数学高中学业水平测试课件专题十一第40讲数列求和

1、专题 十一 数列 第40讲 数列求和 求数列的前求数列的前 n 项和的方法项和的方法 (1)公式法 等差数列的前 n 项和公式 Snn（a 1an） 2 na 1n（n1） 2 d. 等比数列的前等比数列的前 n 项和公式 ()当当 q1 时，Snna1； ()当当 q1 时，Sna 1（ （1qn） 1q a 1 anq 1q . (2)分组转化法分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个 等差、等比数列，再求解等差、等比数列，再求解 (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首 尾若干项 常见的裂项公式 1 n（n

2、1） 1 n 1 n1； 1 （2n1）（2n1） 1 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 2n1 1 2n1 ； 1 n n1 n1 n. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求 和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘 所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的 推广 (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之 为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并 求解 例如，Sn10029929829722212(100 99)(9897)(21)5 050. 1分组转化法求和 【例

3、1】 已知数列an的通项公式是an23n 1 (1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn. 解：Sn2(133n 1)111( 1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3， 当 n 为偶数时，Sn2 13n 13 n 2ln 33 nn 2ln 3 1； 当 n 为奇数时， Sn2 13n 13 (ln 2ln 3)( n1 2 n)ln 33n n1 2 ln 3ln 21. 综上所述，Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3nn 2ln 31，n为偶数， 3n n1 2 ln 3ln 21，n为奇数. 剖析：剖析： 某些数列的求和是将数列

4、分解转化为若干个可某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可 求和的新数列的和或差，求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，从而求得原数列的和，这就要通这就要通 过对数列通项结构特点进行分析研究，过对数列通项结构特点进行分析研究， 将数列的通项合理将数列的通项合理 分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论 2错位相减法求和 【例2】 已知数列an满足首项为a12，an1 2an(nN*)设bn3log2an2(nN*)，数列cn满足cn anbn. (1)求证：数列bn为等差数列； (2)求数列cn的前n项和Sn. (1)证明：由已知可得，a

5、na1qn12n，bn3log22n 2，bn3n2， bn1bn3， 数列bn为首项 b11，公差 d3 的等差数列 (2)解：cnanbn(3n2)2n. Sn12422723(3n2)2n， 2Sn122423724(3n5)2n(3n 2)2n1， 得 Sn23(2223242n)(3n2)2 n12 3 4（12n1） 12 (3n2)2n110(53n)2n 1， Sn10(53n)2n1. 剖析：用错位相减法求和时，应注意：剖析：用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负 数的情形；数的情形； (2)在

6、写出在写出“ Sn”与与“ qSn”的表达式时应特别注意将两的表达式时应特别注意将两 式式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达的表达 式；式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 3裂项相消法求和 【例 3】 在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S2 nan ? ? ? ? ? ? Sn1 2 . (1)求 Sn的表达式； (2)设 bn Sn 2n1，求bn的前 n 项和 Tn. 解：(1)S2 nan ? ? ? ? ? ? Sn1 2 ，anSnSn1 (n

7、2)， S2 n(SnSn1)? ? ? ? ? ? Sn1 2 ， 即 2Sn1SnSn1Sn，由题意得 Sn1Sn0， 式两边同除以 Sn1Sn，得 1 Sn 1 Sn12， 数列? ? ? ? ? ? 1 Sn 是首项为 1 S1 1 a11， 公差为 2 的等差数列 1 Sn12(n1)2n1， Sn 1 2n1. (2)bn Sn 2n1 1 （2n1）（2n1） 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2n1 1 2n1 ， Tnb1b2bn 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 3 ? ? ? ? ? ? 1 3 1 5 ? ? ? ? ? ?

8、 ? ? 1 2n1 1 2n1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2n1 n 2n1. 剖析：(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换， 如： 1 nnk 1 k (nk n)， 1 n（nk） 1 k ( 1 n 1 nk)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项 (2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项 1数列11 2，2 1 4，3 1 8，4 1 16，前n项的和为( ) A. 1 2n n 2n 2 B 1 2n n 2n 2 1 C 1 2n n 2n 2 D 1 2n n 2n 2 解析：因为数列的前几项为11 2，2 1 4，3

9、 1 8，4 1 16，那么 根据规律可知，第n项为n 1 2n ， 那么利用分组求和法得到前那么利用分组求和法得到前n项和的结果为项和的结果为 1 2n n2n 2 1，选，选B. 答案：答案：B 2等差数列an中，已知公差d 1 2 ，且a1a3 a9960，则a1a2a 100( ) A145 B150 C170 D120 解析：因为等差数列an中，已知公差d1 2，且a 1 a3a9960，则a2a4a100602585，所 以a1a2a1008560145，选A. 3在等比数列an中，若a1 1 2 ，a44，则|a1| |a2|an|( ) A2n 11 2 B2 n3 2 C4n

10、 11 2 D4 n3 2 解析：公比q3 a4 a1 8，所以q2，因为|an| ? ? ? ? ? ? 1 2（2） n1 2n 2，所以|a n|是首项为 1 2， 公比为2的等比数列，所以其前n项和为 1 2（12 n） 12 2n 11 2. 答案：A 4设f(n)222232n 1(nN )，则f(n)等 于( ) A2n1 B2n2 C2n 12 D2n22 解析：因为由等比数列的求和公式得， f(n)222232n 1. 2（12 n1） 12 2n 22(nN ) 答案：D 5数列an的前n项和为Sn，若an 1 n（n1） ，则 S40 A.38 39 B. 39 40 C

11、. 40 41 D. 41 42 解析：an 1 n（n1） 1 n 1 n1，所以S40 ? ? ? ? ? ? 11 2 ? ? ? ? ? ? 1 2 1 3 ? ? ? ? ? ? 1 40 1 41 1 1 41 40 41. 答案：C 6已知数列an的通项公式为an 2 n（n1） ，则 数列an的前n项和Sn为_ 解析：因为数列an的通项公式为an 2 n（n1） 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 n 1 n1 ，则数列an的前n项和Sn为裂项求和得到为 2n/(n1) 答案：2n/(n1) 7已知数列an的前项和为Sn2n 23n1，则a n _ 解析：n1，a1s16，

12、n2，ansnsn12n 2 3n12(n1)23(n)114n1；所以an ? ? ? ? ?6（n1）， 4n1（n2）. 答案： ? ? ? ? ?6（n1） 4n1（n2） 8定义在R上的函数f(x)满足f ? ? ? ? ? ? 1 2x f? ? ? ? ? ? 1 2x 2， 则f? ? ? ? ? ? 1 8 f? ? ? ? ? ? 2 8 f? ? ? ? ? ? 3 8 f? ? ? ? ? ? 6 8 f? ? ? ? ? ? 7 8 _ 解析：因为f? ? ? ? ? 1 2x f? ? ? ? ? ? 1 2x 2， 所以当x1x21时，f(x1)f(x2)2. 设

13、Af? ? ? ? ? 1 8 f? ? ? ? ? 2 8 f? ? ? ? ? 3 8 f? ? ? ? ? 6 8 f? ? ? ? ? 7 8 ， 则Af? ? ? ? ? ? 7 8 f? ? ? ? ? ? 6 8 f? ? ? ? ? ? 5 8 f? ? ? ? ? ? 2 8 f? ? ? ? ? ? 1 8 . 得得2A72，所以，所以A7. 答案：答案：7 9已知点(x，y)是区域 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x2y2n， x0， y0， (nN*)内的 点，目标函数zxy，z的最大值记作zn，若数列an的 前n项和为Sn，a11，且点(Sn，an)在直线znx

14、y上 (1)证明：数列an2为等比数列； (2)求数列Sn的前n项和Tn. 证明：由已知当直线过点(2n，0)时，目标函数取得 最大值，故zn2n， 所以方程为xy2n， 因为(Sn，an)在直线znxy上， 所以Snan2n， 所以Sn1an12(n1)，n2， 由得，2anan12，n2， 所以2anan122n2， 所以2(an2)an12，n2， 因为a121， 所以数列所以数列an2是以是以1为首项，为首项， 1 2 为公比的等比数为公比的等比数 列列 (2)解：解：由由(1)得得an2? ? ? ? ? ? 1 2 n1， ， 所以所以an2? ? ? ? ? ? 1 2 n1，

15、， 因为因为Snan2n，所以，所以Sn2nan 2n2? ? ? ? ? ? 1 2 n1， ， 所以Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 n1 002(2n2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ?

16、? ? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 n1 n（2n2） 2 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 n 11 2 n 2n2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 n1. 10已知数列? ? ? ? ? ? an与? ? ? ? ? ? bn，若 a13 且对任意正整数 n 满足 an1an2，数列? ? ? ? ? ? bn的前 n 项和 Snn 2a n. (1)求数列? ? ? ? ? ? an ，? ? ? ? ? ? bn 的通项公式； (2)求数列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 bnbn1

17、 的前 n 项和 Tn. 解：(1)对任意正整数 n 满足 an1an2， ? ? ? ? ? ? an是公差为 2 的等差数列 又a13，an2n1. 当 n1 时，b1S14； 当 n2 时，bnSnSn1(n 22n1)(n1)2 2(n1)12n1，对 b14 不成立 数列? ? ? ? ? ? bn的通项公式为 bn ? ? ? ? ?4，n1， 2n1，n2. (2)由(1)知当 n1 时，T1 1 b1b2 1 20. 当 n2 时， 1 bnbn1 1 （2n1）（2n3） 1 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 2n1 1 2n3 ， Tn 1 20 1 2? ? ? ?

18、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 7 1 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2n1 1 2n3 1 20 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 1 2n3 1 20 n1 10n15. 当 n1 时仍成立， Tn 1 20 n1 10n15. 2019/7/9 最新中小学教学课件 43 编后语 ? 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议： ? 一、听要点。 ? 一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物 理课“力