2011年北京理

1、一、选择题（共7小题；共 35分） 1.已知集合 A. C. 2.复数 A. B. 3.在极坐标系中，圆 A. B. 2011年北京理 B. D. C. 的圆心的极坐标是 C. ，则 的取值范围是 D. D. 4.如图， 个结论: 分别与圆 切于点 ，延长 与圆 交于另一点.给出下列三 : 名 C. D. 5.根据统计， 工人组装第 件某产品所用的时间（单位： 分钟）为 分钟，那么 为常数.已知工人组装第件产品用时分钟，组装第 件产品用时 的值分别是 A. B. C. D. 6.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 A. B. C. D. 7.设 的整点的个数，其中整点是指

2、横、纵坐标都是整数的点，则函数 记 为平行四边形内部 的值域为 （不含边界） 第4页（共7页） A. B. C. D. 二、填空题（共 6小题; 共 30 分) 8.在 中, ，则 9.已知向量 .若 与共线，则 10.在等比数列 中, ，则公比 11.用数字 个.（用数字作答） 组成四位数， 且数字 至少都出现一次，这样的四位数共有 12.已知函数 若关于的方程 有两个不同的实根，则实数 取值范围是 13.曲线 是平面内与两个定点 出下列三个结论： 的距离的积等于常数 的点的轨迹.给 曲线 曲线 过坐标原点； 关于坐标原点对称; 若点 在曲线上，则 的面积不大于 其中，所有正确结论的序号是

3、三、解答题（共 6小题；共78分） 14.已知函数 (1)求 的最小正周期; (2)求 在区间 上的最大值和最小值. 15.如图，在四棱锥 中, 平面 ,底面 是菱形, (1) 求证: 平面 (2) 若 当平面 ，求 与平面 与 所成角的余弦值； 垂直时，求的长. 16.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以 表示. ，其中为 的平均数） （1）如果 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 布列和数学期望. 的分 17.已知函数 (1)求 的单调区间; ，都有 -，求

4、 的取值范围. 18.已知椭圆一 .过点 (1)求椭圆 的焦点坐标和离心率； (2)将表示为 的函数，并求 19.若数列 满足 (1)写出一个满足 ，且 (2)若， ，证明： (3)对任意给定的整数 写出一个满足条件的 数列； (2)若对于任意的 作圆 数列 是否存在首项为 的切线交椭圆 于 两点. 的最大值. ，则称 为数列.记 数列 是递增数列的充要条件是 的数列，使得 如果不存在，说明理由. ?如果存在, 第7页(共7页) 答案 第一部分 3. 4. A 5. 1. C2. A 6. C7. C 第二部分 8. 9. 10. 11. 12. 13. 第三部分 14. (1)因为 所以 的

5、最小正周期为 -，所以 (2)因为 -，即 -时, 取得最大值 -，即 -时, 取得最小值 15. (1) 又因为 因为四边形 平面 是菱形，所以 ，所以， 所以 平面 (2) (B0=1 ( Pleft Cleft( 0, 2right)， 则 (0, -sqrt3 , 2right), Aleft (0, -sqrt3 , Oright), Bleft sqrt3 , Oright) 所以(overrightarrow PB=left overrightarrow AC=left (0, 2sqrt3 , Oright) 设 ( (1, 0， Oright)， sqrt3，- 所成角为，

6、，因为( angle BAD=60circ , PA=AB=2 ,) 所以 )如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系 ) 故 与 所成角的余弦 cos theta = left |dfrac overrightarrow P B cdot overrightarrow AC left|overrightarrow P B right| left|overrightarrow AC right| right| =dfrac62sqrt2x 值为. （3）由（2）知 (overrightarrow BC=left (-1，sqrt3 ，0right) 设 ，则 的法向量 (overrightarr

7、ow BP=left(-1，-sqrt3，tright) ，由(left begingathered )设平 overrightarrow m cdot overrightarrow BC = 0 overrightarrow m cdot overrightarrow BP = 0 ) 得 (begi ncases -x + sqrt 3 y = 0 , -x - sqrt 3 y + tz = 0 , ) dfrac6tright ) ，则 ）br同理，平面 ( overrightarrow m=left ( 3, sqrt3, 的法向量 (overrightarrow n= left (

8、-3, sqrt3 ，dfrac6t right ) 因为平面平面 cdot overrightarrow n=-6+dfrac36tA2=0，) 解得 ，所以( overrightarrow m ( t=sqrt6，) 所以 16. （ 1）当 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是 ，所以平均数为 方差为 (2)当 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是 ;乙组同学的植树棵数是 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 可能取值为. 种可能的结果, 这两名同学植树总棵数 事件“ ”等价于 甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树 棵” 所以该事件有 种可能的结果，因此 -同理可得 第11页

9、（共7页） 所以数学 所以随机变量的分布列为 期望为 17. ( 1) 一，令 ，得 时, 的情况如下: ( begi narray|c|c|c|c|c|c| hli ne x 单调递增区间是 所以，的单调递减区间是 (2)当 时，因为 -，所以不会有 当 时，由（1 ）知 在 所以 -等价于 故当 -时， 18. (1) 由已知得 所以 率为 (2) 由题意知， - 当 时，切线的方程为 此时 ; 当 时，同理可得 当 时，设切线 的方程为 由 得 ，点 的取值范围是- 上的最大值是 又由与圆 大值为 19. (1) (2) 999right) 000-1right) -，解得 -所以椭圆

10、的坐标分别为 相切, 的焦点坐标为 两点的坐标分别为 离心 所以 由于当 时, 因为 且当 时, ，所以 的最 是一个满足条件的数列.（答案不唯一） 必要性：因为 数列是递增数列，所以（a_k+1-a_k=1left（k=1, 2, cdots, 1 ）br所以是首项为，公差为的等差数列，所以 br充分性：由于 (a_2000=12+left(2 (a_2000-a_1999leqsla nt 1, a_1999-a_1998leqsla nt 1, cdots a_2-a_1leqslant 1 ,) ( 所以 ( a_2000-a_1leqslant 1 999 ,) 即 )又因为，所以

11、( a_k+1-a_k=10left( k=1, 2, cdots, 1 999right), 故 ）br即是递增数列. 综上，结论得证. (3)令，则 因为( beginsplita_2&=a_1+c_1 , a_3&=a_1+c_1+c_2 , cdots a_n&=a_1+c_1+c_2+cdots+c_n-1 ，) 所以(beginsplitSleft (A_nright) & =na_1+left (n-1right)c_1+left (n-2right)c_2+left (n-3right)c_3+cdots+c_n-1 & =left (n-1right) +left (n-2right) +cdots+1-left ( 1-c_1right)left (n-1right) - left ( 1-c_2right) left (n-2right)-cdots-left ( 1-c_n-1right) &= dfracnleft (n-1right)2-leftleft (n-2