18 19 阶段复习课 第2章 平面向量

1、 第二课 平面向量 核心速填(教师用书独具) 1常见的六种向量 (1)单位向量：模为1的向量 (2)零向量：模为0的向量 (3)平行向量：方向相同或相反的向量 (4)共线向量：方向相同或相反的向量 (5)相等向量：模相等、方向相同的向量 (6)相反向量：模相等、方向相反的向量 2两个定理 (1)共线向量的判定或性质定理： ba?ba.(a0，存在且唯一) (2)平面向量基本定理： 若在同一平面内，e与e不共线，则该平面内的任一向量aaeae，且(a，1121122 a)唯一，当ee，且|e|e|1，则axeye，且(x，y)唯一 2222111 3向量的线性运算和数量积运算 (1)abOAAB

2、OB(三角形法则) (2)abOAOBBA(三角形法则) |b|0)，0?a，b同向；0?a，b(3)ba(a反向；a0?|. |a (4)ab|a|b|cos . 4向量的正射影 ab(1)向量b在a方向上的正射影数量为|b|cos . |a ab(2)向量a在b方向上的正射影数量为|a|cos . |b 5向量的坐标运算 已知向量a(x，y)，b(x，y)和实数，那么 2112ab(xx，yy)，ab(xx，yy) 21221121 a(x，y)，abxxyy， 211122 222222，axy|a|，ay|a|xb?xyxy0. 12111112 ab?xxyy0. 2121 页 1

3、第 6向量的运算律 (1)交换律：abba，abba. (2)结合律：a(bc)(ab)c， abca(bc)，(a)b(ab)a(b) (3)分配律：()aaa，(ab)ab，(ab)cacbc. 22222. b2)aab(ab)ab(，ab(4)重要公式：(ab)注意：向量的数量积运算的特点： 0a0或bb0. (1)a bc(2)aba.c b(ac)bca(3)ba(c 体系构建 题型探究 平面向量的线性运算向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解1 和运用要注意大小、方向两个方面向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线2 性运算的

4、关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题 3题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等 的中点，是中线CM是MAB边的中点，E，在 如图2-1ABC中，点. FC求证：交BC于H.HFBHMHBCAE的延长线交于F.AF1 2-图HF思路探究 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出即FCBH、与 可证得BM 设证明 ，aMHb， ，bBH则a HFHBBAAF MH2BMBH2 aba2ba2b， 页 2 第 11FCFEECHMMEMHMAAE 22111bBMAFEFba2MHMH 22211ba2bbab. 22综上，得HFBHFC. 跟踪训练

5、11.如图2-2，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BMAB，点N 21在BC上，且BNBC，求证：M，N，D三点共线 3图2-2 证明 设ABe，ADe，则BCADe， 2121111BNBCe，BMABe， 12223311MNBNBMee， 12233又MDADAMee 12211?ee?33MN， 1223?向量MN与MD共线， 又M是公共点，故M，N，D三点共线. 平面向量的数量积 平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零平面向

6、量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度 非零向量a，b满足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求a，b的夹角的余弦值 思路探究 页 3 第 22的关系|bb，a?列出方程组求出|a|，?b?2ab?，?a2b?2?ab|由?a 利用夹角公式可求 ，得ab)，(a2b)a解 由(b)(2(2ab 5 ?222，0b|b|aa2|，b|aa? 2? 解得22?a|2|b|30b，2|a?2?4|b|ab， b，10a|a|b|所以10ba. cos 所以 10b|a| 跟踪训练AC则AP且AP3，3所示，在平行四边形A

7、BCD中，APBD，垂足为P2.如图2-_. 3 2-图 】【导学号：79402103AP 解析) BCAP(ABAC) DC(BDAPABAPBCAPABAP ，APABAPBD20. BDBD，APAP2 AP|，|AB|cosBAP|APAPAB|218. 92APAC2|AP|18 答案 向量的坐标运算向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向量的1 运算完全化为代数运算，实现数与形的统一向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方2 程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、3

8、 页 4 第 垂直等问题 已知向量AB(4,3)，AD(3，1)，点A(1，2) (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足PBBD(R)，求y与的值 思路探究 (1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标； (2)由向量相等转化为y与的方程求解 解 (1)设点B的坐标为(x，y) 11AB(4,3)，A(1，2)，(x1，y2)(4,3)， 11 ?，34，xx1?11? ?，1，3yy2?11 4，3)B(3,1)同理可得D( ，x，y)设线段BD的中点M的坐标为(22341311?1，?. M1，x则，y 222222? y)，y)(1,1(2(2)由已知得PB(3,1)，

9、4)(7，4BD(，3)(3,1) ，4)(7，BD，(1,1y)PB又 1? ，?，71 7? 则3?，1y4?.y 7跟踪训练 3已知ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，求AD. 【导学号：79402104】 解 设D(x，y)，则AD(x2，y1)， BD(x3，y2)，BC(6，3)， 页 5 第 ADBC，ADBC0， 则有6(x2)3(y1)0， BDBC，则有3(x3)6(y2)0， ?，1x? 构成的方程组得解由?，1y?1,2). (1,1)，所以AD则D点坐标为 平面向量的应用向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角

10、形法1则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密 切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方2 程 3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题 . PCFBE、交于点F分别是CD、AD的中点， 已知正方形ABCD，E、 ；BECF求证：(1). AB(2)AP ，则AB2 如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设证明 F(0,1)(2,2)，E(1,2)，(2,0)A(0,0)，B，C 1,2)，(2,0)(BE(1)OEOB(1,2) 2，1)OC(0,1)(2,2)(CFOF 0，22)

11、(1)CFBE1(. CFBEBECF，即 ，2，1)CF，y1)，(yP(2)设(x，)，则FP(x2. x2y，即2(FPCF，xy1)2. y，代入2yBEBP同理由，得x4x2 页 6 第 8686?，?. y，即P解得x， 5555?86?2222? ，AP4AB 55?. ABAB|，即AP|AP| 跟踪训练 1,4)，D(4已知三个点A(2,1)，B(3,2) ；求证：ABAD(1)的两对角线所夹ABCDABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形(2)要使四边形 的锐角的余弦值 ，D(1,4)A(2,1)，B(3,2)，解 (1)证明： ，(3,3)AB(1,1)，AD 0，1(3)

12、3ABAD1. ABADABAD，即. DCABABAD，(2)四边形ABCD为矩形， )，点的坐标为(x，y设C 4)，1，yAB(1,1)，DC(x则 ?，0 xx11，? 解得?，5y41，y? C点的坐标为(0,5) (4,2)，从而AC(2,4)BD16. 825，ACBD|AC|，25|BD|8 ，设AC与BD的夹角为416ACBD ，则cos 520|BD|AC 页 7 第 4. ABCD矩形的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 5 数形结合思想运算律的推导中都渗 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、将数和形透了数形结合思想向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，或射

13、线、直紧密地结合在一起运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段( 线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题 ，为边向外作正方形ABGF，ACDEAC如图2-4所示，以ABC的两边AB， . 的中点，求证：AMEFM为BC4 图2-AMEF，只需证明思路探究 要证AM用EF表示，将0.先将AM用AB，ACEF0. EFAE，AF表示，然后通过向量运算得出AM1AMBC的中点，所以证明 因为M是 )，(ABAC 2 AE，又EFAF1) AEAC)(AF所以AMEF(AB 21) AEACAEABAFACAFAB( 210) AE(0ACAFAB 21) AE(ACAFAB 21) BACAC|AB|cos(90 2 BAC)0，|AB|AC|cos(90. ，即AMEF所以AMEF 跟踪训练) ( |，