (1) 根据表中数据，问是否有 面有差异”； (2) 已知在被调查的北方学生中有 中随机抽取人，求至多有 18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如 喜欢甜品不喜欢甜品合计 卡丰站

4、一南方学生 下表所示： 北方学生 合计 的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方 名数学系的学生，其中名喜欢甜品，现在从这名学生 人喜欢甜品的概率. 19. 如图，和 , 分别为 所在平面互相垂直，且 的中点. 第7页（共9页） 为底面面积，为高. 20.圆 点为 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切 的切线与 轴正半轴, （如图）. 4 V （1）求点 的坐标； （2）焦点在 轴上的椭圆 积为，求的标准方程. 过点 ，且与直线 交于 两点，若 的面 21.已知函数 （1）证明：存在唯一 （2）证明：存在唯一 ，且对（1）中的，有 22.如图， 交圆于 ， 于点，作弦 垂

5、直 R 两点， ，垂足为 切圆于 为上一点且 ，连接并延长交圆 D / A7 J （1）求证： （2）若 为圆的直径; ，求证： 23.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 （1）写出 的参数方程； （2）设直线 立极坐标系，求过线段 与的交点为 倍，得曲线 ，以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建 24.设函数 的解集为 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程. 的解集为 ，记 (1)求 (2)当 时，证明: 答案 第6页（共9页) 第一部分 1. D2. A 6. B7. B 3. C 8. C 4. B5. A 9. D10. A 11. B 12. C 第二部分 13. 14. 1

6、5. 16. 第三部分 17. (1)由 ，得 .又 -，所以 由余弦定理，得 (心人2 + 少2 = 2人2 + 2accos B ) 又 ，所以 (何2 + 2 = 9 + 2 times 2 = 13 , ac = 6, a2 + 少2 = 13. )解得 由 (begi ncases (a = 2 , c = 3 或 a = 3, )因为 ，所以 (2)在中，可得 (dfrac13right ) (sin B = sqrt 1 - cos 尸2B = sqrt 1 - left ( sin C = ）br由正弦定理得 dfraccbsin B = dfrac23 times dfrac

7、2sqrt 2 3 = dfrac4sqrt 2 9 所以 为锐角，因此( cos C = sqrt 1 - sin 尸2C = sqrt 1 - left ，) 因 (dfrac4sqrt 2 9right )尸2 = dfrac79,) 于是 (cos left ( B - Cright ) = cos Bcos C + sin Bsin C = dfrac13 times dfrac79 + dfrac2sqrt 2 3 times dfrac4sqrt 2 9= dfrac2327. ) 18. （ 1）将 列联表中的数据代入公式计算，得 由于 有差异”. ，所以有 的把握认为南方学生

8、和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面 （2）从名数学系的学生任取 人的一切可能结果有: ,其中 表示喜 欢甜品的学生, 表示不喜欢甜品的学生, 基本事件空间由这个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的. 包含: 用 表示“人中至多有 人喜欢甜品”这一事件，则 因而 19. （ 1）由已知得 ，因此 ，这 个基本事件, 又为 中点，所以 同理 ，又 ，因此 平面. 又 ，所以 平面. (2) 在平面 内，作，交 延长线于 ， 由平面 平面 又为 中点，因此 到平面的距离 是长度的 半. 平面 ，知 中，可得 所以 由 ，则切线斜率为一，切线方程为 此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积

9、 ，知当且仅当 时, 有最大值，即 有最小值，因此点 的 坐标为 (2) 的标准方程为 ，点 由点 在 上知一 并由 是方程的根, 因此 ，得 到直线 的距离为 =及 ，得 解得 因此 21. (2) 时, 时，化简得 ，从而在 从而所求的方程为一 所以存在唯一 为增函数. ，所以 -，使 -上为增函数. ，记 由（1）得，当 时, ；当 第13页（共9页） 知，当 -时, ，所以 在 -上无零点，在 上 为减函 数. 知存在唯一 ，使得 于是存在唯一 因此存在唯一的 ，使得 由于 ，所以 22. (1) 所以 因为 由于 又由于 为切线，故 ，故 所以 ，从而 由于 所以 ，于是 .故 是圆

10、的直径. 在 从而 (2) 是直径，故 与 连接 中， .于是 又因为 所以 ，故 由于 所以 为直角. 于是 为直径. 所以 23. (1) 依题意，得 为圆 上的点, 经变换为上点 (begi ncases x = x_1 , y = 2y_1. ) 由 即曲线的方程为 (x2 + left (dfracy2right (x2 + dfracy24 = 1,) 故 的参数方程为 ，得 )人2= 1,) 为参数. (2)由 (begi ncases x2 + dfracyA24 = 1 2x + y - 2 = 0. )解得 (begi ncases x = 1 , y = 0 endcases或begincases X = 0， y = 2. ) 不妨设 ，则线段 的中点坐标为 所求直线的斜率为 -，于是