2014年四川文

1、2014年四川文 第2页（共7页） 一、选择题（共10小题；共50分） 1.已知集合 ，集合为整数集，则 A. B. C. D. 在这个问题中, 名居民的阅 2.在 世界读书日”前夕，为了了解某地 读时间进行统计分析. 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 名居民的阅读时间的全体是 C.样本的容量 B.个体 A.总体 D.从总体中抽取的一个样本 3.为了得到函数 A.向左平行移动 的图象，只需把函数 个单位长度B.向右平行移动 的图象上所有的点 个单位长度 C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度 4.某三棱锥的侧视图、 俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （锥体体积公式: ，其

2、中 为底面面积，为高）. A. B. D. 5.若 A.- B.- C.- D.- 6.执行如图的程序框图, 如果输入的 ，那么输出的的最大值为 否 .V=l 5 2x + I- / 输 2、y/ ，则一定有 I /输川$ / t 结朋 A. B. C. D. 7.已知，则下列等式一定成立的是 A. B. C. D. 8.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸 ，则河流的宽度等于 的俯角分别为 ，此时气球的高是 75 4 A. B. C. D. 9.设 ，过定点 则 的动直线 的取值范围是 和过定点的动直线 交于点 A. B. C. D. 10.已知 是抛物线 为坐标原点），则 的焦点, 与 在

3、该抛物线上且位于轴的两侧, 面积之和的最小值是 A. B. C. D. （其中 二、填空题（共5小题；共 25分） 11.双曲线 的离心率等于 12.复数 13.设 是定义在上的周期为的函数，当 时, 14.平面向量 ，且与的夹角等于 的夹角，则 15.以 表示值域为的函数组成的集合, ，存在一个正数，使得函数 时， 的定义域为，则“ 的充要条件是 表示具有如下性质的函数 的值域包含于区间 .现有如下命题： 组成的集合：对于函数 .例如，当 设函数 函数 若函数 若函数 其中的真命题有 ”的充要条件是“ 有最大值和最小值; 的定义域相同，且， ，则 有最大值，则 .（写出所有真命题的序号） 三

4、、解答题（共6小题；共78 分） 第4页（共7页） 16. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 机有放回地抽取次，每次抽取 抽取的卡片上的数字满足 抽取的卡片上的数字 (1) 求 (2) 求 ，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随 张，将抽取的卡片上的数字依次记为，. ”的概率； , 不完全相同 ”的概率. 17.已知函数 (1)求 的单调递增区间; (2)若 是第二象限角， ，求 的值. 18.在如图所示的多面体中，四边形 都为矩形. (1)若 (2)设 ，证明：直线 分别是线段 平面 的中点，在线段 上是否存在一点 ,使直线 平面 ?请证明你的结论. 19.设等差数列 (1)证明：数列

5、 的公差为，点 为等比数列; 在函数 的图象上 (2)若 ，函数 的图象在点 处的切线在轴上的截距为 一，求数列 的前项和 20.已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 (1)求椭圆 的标准方程; 为坐标原点， 是平行四边形时， (2)设 为直线 求四边形 上一点， 的面积. 的垂线交椭圆于 .当四边形 21.已知函数 (1) 设 (2) 若 是函数 ，函数 ，其中 的导函数，求函数 在区间内有零点，证明: 在区间 为自然对数的底数. 上的最小值； 第11页(共7页) 答案 第一部分 4. D5. D 9. B10. B 1. D2. A3. A 6. C7. B8. C 第二部分 11. 12.

6、13. 14. (Pleft( Aright)= dfrac327= 15. )因此抽取的卡片上的数字满足 ”的概率为- 16. (1) 由题意， 的所有可能为 (begi nsp lit & left (1, 1, 1right) ,lef1 :(1 ,1, 2right), left (1, 1 , 3right), left (1, 2, 1right), left (1, 2, 2right), & left (1, 2, 3right), left (1, 3, 1right), left (1, 3, 2right), left (1, 3, 3right), left (2, 1

7、, 1right), & left (2, 1, 2right: ),left (2, 1, 3right), left (2, 2, 1right), left (2, 2, 2right), left (2, 2, 3right), &left (2, 3, 1right), left (2, 3, 2right), left (2, 3, 3right), left (3, 1 , 1right), left (3, 1 , 2right), &left (3, 1, 3right), left (3, 2, 1right), left (3, 2, 2right), left (3,

8、2, 3right), left (3, 3, 1right), & left (3, 3, 2right), left (3, 3, 3right) ) 共种. 第三部分 设抽取的卡片上的数字满足 ”为事件 ，共种，所以 则事件包括 (2)设 抽取的卡片上的数字 ，共种，所以 )因此抽取的卡片上的数字 不完全相同”的概率为-. 不完全相同”为事件，则事件 包括， (Pleft ( Bright) =1-Pleft (overline Bright ) = 1 - dfrac327= 17. (1)因为 (2kmathrm pi - dfracmathrm pi 2 leqsla nt 3x

9、+ dfracmathrm pi 4 leqslant 2kmathrm pi + dfracmathrm pi 2,) 所以 (2kmathrm pi - dfrac3mathrm pi 4 leqsla nt 3x leqsla nt 2kmathrm pi + leqsla nt dfrac2kmathrm pi 3 + dfracmathrm pi 12 增区间为 dfracmathrm pi 4, dfrac2kmathrm pi 3 - dfracmathrm pi 4 leqslant x )因此所求 的单调递 (2)因为(begi nsp litfleft(dfraca Ip

10、ha 3right) &= sin left (al pha + dfracmathrm pi 4right ) = dfrac45cos left (alpha + dfracmathrm pi 4right ) cos 2alpha ,) 整理得(sin alpha + cos alpha= dfrac45 cdotleft (cos alpha -sin alpha right) 2left (cos alpha + sin alpha right ) ,) 当时，由 是第 )整理得 二象限角，知 时 (alpha=dfrac3mathrm pi4+2kmathrm pi， k in m

11、athbfZ )当时，有 ) 此 (left (cos al pha - al pha， )因此 ( )综上可得 (cos alpha-sin alpha=-sqrt 2 或 ) 18. (1) 因为四边形 和四边形 都是矩形， 所以 因为， 为平面 内的两条相交直线， 所以 平面. 因为直线 平面 ，所以. 又由已知, , , 所以 平面 (2) 取线段的中点，连接， ,，设 . 为 的中点. 连接 ,，则 ,分别为， 的中位线. 所以 , , , 所以 , ，连接，从而四边形为平行四边形, 则. 因为直线 平面 ,平面 所以直线 平面 即线段 上存在一点 (线段的中点)， 使得直线平面 1

12、9. (1) 由已知得 (b_ n=2Aa_ n0 ,) 当时， 则(dfracb_ n + )所以，数列 是首项为，公比为 等比数列. ( )又是第二象限角，所以 sin alpha right)人2 = dfrac54 (sin alpha cos 的 ，求导得 (fleft (xright) =2x ln2 , 在 (2 ) 处的切线为 (y-b_2=2Aa_2ln2left( x-a_2right )，) )所以 令 ，得 b_2=left 得 (卜 ) 解 (2a_2ln2right ) times left ( x-a_2right ) ， x=a_2-dfrac 1ln 2 ，所

13、以，故(a_n=n ， b_n=2人n ，) 所以 ) 其前 项和(T_n = 1 cdot 4 + 2 cdot 42 + 3 (a_ nb_ nA2=ncdot4A n cdot 4人3 + cdots + left (n - 1right) cdot 4人n - 1 + n cdot 4人n， quad cdots cdots ) 两边乘以得(4T_n = 1 cdot 4人2 + 2 cdot 4人3 + 3 cdot 4人4 + cdots + left( n - 1right) cdot 4人n + n cdot 4人n + 1， quad cdots cdots )得 (begi

14、nsplitT_n -4T_ n & = 4 + 4人2 + 4人3 + cdots + 45 - n cdot 4人 n + 1 &= dfrac4 n + 1 - 43 - n cdot 4人 n + 1, )所以 20. (1)由已知得 (dfracca = dfracsqrt 6 3，c=2，) 所以 (a = sqrt 6 , )又由 ，解得 (b = sqrt 2，) 所以椭圆的标准方程为 (2)设 点的坐标为 ，则直线 的斜率 2right) ) 当 时，直线 的斜率 ) 当 时，直线 的方程是 (x = - 2 , 将 代入椭圆方程得 (left (mA2+3righ ) (D

15、elta = 16何人2 + 8left (m2 + 3right ) (k_TF = dfracm - 0 - 3 - left 直线的方程是 (- (x=my-2 , (begi ns plity_1 + y_2 & = dfrac4mm2 + 3 x_1 + x_2 & = mleft (y_1 + y_2right 为四边形是平行四边形，所以 ，即 x_2 , m - y_2right ) 所以 x_1 + x_2 = dfrac - 12何人2 + 3 = - 3 y_1 + y_2 = dfrac4mm2 + 3 = m . )解得 ( )也符合 ) 设, 的形式. )其判别式 ，

16、则 ,y_1y_2 = dfrac - 2何八2 + 3 ) 因 (left (x_1 , y_1right ) = left ( - 3 - (begi ncases , )此时四边形 的面积 (beginsplitS_ 四边形 OPTQ &= 2S_triangle OPQ = 2 times dfrac12|OF| cdot |y_1- y_2| &= 2sqrt left ) (dfrac4mm2 + 3right )尸2 - 4times dfrac - 2m2 + 3= 21. (1) 当时, 调递增，所以 令 ( gleft (xright) =mathrmex-2a0 (gle

17、ft ，得 (xright) geqslant gleft ( 0right) ) 得 当 时, 上恒单 所以当 时，即 -时, 上单调递增, 所以 (gleft (xright) geqsla nt gleft 调递减，在 ) 当 (Oright) 上单调递增，所以 时，即- -时, 上单 geqslant gleft ( ln left (2aright) right) =2a-2a ln left ( 2aright) ) 当 时，即 -时, 上单调递减, 所以 (gleft (xright ) geqslant gleft ( 1right) )综上所述 故 同理 (2)设 在区间 不

18、可能恒为正, 在区间 在区间 在区间内的一个零点，则由 上不可能单调递增，也不可能单调递减. 也不可能恒为负. 内存在零点 所以 在区间 内存在零点 内至少有两个零点. 可知, 由(1) 知，当 -时, 上单调递增，故 内至多有一个零点. 当 -时, 上单调递减，故 内至多有一个零点. 所以()此时,在上单调递减， 上单调递增，因此 left ( 2aright )， 1right )， (x_1 in left (0， ln left (2aright)right ， x_2 in left (ln ) 必有 ) 由 gleft (0right ) = 1 - b 0， gleft ( 1right ) 得 ( a + b = mathrme - 1 2,) 有 ( 1right ) 当 ，则 矛盾， 所以 glef