18 19 第1章 §3 弧度制

1、 3 弧度制 学习目标：1.了解角的另外一种度量方法弧度制.2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点) 自 主 预 习探 新 知 1弧度制 (1)弧度制的定义 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad， 读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制 (2)角度制与弧度制的互化 弧度数 ()正角的弧度数是一个正数； ()负角的弧度数是一个负数； ()零角的弧度数是0； ()弧度数与十进制实数间存在一一对应关系 弧度数的计算 l|.如1-3-1图： r 图1-3-1 角度制与弧度制的换算 一些特殊角的度数与弧

2、度数的对应关系 度 0 1 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧 度 0 180 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ 提示：在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时， 同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小 页 1 第 与所在圆的半径大小无关 2弧长公式与扇形面积公式 已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，为圆心角的弧度数 角度制 弧度制 |n|rl|弧长公式 |r l18021r1|n|2 扇形面积公式 r|r|lS S2360

3、2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 1lr，l为其圆心角，则Sr. l提示：设扇形的半径为r，弧长为， 2基础自测 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 ( ) 11 ) 1. 度的角是周角的(2)1(弧度的角是周角的 ， 2360 ) (3)180等于弧度 ( (2) (3)答案 (1) 2时针经过一小时，时针转过了(rad A. rad B 66rad C. rad D 1212 30B 时针经过一小时，转过，B. rad，故选又30 6) (53若，则角的终边在 BA第四象限 第三象限 C第一象限 第二象限 D 52D 与5

4、的终边相同， 页 2 第 ?0，?，5 2 2?25是第一象限角，则5也是第一象限角 2，则扇形的圆心角的弧度数是( 面积是2 cm ) 4已知扇形的周长是6 cm，A1 B4 D2或4 C1或4 C 设扇形半径为r，圆心角弧度数为， ?，r62r?r1，r2，? 则由题意得或12?41.r，2? 2 难 探 究攻 重合 作 角度与弧度的互化 将下列角度与弧度进行互化： 711. ；(4)15；(3)(2)(1)20； 512【导学号：64012019】 解 (1)2020 rad rad. 9180(2)1515 rad rad. 1218077 rad180105(3). 12121111

5、 rad180(4)396. 55 规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点 180? 进行换算 rad和1 rad，牢记(1)原则：180 rad充分利用1180?180 nn； rad，则，角度数为方法：设一个角的弧度数为(2)n180rad. 页 3 第 注意点：(3) 可以省略不写；“rad”为单位度量角时，“弧度”二字或用“弧度如无特别的形式，为单位度量角时，常常把弧度数写成多少用“弧度” 写成小数；要求，不必把 度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度 跟踪训练 将下列各角度与弧度互化：175. 30(3)；157；(2)(1) 61255 75；180解 (1) 12

6、1277 ；180(2)210 66rad 157.5157.515730(3) 1807 rad. 8 用弧度制表示终边相同的角 终边落在阴影x轴的非负半轴， 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 )部分内的角的集合(不包含边界先用弧度制表示临界角，然后利用终边相同的角将区域用不等 思路探究 式组的形式表示为终边的角为OB)Z；以(解 (1)如图，以OA为终边的角为2kk 62 kZ)(2k 3 阴影部分内的角的集合为 页 4 第 2?Zk，k2k2?. ? 63?以；Z)k(k(2)如图，以OA为终边的角为2 32；不妨设右边阴影部)Z2k(kOB为终边的角为 3左边阴影部分所表示的集合为M，

7、分所表示的集合为1 M，2 ?Zk，2k2k? ，M则? 13? 2?Z2k，k2k? ，M? 23? 阴影部分所表示的集合为： 2?Z，k2k2kk22k或?. MM? 2133? 1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤：规律方法 (1)仔细观察图形； (2)写出区间边界对应的角；. (3)用不等式表示区域范围内的角注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够2. 合并，这一点容易出错 跟踪训练 ；2Z)的形式，其中0写成2(1)把1 4802k(k. 终边相同，求(1)中与4，0)，且(2)若1616742， 10，0解 (1)1 480 99916161 480252

8、(5). 99 页 5 第 16(2)与终边相同，2k，kZ. 9220. ，4，0)，又 2199 弧长公式与面积公式的应用 探究问题 1扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ l提示：|. r2扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ 1提示：Slr. 2 求该扇形圆心角的弧度数. ，1周长为4， 一个扇形的面积为 64012019】【导学号： l 设扇形的半径为R，弧长为思路探究 求圆心角R、l根据条件列方程组解方程组求 ，R，弧长为l解 设扇形的半径为 ，2Rl4，则2Rl41 ，lR根据扇形面积公式S 21 ，R1(42R)R，1得 22l 2，l2 1R2 rad. 即扇形的圆心角

9、为 母题探究，试求圆心，周长为10中的条件改为“扇形的面积为变条件()将例341 2)的弧度数角(0 页 6 第 ，由题意得：长为l，扇形半径为r解 设 ?，10l2r?，1r4，r?) 解得(或舍1?8.l2，l，4lr?2121rad. (rad)，即扇形的圆心角为 故242”问：当的条件改为“已知扇形的周长为40 cm变条件变结论()将例32 它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？，40l2rr 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，则解 ，402rl112 rr2r)r20(40Slr222100. 10)(rl2cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm，此时r当

10、半径10 r10240 2(rad)102. ，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm当扇形的圆心角为2 rad灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问 规律方法将扇形面转化思想解决扇形中的有关最值问题，题的关键，有时运用函数思想、. 积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题 基 标固 双 当 堂达 ) 1下列说法中，错误的说法是( A半圆所对的圆心角是 rad 周角的大小是2B 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径C1 弧度1D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 页 7 第 D 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误 22 340转化为弧度为( ) 13 B13 A 213D 13 C 2B. B 2 34013，选 1803) ，则扇形的圆心角为( 的扇形面积为13已知半径为 833 B.A. 81633 C. D. 24331122，所以1. 得rC 由S| 42824已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为_ l183解析 由弧长公式lR得. 212R3答案 25已知1 690. (1)把写成2k(kZ，0,2)的形式； (