流体力学第6章 水波理论

1、第第6章章 水波理论水波理论 波浪运动是自然界中最常见的现象之一 。 一般波浪的产生需要以下两个条件：对于处 于平衡状态的水需要有破坏其平衡的扰动力以及 使其恢复平衡的回复力。 在回复力中最重要的是重力，特别是水自 由表面的波浪，当水表面受到扰动力液面离开 水平位置（即平衡位置），重力就会使此面恢 复到原来的位置；因此这种波浪往往称为表面 重力波，简称表面波，重力波或水波。 工程流体力学工程流体力学 水的粘性对波浪影响是相当小的，在讨论 波浪运动时仅限于不可压缩理想流体且运动是有 势的以及将波浪运动假设为满足线形的微幅波。 工程流体力学工程流体力学 6.1 6.1 二维波动的数学表达二维波动的

2、数学表达 6.1.1 6.1.1 波动方程波动方程 将坐标原点取于静止水面上，沿波传播方向水平轴 为 轴， 轴为铅垂向上，静水表面 ，在数学中， 二维的波动方程一般形式是 xz0z )(ctxfz 若 是一正弦曲线（或者余弦曲线），则称之 为简谐前进波（简称谐波） )(xfz 工程流体力学工程流体力学 0 sin()zAkxt 或 )(sin 0 k t k xkAz 式中， 称为波幅， 称为波速， 称为初始相位。 0 Ac k k 波浪运动的特征是： (1)水波的自由表面呈周期性的起伏，它在自由表 面处展开，再从表面传入流体内部。 (2)水质点作有规律的振荡运动 。 (3)波形以一定的速度向

3、前传播。 (4)波浪运动是非恒定运动。 工程流体力学工程流体力学 6.1.2 6.1.2 波浪要素波浪要素 (1)波高 H：波顶（波峰）与波底（波谷）垂直距离， 它是振幅 （波幅）的两倍，即 ； 0 A 0 2AH 图6.1是简谐前进波的示意图。 图6.1 简谐前进波 z d A0 A0 c z=-d x 波长 波速 波幅 波顶波峰 波底波谷 静水位 波高 H 底, O 工程流体力学工程流体力学 (2)波长 ：在波前进的方向上两个相邻的波顶或波 底之间的水平距离； (3)波陡：波高与波长之比，即 ； H (4)超高 ：在波高的一半处，作一水平线称为波浪中 线，它超出静水面的高度称为超高；对于谐

4、波，一般超 高为零。 0 (5)周期 T：波形传播一个波长 所需要的时间； (6)频率：周期的倒数， ，即单位时间内出现波的 次数； 1 f T 工程流体力学工程流体力学 (7)波数 k： 长度内所包含波的个数，显然 2 2 k (8)波速（相位速度)c：波面向右（或向左）推进的速度 c T (9)波倾角：波面的倾斜度 tan z x (10)圆频率 ： ,它表示单位时间转动的角 度。 2 2f T 工程流体力学工程流体力学 6.2 6.2 波浪运动的基本方程与边界条件波浪运动的基本方程与边界条件 6.2.1 6.2.1 基本方程基本方程 条件：在研究波浪运动时，流体是不可压缩理想流 体，而且

5、是无旋的，在流体域内必定存在速度势 ，质 量力仅仅是重力。 基本方程如下: 不可压缩流体连续方程为 0v 工程流体力学工程流体力学 ,uvw xyz v 2 0 2 pv gz t 且 或 拉格朗日积分式为 流体是无旋的，存在着速度势 2 , , ,0 x y z t 工程流体力学工程流体力学 6.2.2 6.2.2 边界条件边界条件 (1) 设水域底部的深度为d，则水域底部边界条件 ： 0 dz n n v (2) 物面条件（如船体、水上建筑物等): nn U n v 式中 为物体运动速度在物面外法线方向的投影。 n U (3) 在自由表面上，水波的高度（离静止水面） 为 ，则自由表面的方程

6、为 （波面方程， 或自由液面方程) 。 ( , , )x y t),(tyxz 工程流体力学工程流体力学 边界面方程为 , , , ,0F x y z tzx y t 则利用水中运动物体表面不可穿透条件为 dd ()0 dd F z tt 运动学条件为（利用水中运动物体表面不可穿透条件）： 当 时， , ,zx y t ztxxyy 自由表面动力学条件（设自由表面上的压强为 ， 相对压强 。 a p 0p 当 时， , ,zx y t 21 0 2 g t 工程流体力学工程流体力学 6.2.3 6.2.3 微幅进行波的基本方程和边界条件微幅进行波的基本方程和边界条件 引进微幅波假定。所谓微幅波

7、，是指波动的振幅 相对于波长 为小量，或 ，它使得自由表面上边 界条件线性化，从而在求解上较为简单。 0 A 1 0 A 对于微幅波可作如下三个假设： (1)质点运动速度很小， 项可以略去； 21 2 (2)自由表面对水平面 的偏离很小，可用水平面 的物理量来代替自由面 上的物理量； 0z 0z ( , , )zx y t 工程流体力学工程流体力学 (3)自由面上的切平面和水平面相差无几，相当于假 设 也是小量。 , xy 对于微幅波，在自由表面上边界条件可简化如下： 运动学条件 tz z 0 动力学条件 0 0 z g t 用速度势 表示的自由表面上边界条件，即 2 2 0g zt 0z 求

8、解压强场的拉格朗日积分式 0 p gz t 工程流体力学工程流体力学 6.2.4 6.2.4 初始条件初始条件 波浪运动的速度势 ，还必须满足运动的初始条件， 归结为以下三种情况： (1)已知初始时刻自由液面的扰动为 , ,zx y t , ,0, t z gx yf x y t (2)波浪运动完全是由于原来处于静止的自由液面受 到已知的压力冲量 所引起的，那么 I , ,0,0, I x yfx y 工程流体力学工程流体力学 当 时 0,0tz,F x y 0g t (3)当上述两种初始扰动都存在时，初始条件如下： 当 时 0,0tz , , F x y fx y t 在水波理论利用了微幅波

9、理论假定后，它还要寻求 满足下列方程和边界、初始条件的速度势 。 ),(tzyx 基本方程 0 2 0dz 边界条件：水底条件 0 z )(dz 工程流体力学工程流体力学 物面条件 （在物面上） n U n 自由表面条件 0 2 2 z g t )0( z 初始条件： 自由表面条件 , , F x y fx y t 当求得波动的速度势 后，自由表面形状为 1 z gt 压强分布根据线性化后的拉格朗日积分式 0 p gz t （p为相对压强） 工程流体力学工程流体力学 6.3 6.3 深水微幅简谐波深水微幅简谐波 6.3.1 6.3.1 深水微幅进行波深水微幅进行波 速度势的形式： e sin

10、kz Ak xct 2 g c k 1 1. .自由面形状自由面形状 )(cos)(cos 1 0 0 ctxkActxk g kc A tg z 2.2.主要参数之间的关系主要参数之间的关系 （1）波长 21 2 xx k 工程流体力学工程流体力学 （2）周期 12 2 Ttt kc （3）圆频率 2 kc T （4）波速c d d x c t 波速与波长的关系如图6.3所示。 工程流体力学工程流体力学 图6.3 波速与波长的关系 c g 2 c=深水波 c= 浅水波 02468101214ddddddd gd gd gd 2 1 3.3.质点运动速度质点运动速度 0 0 0 0 ecos

11、()ecos esin()esin kzkz kzkz A g uk xctAkxt xc A g wk xctAkxt zc 质点速度大小为 22 0 e kz vuwA 4.4.质点的轨迹质点的轨迹 0 222 000 ()()(e) kz xxzzA 在波浪运动中，质点的轨迹是一个圆，它是以平衡 位置 为圆心， 为半径的圆，在自由表面上这个 半径就是振幅 ；运动半径随质点的深度增加而减小， 而且衰减得很快。 ),( 00 zx 0 A 0 0e kz A 工程流体力学工程流体力学 图6.4表示质点轨迹和波形。 5.5.压强分布压强分布 0 , ,p x z tz 质点在波动时，质点的压强

12、等于原来静止时 处 它受到的静压强。 0 zz 【例6.1】某深水微幅波波高 ，波长 ，试 求：（1）波面方程；（2）波面倾角变化规律。 1.0mH 8.0m 工程流体力学工程流体力学 c 图6.4 质点轨迹与波形速度 【解】 该微幅波振幅 0 0.5m 2 H A 波数为 1 22 0.785m 8 k 波速为 9.807 m 3.53 s 0.785 g c k （1）波面方程为 0 cos ()Ak xct )53. 3(785. 0cos5 . 0tx tx77. 2785. 0cos5 . 0 （2）波面倾角为 tan0.5 0.785sin(0.7852.77 )xt x )77.

13、 2785. 0sin(393. 0tx 工程流体力学工程流体力学 【例6.2】在某深海海面上观察到浮标在1分钟内升降20 次，试求海浪的波动周期，波长及传播速度。 【解】 波动周期 60 3s 20 T 由 2 kc T 及 k g c 2 故波速 3 9.807 m 4.68 s 22 3.14 Tg c 波长 4.68 314.04mcT 6.3.2 6.3.2 驻波驻波 驻波就是两个进行波叠加而成的，一个是右行波， 另一个是左行波，它们的振幅、波长和频率都是相同的。 下面来对此驻波进行详细分析。 工程流体力学工程流体力学 1.1.自由面形状自由面形状 tkxA tg z sinsin

14、1 0 0 表明： （1）在某一固定时刻，自由面为一正弦曲线。 （2）波面与x轴交点为 ，交点 的位置不随时间变化，这些点称为节点。 (0, 1, 2,) n xn k （3）相邻两节点之间离平衡位置 最远的点为波峰 和波谷 统称为波腹。 0z 0z 0z （4）两相邻节点之间交替出现波峰和波谷，波面的波 幅为 ，振幅则为 。 tAsin 00 A 工程流体力学工程流体力学 驻波的波面仅作上下振动，不同于进行波，它不向 左右传播，驻波的名称也由此而来。如图6.5所示。 驻波的波长 、波数k和圆频率与进行波有相同的关系 2 k 2 T 工程流体力学工程流体力学 x t2t1 节点 图6.5 驻波

15、 2.2.质点速度质点速度 质点速度公式如下： 0 0 ecoscos esincos kz kz uAkxt x wAkxt z 在节点 处， ， ，质点仅作水平运动； 在波峰或波谷处， ， ，质点仅作上下垂直运动； 而其他点则同时有水平及垂直方向的运动。 n x k 0w0u 0u 0w 3.3.质点轨迹质点轨迹 000 ()tanzzxxkx （1）质点的迹线是一条直线，直线与 轴的倾角是 。 Ox 0 kx 工程流体力学工程流体力学 （3）在波峰或波谷处 ， 即质点作上下垂直运动，与速度分析 一致。 0 tankx （4）质点的振幅 也随深度增 加而减小，如图6.6所示。 0 0e k

16、z A 4.4.压强压强 0 pz 这个结论与进行波是一致的。 （2）在节点 处， ，迹线则为水平线 ，与 速度分析一致。 0 n x k 0 tankx 0 zz tan 0n 工程流体力学工程流体力学 z=0 z1 z2 图6.6 驻波迹线 6.4 6.4 有限深度微幅波动有限深度微幅波动 6.4.1 6.4.1 有限深度的微幅进行波有限深度的微幅进行波 这里的边界条件与无限深不同之处在于底部的边界 条件，其他完全相同。 当水深d=有限常数值时，流场速度势 cosh () sin () cosh k zd Ak xct kd 2 2 tanhtanh 2 ggd ckd k 2 tanhg

17、kkd 此公式表明，当水深 给定时，不同波长的水波将 以不同的速度传播，这个关系式在水波理论中称为色散 关系。 d 工程流体力学工程流体力学 其中， ，表明自由面形状及有关特征与无限深度 进行波完全一致。 g Akc A 0 当 时， ， ；当 很小时，即浅水 波， ，此时波速 。 dtanh1kd k g c 2 d tanhkdkd cgd )(cos 0 ctxkA 其他情况 2 k 22 T kc 仍都成立。 速度势 对x，z求偏导数，并用 关系式 代入，得质点速度 2 tanhgkkd 0 0 cosh () cos () sinh sinh () sin () sinh k zd

18、uAk xct xkd k zd wAk xct zkd 工程流体力学工程流体力学 将质点速度代入迹线微分方程并积分，得轨迹方程 22 00 22 00 00 ()() 1 cosh ()sinh () sinhsinh xxzz k zdk zd AA kdkd 显然这是一个椭圆方程，说明在波浪运动中，水质点的 运动轨迹是以平衡位置 为中心，以 为长半轴， 为短半轴的椭圆。对于无限水深 波，由于 ，则长、短半轴均趋向于 ，所以水 质点的运动轨迹是以 为半径的圆。对于浅水波，由 于水深 很小，因而椭圆的长半轴为 ，短半轴 为 ，即水质点轨迹的水平宽度与z无关，是个常 量。垂向高度呈线性减小，至

19、水底 时减小为零， 即退化成一条直线。不同深度水域质点的轨迹如图6.7 所示。 00 ,x z 0 0 cosh () sinh k zd A kd 0 0 sinh () sinh k zd A kd kd 0 0e kz A 0 0e kz A d 0 1 A kd 0(1 ) z A d zd 工程流体力学工程流体力学 将 代入压强公式，得 0 cosh () ( , , )cos () cosh k zd p x z tzAk xct kd 式中压强分布可以分为两部分，第一项 称为静 水压强，第二项是由于水波而产生的动压强，它是由以 下两个原因造成的：一是由于波动使水面发生变化，从 而

20、改变了压强分布，二是由于在波动中产生铅垂方向的 加速度，而加速度的方向与水面波位相位相差 。 z 工程流体力学工程流体力学 (a) (b)(c)无限水深区 有限水深区浅水区 图6.7 不同水深情况下水流质点运动轨迹 z xx z OO O z x 图6.8表示自由表面波下方的压强分布图。 工程流体力学工程流体力学 z 静水压强 动压强 图6.8 波浪中的压强分布 (x,t) 动压强 静水压强 静水压强 6.4.2 6.4.2 有限深度的驻波有限深度的驻波 将两个在等深度液体中反向传播的进行波叠加，可 得驻波。 速度势为 0 cosh () sincos cosh A gk zd kxt kd

21、自由面形状为 tkxAsinsin 0 工程流体力学工程流体力学 质点速度 0 0 cosh () coscos sinh sinh () sincos sinh k zd uAkxt xkd k zd wAkxt zkd 质点轨迹 0000 ()tanh ()tanzzxxk zdkx 压强分布 0 cosh () sinsin cosh k zd pzAkxt kd 工程流体力学工程流体力学 6.4.3 6.4.3 浅水波浅水波 )(sin 0 ctxk d g k A 自由表面形状 )(cos 0 ctxkA 质点速度 0 0 cos () 1sin () 1sin () g uAk x

22、ct xd z wAk xct zd z Ackk xct d 工程流体力学工程流体力学 当 ，这时发生的波称为浅水波（或称为长 波），浅水波的速度势为 d 1 质点轨迹 0 00 0 000 sin () 1cos () A xxk xct kd z zzAk xct d 浅水波的波速 gdc 2 浅水波（也称长波）的传播速度与波长无关，其不再是 种色散波。其他公式 ， ， ， 均成立。 2 k 2 T kccT 在实用上这三种深度的界限划分如下： 深水区域 或 ； d k 1 2 d 中等深水区域 或 ； 10 d kk 220 d 工程流体力学工程流体力学 浅水区域 或 10 d k 2

23、0 d 不同波长时波速随水深的变化如图6.9所示。 图6.9 不同波长时波速随水深的变化 工程流体力学工程流体力学 【例6.3】某湖泊水深 ，波长为80m，试用微幅波 理论求波速和波动周期。 3md 【解】 由于 ，因此属浅水波。 3m4m 20 d m 9.81 35.42 s cgd 80 14.76s 5.42 T c 【例6.4】已知某海域水深 ，波长 ，波高 ，求2m水深处的波高。 5md 2 m 0.8mH 【解】 由于 ，故属深水进行波。 1 5m3.14m 2 d 水质点圆半径为 0 0e kz rA 在自由液面上波高 ，故 。 0.8mH 0 0.4m 2 H A 2 1k

24、工程流体力学工程流体力学 当 时， 0 2mz 2 0.4e0.054mr 20.108mr即在2m水深处 【例6-5】某有限深度微幅波，已知周期为10s，波振幅 为0.25m，水深 ，求深度为10m处水质点的速 度的最大分量。 0 A20md 【解】 首先求得 1 22 0.628s 10T 2 tanh g ckd k kc 故 2 2 tanh g kd kk 即 2 tanhkkd g tanh200.04kk 工程流体力学工程流体力学 从而解得 052. 0k 由式 0 0 cosh () cos () sinh sinh () sin () sinh k zd uAk xct xk

25、d k zd wAk xct zkd 最大速度分量为 max0 cosh () sinh k zd uA kd max0 sh () sh k zd wA kd 所以 max cosh(0.052 10) m 0.25 0.6280.144 s sinh(0.052 20) u max sinh(0.052 10) m 0.25 0.6280.069 s sinh(0.052 20) w 工程流体力学工程流体力学 6.5 6.5 界面波界面波 在重力作用下，发生于两种密度不同的液体分界面 上的平面进行波。当流体处于平衡状态时，它们的分界 面是水平面，如图6.10。当受到某一扰动后，将发生重 力

26、波，此波称为界面波（内波）。 设上、下两层流体分别 以 和 作均流，密度各为 和 ，深度各为 及 。 此界面波的传播速度为 1 U 2 U 1 2 1 d 2 d 2 21 2 1221 21 12 21 2211 UU k gUU c 工程流体力学工程流体力学 U1 U2 O d1 d2 1 2 z x 图6.10 界面波 上式要有意义必须满足下面两个条件： （1） ，即下层流体的密度必须大于上层流体的 密度。 12 (2)对于一定的 和 （ ),只有在 或者 的情况，运动才能保持稳定。 1 U 2 U 12 UU 22 21 2 1221 g k UU 2 1221 22 21 2UU g

27、 工程流体力学工程流体力学 6.6 6.6 波群和波群速波群和波群速 有两个以上波长不同的波所组成的波动称作波群。 这些波叠加之后的总体现象。叠加之后波的总轮廓线的 移动速度，即波群的前进速度称为波群速。由于波群速 与水波能量传播的速度相同，因此它是波动的一个重要 动力学特性。 下面以波群中最简单的一种形式加以讨论。 工程流体力学工程流体力学 设两列波具有相同的振幅、而波长相差不多,同时在 液体中以同一方向进行传播,它们的波面方程分别为: )cos( 01 tkxA )cos( 02 txkA 将他们叠加后,波群的波面 21 tx kk tx kk A 22 cos 22 cos2 0 工程流

28、体力学工程流体力学 则波面的图案如图6.11所示。 合成波的波面其波长为 22 2 kk k 周期为 22 2 T 波速为 kkk c 合成波的波面与原来单个波的波长、周期、波速相同 传播，但振幅却不相等，随时间t和空间x缓慢地变化，而 它形成的周期性的群落（称包络），其长度为 工程流体力学工程流体力学 包络波面 图6.11 波群 2 2 22 2 kk kkk 称此包络波为波群，波群的速度为 g d d c kkk 即波群以 的速度传播， 称为波群速。 g c g c 波浪能量传播的速度将等于波群速，在波浪理论 中这是波群速重要的原因。 对于简谐的前进波， ，则 kc g dd()dd dd

29、dd kccc cckc kkk 工程流体力学工程流体力学 对于无限水深波， ，则 kg g d1 d22 cg c kk 对于有限深度的进行波， ，则 tanhkgkd g d2 1 d2sinh2 ckd c kkd 对于浅水波， ，则 gdk g d d cgdc k 工程流体力学工程流体力学 6.7 6.7 波浪的能量和波阻波浪的能量和波阻 重力波的能量包括液体的动能和势能两部分。势能 是由于液体的重心在波动时上下起伏引起的，由于波形 的周期性，因此只要在一个波长的区域内讨论波的能量。 6.7.1 6.7.1 波浪能量的计算波浪能量的计算 1.1.波浪动能的计算波浪动能的计算 现来计算

30、宽度为一个单 位、波长为 、深度为d范围 内的波浪动能。建立坐标如 图6.12所示。 工程流体力学工程流体力学 z D C AB dx 图6.12 浪的能量计算 有下式: 22 0 k 0 1 dd 2 d Exz xz 对进行波 2 k0 1 4 EgA 对驻波 22 k0 1 cos 4 EgAt 工程流体力学工程流体力学 2.2.波浪势能的计算波浪势能的计算 设液体无波动时静止水面的势能取为零，产生波动 以后，波动的势能变化,可以认为波谷部分提高到波峰 部分，所增加的势能为 22 2 p 00 1 dd 2 Egxgx 对进行波 对驻波 2 p0 1 4 EgA 22 p0 1 sin

31、4 EgAt 工程流体力学工程流体力学 3.3.几点结论几点结论 （1）波浪的动能和势能均与水域的深度无关； （2）对进行波来讲，动能与势能大小相等，且与时间 无关，它们之和的总能量为 2 0 2 1 gAE （3）对驻波来讲，动能与势能随时间而变化，但它 们之和不随时间而变化，大小为 。 2 0 4 1 gA 工程流体力学工程流体力学 【例6.6】海中某深水微幅进行波，其速度势为 ，其中，水深 ， 波高 ，波数 。 cosh () sin() 2cosh gHk zd kxt kd 10md 2mH 2 . 0k 求:（1）波长、波速c、周期T； （2）波面方程； （3） ， 处水质点轨迹方

32、程； （4）以上水质点在时的速度，该时水质点在波峰还 是波谷、或者非峰非谷； （5）上述水质点在该时的压强； （6）该进行波的能量。 0 0 x 0 5mz 工程流体力学工程流体力学 【解】 由于 1.57m10m15.7m 1010 0.20.2 d kk 故该波属于有限深水区域；其中, 振幅 。 0 1m 2 H A （1）波长 22 3.14 31.4m 0.2k 波速 9.81 m tanhtanh(0.2 10)6.88 s 0.2 g ckd k 周期 31.4 4.56s 6.88 T c （2）由波面方程 )(cos 0 ctxkA )88. 6(2 . 0costx )38.

33、 12 . 0cos(tx 工程流体力学工程流体力学 （3）水质点的轨迹 22 00 22 00 00 ()() 1 cosh ()sinh () sinhsinh xxzz k zdk zd AA kdkd 其中 0 0 cosh ()cosh1 0.43m sinhsinh2 k zd A kd 0 0 sinh ()sinh1 0.32m sinhsinh2 k zd A kd 即轨迹方程为 1 32. 0 5 43. 0 2 2 2 2 zx 工程流体力学工程流体力学 （4）水质点的速度 0 00 0 00 cosh () cos () sinh sinh () sin () sinh k zd uAk xct xkd k zd wAk xct zkd 以 , 代入，可解得 1 0.2 6